数学河北省张家口市学年高二下学期期末考试理Word下载.docx
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C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件
7.给出下列两种说法:
①已知p3+q3=2,求证p+q≤2,用反证法证明时,可假设p+q≥2,②已知a,b∈R,|a|+|b|<1,求证方程x2+ax+b=0的两根绝对值都小于1,用反证法证明时,可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1,即假设|x1|≥1.以下结论正确的是()
A.①和②的假设都错误B.①和②的假设都正确
C.①的假设正确,②的假设错误D.①的假设错误,②的假设正确
8.在的二项展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则此展开式中各项系数绝对值之和为()
9.已知点P是曲线上一动点,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的最小值是()
A.0
10.()
11.36的所有正约数之和可按如下方法得到:
因为36=22×
32,所以36的所有正约数之和为(1+3+32)+(2+2×
3+2×
32)+(22+22×
3+22×
32)=(1+2+22)(1+3+32)=91,参照上述方法,可得100的所有正约数之和为()
A.217B.273C.455D.651
12.已知若存在互不相同的四个实数0<a<b<c<d满足f(a)=f(b)=f(c)=f(d),则ab+c+2d的取值范围是()
A.(,)B.(,15)
C.[,15]D.(,15)
第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题
13.已知随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),P(ξ≤4)=0.84,则P(ξ≤-2)=________.
14.下表提供了某厂节能降耗技术改造后,在生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产耗能y(吨)的几组相对应数据.
x
3
4
5
6
y
2.5
t
4.5
根据上表提供的数据,求出y关于x的线性回归直线方程为,那么表中t=________.
15.按照上级要求,市人民医院决定组建一个医疗小队前往灾区服务.考虑到本院人员具体情况,经院领导研究决定:
从4名内科、5名外科、3名儿科医生中,选出4人组建医疗小队,并且要求这三类专业技术人员都至少有一人,则医疗小队组建方式共有________种.
16.函数,,(a>0).若对任意实数x1,都存在正数x2,使得g(x2)=f(x1)成立,则实数a的取值范围是________.
三、解答题
17.已知复数z=1+mi(i是虚数单位,m∈R),且为纯虚数(是z的共轭复数).
(Ⅰ)设复数,求|z1|;
(Ⅱ)设复数,且复数z2所对应的点在第四象限,求实数a的取值范围.
18.某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制,发布成绩使用等级制.各等级划分标准如下:
85分及以上,记为A等;
分数在[70,85)内,记为B等;
分数在[60,70)内,记为C等;
60分以下,记为D等.同时认定A,B,C为合格,D为不合格.已知某学校学生的原始成绩均分布在[50,100]内,为了了解该校学生的成绩,抽取了50名学生的原始成绩作为样本进行统计,按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出样本频率分布直方图如图所示.
(Ⅰ)求图中x的值,并根据样本数据估计该校学生学业水平测试的合格率;
(Ⅱ)在选取的样本中,从70分以下的学生中随机抽取3名学生进行调研,用X表示所抽取的3名学生中成绩为D等级的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.
19.为了调查“五一”小长假出游选择“有水的地方”是否与性别有关,现从该市“五一”出游旅客中随机抽取500人进行调查,得到如下2×
2列联表:
(单位:
人)
选择“有水的地方”
不选择“有水的地方”
合计
男
90
110
200
女
210
300
500
(Ⅰ)据此样本,有多大的把握认为选择“有水的地方”与性别有关;
(Ⅱ)若以样本中各事件的频率作为概率估计全市“五一”所有出游旅客情况,现从该市的全体出游旅客(人数众多)中随机抽取3人,设3人中选择“有水的地方”的人数为随机变量X,求随机变量X的数学期望和方差.
附临界值表及参考公式:
P(K2≥k0)
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
,n=a+b+c+d.
20.函数f(x)=xlnx-a(x-1)2-x,g(x)=lnx-2a(x-1),其中常数a∈R.
(Ⅰ)讨论g(x)的单调性;
(Ⅱ)当a>0时,若f(x)有两个零点x1,x2(x1<x2),求证:
在区间(1,+∞)上存在
f(x)的极值点x0,使得x0lnx0+lnx0-2x0>0.
21.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).
(Ⅰ)写出椭圆C的普通方程和直线l的倾斜角;
(Ⅱ)若点P(1,2),设直线l与椭圆C相交于A,B两点,求|PA|·
|PB|的值.
22.已知函数f(x)=|x+a|-|x-1|.
(Ⅰ)当a=-2时,求不等式的解集;
(Ⅱ)若f(x)≥2有解,求实数a的取值范围.
23.已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为ρ=2cosθ,,射线θ=φ,,与曲线C1交于(不包括极点O)三点A,B,C.
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)当时,求点B到曲线C2上的点的距离的最小值.
24.设函数f(x)=|x-1|+|2x-1|.
(Ⅰ)若对x>0,不等式f(x)≥tx恒成立,求实数t的最大值M;
(Ⅱ)在(Ⅰ)成立的条件下,正实数a,b满足a2+b2=2M.证明:
a+b≥2ab.
参考答案
1.B2.B3.C4.C5.A6.A7.D8.D9.D10.A11.A12.D
13.0.1614.315.27016.[e,+∞)
17.解:
∵z=1+mi,∴.
∴.
又∵为纯虚数,
∴
∴m=-3.
∴z=1-3i.
(Ⅰ),
(Ⅱ)∵z=1-3i,
又∵复数z2所对应的点在第四象限,
∴∴
18.解:
(Ⅰ)由题意可知,10x+0.012×
10+0.056×
10+0.018×
10+0.010×
10=1,
∴x=0.004.
∴合格率为1-10×
0.004=0.96.
(Ⅱ)样本中C等级的学生人数为0.012×
10×
50=6,
而D等级的学生人数为0.004×
50=2.
∴随机抽取3人中,成绩为D等级的人数X的可能取值为0,1,2,
∴,
,
∴X的分布列为
1
2
P
数学期望.
19.解:
∴有99.9%的把握认为选择“有水的地方”与性别有关;
(Ⅱ)估计该市的所有出游旅客中任一人选择“有水的地方”出游的概率为,
X的可能取值为0,1,2,3,由题意,得X~B(3,),
∴随机变量X的数学期望,
方差.
20.(Ⅰ)解:
函数g(x)的定义域为(0,+∞),导函数为.
①当a≤0时,g′(x)>0恒成立,g(x)在定义域(0,+∞)上是增函数;
②当a>0时,,并且,
在区间(0,)上,g′(x)>0,∴g(x)在(0,)是增函数;
在区间(,+∞)上,g′(x)<0,∴g(x)在区间(,+∞)上是减函数.
(Ⅱ)证明:
当a>0时,在区间(0,1]上,f(x)<0是显然的,即在此区间上f(x)没有零点;
又由于f(x)有两个零点,则必然f(x)在区间(1,+∞)上有两个零点x1,x2(x1<x2),
f′(x)=lnx-2a(x-1),由(Ⅰ)知,f′(x)在区间(0,)上是增函数,在区间(,+∞)上是减函数.
①若,则,在区间(1,+∞)上,f′(x)是减函数,f′(x)≤f′
(1)=0,
f(x)在(1,+∞)上单调递减,不可能有两个零点,所以必然有.
②当时,在区间(1,)上,f′(x)是增函数,f′(x)>f′
(1)=0;
在区间(,+∞)上,f′(x)是减函数.依题意,必存在实数x0,使得在区间(,x0)上,f′(x)>0,f(x)是增函数;
在区间(x0,+∞)上,f′(x)<0,f(x)是减函数.此时x0>1,且x0是f(x)的极大值点.
所以f(x0)>0,且f′(x0)=0,即消去a得到x0lnx0+lnx0-2x0>0(x0>1).
设F(x)=xlnx+lnx-2x(x>1),.
∵,∴x>1时,F′(x)单调递增.又F′
(1)=0,
∴x>1时,F′(x)>0.∴x>1时,F(x)单调递增.
又F
(1)=-2<0,F(e2)=2>0.∴存在x0=e2>1满足题意.
亦可直接观察得到,x0=e2时,e2lne2+lne2-2e2=2>0,满足题意.
21.解:
(Ⅰ)消去θ得到椭圆C的普通方程为.
直线l的斜率为,∴直线l的倾斜角为.
(Ⅱ)把直线l的方程代入中,
得,
即.
∴t1·
t2=4,即|PA|·
|PB|=4.
22.解:
(Ⅰ)当a=-2时,
当x≤1时,由得,成立,∴x≤1;
当1<x≤2时,由得解得,∴;
当x>2时,由得,不成立,∴无解.
综上,的解集为.
(Ⅱ)∵f(x)=|x+a|-|x-1|≥2有解,
∴f(x)max≥2.
∵|x+a|-|x-1|≤(x+a)-(x-1)=|a+1|,
∴|a+1|≥2,∴a≥1或a≤-3.
23.(Ⅰ)证明:
依题意|OA|=2cosφ,,,
则
.
(Ⅱ)解:
∵,
曲线C2的直角坐标方程为.
又∵B极坐标为(1,),化为直角坐标为,
∴B到曲线C2的距离为.
∴所求距离的最小值为.
24.(Ⅰ)解:
恒成立
当且仅当,即时取等号,
∴t≤1,∴M=1.
∵a2+b2≥2ab,∴ab≤1.
∴.(当且仅当“a=b”时取等号)①
又∵,∴.
∴,(当且仅当“a=b”时取等号)②
由①、②得.(当且仅当“a=b”时取等号)
∴a+b≥2ab.
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