漫谈天体运动问题的几种模型Word下载.docx
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方法:
把子弹和木块看成一个系统,利用A:
系统水平方向动量守恒;
B:
系统的能量守恒(机械能不守恒);
C:
对木块和子弹分别利用动能定理。
推论:
系统损失的机械能等于阻力乘以相对位移,即ΔE=Ffd
②物块固定在水平面,子弹以初速度v0射击木块,对子弹利用动能定理,可得:
两种类型的共同点:
A、系统内相互作用的两物体间的一对摩擦力做功的总和恒为负值。
(因为有一部分机械能转化为内能)。
B、摩擦生热的条件:
必须存在滑动摩擦力和相对滑行的路程。
大小为Q=Ff·
s,其中Ff是滑动摩擦力的大小,s是两个物体的相对位移(在一段时间内“子弹”射入“木块”的深度,就是这段时间内两者相对位移的大小,所以说是一个相对运动问题)。
C、静摩擦力可对物体做功,但不能产生内能(因为两物体的相对位移为零)。
例1如图1所示,一个长为L、质量为M的长方形木块,静止在光滑水平面上,一个质量为m的物块(可视为质点),以水平初速度从木块的左端滑向右端,设物块与木块间的动摩擦因数为,当物块与木块达到相对静止时,物块仍在长木块上,求系统机械能转化成内能的量Q。
图1
解析:
可先根据动量守恒定律求出m和M的共同速度,再根据动能定理或能量守恒求出转化为内能的量Q。
对物块,滑动摩擦力做负功,由动能定理得:
即对物块做负功,使物块动能减少。
对木块,滑动摩擦力对木块做正功,由动能定理得,即对木块做正功,使木块动能增加,系统减少的机械能为:
本题中,物块与木块相对静止时,,则上式可简化为:
又以物块、木块为系统,系统在水平方向不受外力,动量守恒,则:
联立式<
2>
、<
3>
得:
故系统机械能转化为内能的量为:
点评:
系统内一对滑动摩擦力做功之和(净功)为负值,在数值上等于滑动摩擦力与相对位移的乘积,其绝对值等于系统机械能的减少量,即。
从牛顿运动定律和运动学公式出发,也可以得出同样的结论。
由于子弹和木块都在恒力作用下做匀变速运动,位移与平均速度成正比:
所以
一般情况下,所以,这说明,在子弹射入木块过程中,木块的位移很小,可以忽略不计。
这就为分阶段处理问题提供了依据。
象这种运动物体与静止物体相互作用,动量守恒,最后共同运动的类型,全过程动能的损失量可用公式:
例2如图所示,电容器固定在一个绝缘座上,绝缘座放在光滑水平面上,平行板电容器板间的距离为d,右极板上有一小孔,通过孔有一左端固定在电容器左极板上的水平绝缘光滑细杆,电容器极板以及底座、绝缘杆总质量为M,给电容器充电后,有一质量为m的带正电小环恰套在杆上以某一初速度v0对准小孔向左运动,并从小孔进入电容器,设带电环不影响电容器板间电场分布。
带电环进入电容器后距左板的最小距离为0.5d,试求:
(1)带电环与左极板相距最近时的速度v;
(2)此过程中电容器移动的距离s。
(3)此过程中能量如何变化?
解:
(1)带电环进入电容器后在电场力的作用下做初速度为v0的匀减速直线运动,而电容器则在电场力的作用下做匀加速直线运动,当它们的速度相等时,带电环与电容器的左极板相距最近,由系统动量守恒定律可得:
动量观点:
力与运动观点:
设电场力为F
(2)能量观点(在第
(1)问基础上):
对m:
对M:
运动学观点:
,对m:
,解得:
带电环与电容器的速度图像如图5所示。
由三角形面积可得:
图5
解得:
(3)在此过程,系统中,带电小环动能减少,电势能增加,同时电容器等的动能增加,系统中减少的动能全部转化为电势能。
二、人船模型
(一)特点:
1、动力学规律:
由于组成系统的两物体受到大小相同、方向相反的一对力,故两物体速度大小与质量成反比,方向相反。
这类问题的特点:
两物体同时运动,同时停止。
2、动量与能量规律:
由于系统不受外力作用,故而遵从动量守恒定律,又由于相互作用力做功,故系统或每个物体动能均发生变化:
力对“人”做的功量度“人”动能的变化;
力对“船”做的功量度“船”动能的变化。
3、两个推论:
①当系统的动量守恒时,任意一段时间内的平均动量也守恒;
②当系统的动量守恒时,系统的质心保持原来的静止或匀速直线运动状态不变。
适用范围:
动量守恒定律虽然是由牛顿第二定律推导得到的,但它的适用范围比牛顿第二定律更广泛,它既适用于宏观也适用于微观,既适用于低速也适用于高速。
例1如图所示,长为L、质量为M的小船停在静水中,质量为m的人从静止开始从船头走到船尾,不计水的阻力,求船和人对地面的位移各为多少?
以人和船组成的系统为研究对象,在人由船头走到船尾的过程中,系统在水平方向不受外力作用,所以整个系统在水平方向动量守恒。
当人起步加速前进时,船同时向后做加速运动;
人匀速运动,则船匀速运动;
当人停下来时,船也停下来。
设某时刻人对地的速度为v,船对地的速度为v'
,取人行进的方向为正方向,根据动量守恒定律有:
,即
因为人由船头走到船尾的过程中,每一时刻都满足动量守恒定律,所以每一时刻人的速度与船的速度之比,都与它们的质量之比成反比。
因此人由船头走到船尾的过程中,人的平均速度v与船的平均速度v也与它们的质量成反比,即,而人的位移,船的位移,所以船的位移与人的位移也与它们的质量成反比,即
<
1>
式是“人船模型”的位移与质量的关系,此式的适用条件:
原来处于静止状态的系统,在系统发生相对运动的过程中,某一个方向的动量守恒。
由图1可以看出:
由<
两式解得
例2如图所示,质量为M的小车,上面站着一个质量为m的人,车以v0的速度在光滑的水平地面上前进,现在人用相对于小车为u的速度水平向后跳出后,车速增加Δv,则计算Δv的式子正确的是:
()
A.
B.
C.
D.
答案:
CD
三、反冲模型
“爆炸反冲”模型是动量守恒的典型应用,其变迁形式也多种多样,如炮发炮弹中的化学能转化为机械能;
弹簧两端将物块弹射将弹性势能转化为机械能;
核衰变时将核能转化为动能等。
内力远大于外力,故系统动量守恒,有其他形式的能单向转化为动能。
所以“爆炸”时,机械能增加,增加的机械能由化学能(其他形式的能)转化而来。
例1如图所示海岸炮将炮弹水平射出,炮身质量(不含炮弹)为M,每颗炮弹质量为m,当炮身固定时,炮弹水平射程为s,那么当炮身不固定时,发射同样的炮弹,水平射程将是多少?
两次发射转化为动能的化学能E是相同的。
第一次化学能全部转化为炮弹的动能;
第二次化学能转化为炮弹和炮身的动能,而炮弹和炮身水平动量守恒,由动能和动量的关系式知,在动量大小相同的情况下,物体的动能和质量成反比,炮弹的动能,由于平抛的射高相等,两次射程的比等于抛出时初速度之比,即:
,所以。
思考:
有一辆炮车总质量为M,静止在水平光滑地面上,当把质量为m的炮弹沿着与水平面成θ角发射出去,炮弹对地速度为,求炮车后退的速度。
提示:
系统在水平面上不受外力,故水平方向动量守恒,炮弹对地的水平速度大小为,设炮车后退方向为正方向,则
评点:
有时应用整体动量守恒,有时只应用某部分物体动量守恒,有时分过程多次应用动量守恒,有时抓住初、末状态动量即可,要善于选择系统,善于选择过程来研究。
例2光滑地面上,有一辆装有平射炮的炮车,平射炮固定在炮车上,已知炮车及炮身的质量为M,炮弹的质量为m;
发射炮弹时,炸药提供给炮身和炮弹的总机械能E0是不变的。
若要使刚发射后炮弹的动能等于E0,即炸药提供的能量全部变为炮弹的动能,则在发射前炮车应怎样运动?
若在发射前给炮车一适当的初速度v0,就可实现题述的要求。
在这种情况下,用v表示发射后炮弹的速度,V表示发射后炮车的速度,由动量守恒可知:
由能量关系可知:
按题述的要求应有
由以上各式得:
四、追碰模型
从物理方法的角度看。
处理碰撞问题,通常使用及矢量运算。
碰撞的特点:
追碰是物理上一个重要模型,它涉及到动量定理、动量守恒定律、能量守恒等诸多知识点。
(1)作用时间极短,内力远大于外力,总动量总是守恒的;
(2)碰撞过程中,总动能不增。
因为没有其他形式的能量转化为动能;
(3)碰撞过程中,当两物体碰后速度相等时,即发生完全非弹性碰撞时,系统动能损失最大;
(4)碰撞过程中,两物体产生的位移可忽略。
碰撞的分类:
按能量变化情况可分为弹性碰撞和非弹性碰撞(包括完全非弹性碰撞)。
能量变化特点:
弹性碰撞动能守恒;
非弹性碰撞动能不守恒;
完全非弹性碰撞能量损失(不能完全恢复原形)最大。
注意:
动量守恒定律的验证、分析推理、应用等实验中,不论在平面还是斜面或用其他方式进行,我们都要注意守恒的条件性。
解题原则:
(1)碰撞过程中动量守恒原则;
(2)碰撞后系统动能不增原则;
(3)碰撞后运动状态的合理性原则。
碰撞过程的发生应遵循客观实际。
如甲物追乙物并发生碰撞,碰前甲的速度必须大于乙的速度,碰后甲的速度必须小于、等于乙的速度或甲反向运动。
(1)数学法(如函数极值法、图象法)
(2)物理方法(参照物变换法、整体法(系统)、能量守恒方法等)。
例1如图1所示,光滑水平面上有大小相同的A、B两球在同一直线上运动,两球质量关系为,规定向右为正方向,A、B两球的动量均为6kg·
m/s,运动中两球发生碰撞,碰撞后A球的动量增量为,则:
A.左方是A球,碰撞后A、B两球速度大小之比为2:
5
B.左方是A球,碰撞后A、B两球速度大小之比为1:
10
C.右方是A球,碰撞后A、B两球速度大小之比为2:
D.右方是A球,碰撞后A、B两球速度大小之比为1:
题中规定向右为正方向,而AB球的动量均为正,所以AB都向右运动,又,所以,可以判断A球在左方,CD错;
碰撞后A的动量变化,根据动量守恒可知,B球的动量变化,所以碰后AB球的动量分别为解得,所以A正确。
动量守恒定律的矢量性即是重点又是难点,解题时要遵循以下原则:
先确定正方向,与正方向相同的矢量取正号,与正方向相反的矢量取负号,未知矢量当作正号代入式中,求出的结果若大于零,则与正方向相同,若小于零则与正方向相反,同时也要善于利用动量与动能的关系,但要注意它们的区别。
例2在核反应堆里,用石墨作减速剂,使铀核裂变所产生的快中子通过与碳核不断的碰撞而被减速。
假设中子与碳核发生的是弹性正碰,且碰撞前碳核是静止的。
已知碳核的质量近似为中子质量的12倍,中子原来的动能为E0,试求:
(1)经过一次碰撞后中子的能量变为多少?
(2)若E0=1.76MeV,则经过多少次碰撞后,中子的能量才可减少到0.025eV。
按弹性正碰的规律可求出每次碰撞后中子的速度变为多少,对应的动能也就可以求解;
在根据每次碰撞前后的动能之比与需要减少到0.025eV与原动能E0的比值关系,取对数求出碰撞次数(必须进位取整)。
(1)弹性正碰遵循动量守恒和能量守恒两个规律。
设中子的质量为m,碳核的质量为M,有:
由上述两式整理得:
则经过一次碰撞后中子的动能:
(2)同理可得
……
设经过n次碰撞,中子的动能才会
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