届高考一轮数学复习资料第三节 函数的奇偶性与周期性Word文件下载.docx
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2.周期性
(1)周期函数:
对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有⑤ f(x+T)=f(x) 成立,那么就称函数y=f(x)为周期函数,T为这个函数的周期.
(2)最小正周期:
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期.
【常用结论】
1.函数奇偶性的常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;
偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.
(3)在公共定义域内有:
奇±
奇=奇,偶±
偶=偶,奇×
奇=偶,偶×
偶=奇.
2.函数周期性的常用结论
对f(x)定义域内任意一自变量x,
(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>
0);
(2)若f(x+a)=,则T=2a(a>
(3)若f(x+a)=-,则T=2a(a>
0).
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).
(1)若f(x)是定义在R上的奇函数,则f(-x)+f(x)=0.( )
(2)偶函数的图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.( )
(3)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.( )
(4)若T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期.( )
(5)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.( )
答案
(1)√
(2)✕ (3)√ (4)√ (5)√
2.下列函数中为偶函数的是( )
A.y=x2sinxB.y=x2cosx
C.y=|lnx|D.y=2-x
答案 B
3.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是( )
A.-B.C.D.-
4.(教材习题改编)已知函数f(x)是奇函数,且当x>
0时,f(x)=x2+,则f(-1)= .
答案 -2
5.设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[-1,1)时,f(x)=则f= .
答案 1
函数的奇偶性
命题方向一 奇偶性的判断
典例1 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=+;
(2)f(x)=;
(3)f(x)=
解析
(1)由得x2=3,解得x=±
即函数f(x)的定义域为{-,},
∴f(x)=+=0.
∴f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x),
∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2)由得函数的定义域为(-1,0)∪(0,1),关于原点对称.
∴x-2<
0,
∴|x-2|-2=-x,
∴f(x)=.
∵f(-x)===-f(x),
∴函数f(x)为奇函数.
(3)显然函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
∵当x<
0时,-x>
则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x);
当x>
0时,-x<
则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x).
综上可知,对于定义域内的任意x,总有f(-x)=-f(x),
方法技巧
(1)定义法:
(2)图象法:
函数是奇(偶)函数⇔函数图象关于原点(y轴)对称.
命题方向二 奇偶性的应用
典例2
(1)已知函数f(x)=x3+sinx+1(x∈R),若f(a)=2,则f(-a)的值为( )
A.3B.0C.-1D.-2
(2)函数f(x)在R上为奇函数,且当x>
0时,f(x)=x+1,则当x<
0时,f(x)= .
答案
(1)B
(2)x-1
解析
(1)设F(x)=f(x)-1=x3+sinx(x∈R),显然F(x)为奇函数,又F(a)=f(a)-1=1,所以F(-a)=f(-a)-1=-F(a)=-1,从而f(-a)=0.
(2)∵当x<
∴f(x)=-f(-x)=-(-x+1),
即当x<
0时,f(x)=-(-x+1)=x-1.
利用函数的奇偶性可解决的4个问题
(1)求函数值:
将待求函数值利用函数的奇偶性转化到已知区间上求函数值.
(2)求解析式:
将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出.
(3)求解析式中的参数:
利用待定系数法求解,根据f(x)±
f(-x)=0得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得参数的方程或方程组,进而得出参数的值.
(4)画函数图象:
利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象.
1-1 设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( )
A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数
答案 C
1-2 (2019广州调研)已知函数f(x)=+a为奇函数,则实数a= .
答案 -
1-3 已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g
(1)=2,f
(1)+g(-1)=4,则g
(1)= .
答案 3
解析 由题意知,f(-1)+g
(1)=2,
即-f
(1)+g
(1)=2①,
f
(1)+g(-1)=4,
即f
(1)+g
(1)=4②,
由①+②得,2g
(1)=6,即g
(1)=3.
函数的周期性及应用
典例3
(1)设定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,2)时,f(x)=2x-x2,则f(0)+f
(1)+f
(2)+…+f(2016)= .
(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<
2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为 .
答案
(1)1008
(2)7
解析
(1)∵f(x+2)=f(x),
∴函数f(x)的周期T=2,
又当x∈[0,2)时,f(x)=2x-x2,
所以f(0)=0,f
(1)=1,
所以f(0)=f
(2)=f(4)=…=f(2016)=0,
f
(1)=f(3)=f(5)=…=f(2015)=1.
故f(0)+f
(1)+f
(2)+…+f(2016)=1008.
(2)当0≤x<
2时,
令f(x)=x3-x=x(x2-1)=0,
所以y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x1=0,x2=1.
当2≤x<
4时,0≤x-2<
2,又f(x)的最小正周期为2,所以f(x-2)=f(x),
所以f(x)=(x-2)(x-1)(x-3),
所以当2≤x<
4时,y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3=2,x4=3.
同理可得,当4≤x<
6时,y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x5=4,x6=5.
当x7=6时,也符合要求.
综上可知,共有7个交点.
函数周期性的判断与应用
(1)判断:
判断函数的周期性只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0),便可得函数是周期函数,且周期为T.
(2)应用:
根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数整体的性质,在解决具体问题时,要注意结论:
若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期.
2-1 已知函数f(x)的定义域为R.当x<
0时,f(x)=x3-1;
当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x);
时,f=f,则f(6)=( )
A.-2B.-1C.0D.2
答案 D
2-2 已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)= .
答案 6
解析 因为f(x+4)=f(x-2),
所以f[(x+2)+4]=f[(x+2)-2],
即f(x+6)=f(x),
所以f(x)是周期为6的周期函数,
所以f(919)=f(153×
6+1)=f
(1).
又f(x)是定义在R上的偶函数,
所以f
(1)=f(-1)=6,即f(919)=6.
函数性质的综合问题
命题方向一 单调性与奇偶性的综合问题
典例4 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( )
A.f(-25)<
f(11)<
f(80)
B.f(80)<
f(-25)
C.f(11)<
f(80)<
D.f(-25)<
f(11)
解析 易知f(x-8)=-f(x-4)=f(x),所以函数f(x)的周期T=8,又f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0.因为f(x)在[0,2]上是增函数,所以f(x)≥0,所以f(x)在[-2,0]上也是增函数,且f(x)≤0,
易知x∈[2,4]时,f(x)=-f(x-4)≥0,且f(x)为减函数.
同理f(x)在[4,6]上为减函数且f(x)≤0,从而可得y=f(x)的大致图象如图所示.
因为f(-25)=f(-1)<
0,f(11)=f(3)>
0,f(80)=f(0)=0.所以f(-25)<
f(11).
命题方向二 奇偶性与周期性的综合问题
典例5 (2018课标全国Ⅱ文,12,5分)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f
(1)=2,则f
(1)+f
(2)+f(3)+…+f(50)=( )
A.-50B.0C.2D.50
解析 ∵f(x)是定义域为R的奇函数,
∴f(0)=0,且f(-x)=-f(x),①
又∵f(1-x)=f(1+x),
∴f(-x)=f(2+x),②
由①②得f(2+x)=-f(x),③
∴f(4+x)=-f(2+x),④
由③④得f(x)=f(x+4),
∴f(x)的最小正周期为4,
对于f(1+x)=f(1-x),
令x=1,得f
(2)=f(0)=0;
令x=2,得f(3)=f(-1)=-f
(1)=-2;
令x=3,得f(4)=f(-2)=-f
(2)=0.
故f
(1)+f
(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0,
所以f
(1)+f
(2)+f(3)+…+f(50)=12×
0+f
(1)+f
(2)=0+2+0=2.故选C.
命题方向三 奇偶性与对称性的综合问题
典例6 (2019重庆九校模拟)已知奇函数f(x)的图象关于直线x=3对称,当x∈[0,3]时,f(x)=-x,则f(-16)= .
答案 2
解析 根据题意可知,f(x)=f(6-x),
又函数f(x)为奇
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