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9.基金A以每月计息一次的年名义利率12%积累,基金B以利息强度积累,在时刻t(t=0),两笔基金存入的款项相同,试确定两基金金额相等的下一时刻。
10.基金X中的投资以利息强度(0≤t≤20),基金Y中的投资以年实际利率积累;
现分别投资1元,则基金X和基金Y在第20年年末的积累值相等,求第3年年末基金Y的积累值。
11.某人1999年初借款3万元,按每年计息3次的年名义利率6%投资,到2004年末的积累值为()万元。
A.7.19B.4.04C.3.31D.5.21
12.甲向银行借款1万元,每年计息两次的名义利率为6%,甲第2年末还款4000元,则此次还款后所余本金部分为()元。
A.7225B.7213C.7136D.6987
第二章:
年金
练习题
1.证明。
2.某人购买一处住宅,价值16万元,首期付款额为A,余下的部分自下月起每月月初付1000元,共付10年。
年计息12次的年名义利率为8.7%。
计算购房首期付款额A。
3.已知,,,计算。
4.某人从50岁时起,每年年初在银行存入5000元,共存10年,自60岁起,每年年初从银行提出一笔款作为生活费用,拟提取10年。
年利率为10%,计算其每年生活费用。
5.年金A的给付情况是:
1~10年,每年年末给付1000元;
11~20年,每年年末给付2000元;
21~30年,每年年末给付1000元。
年金B在1~10年,每年给付额为K元;
11~20年给付额为0;
21~30年,每年年末给付K元,若A与B的现值相等,已知,计算K。
6.化简,并解释该式意义。
7.某人计划在第5年年末从银行取出17000元,这5年中他每半年末在银行存入一笔款项,前5次存款每次为1000元,后5次存款每次为2000元,计算每年计息2次的年名义利率。
8.某期初付年金每次付款额为1元,共付20次,第k年的实际利率为,计算V
(2)。
9.某人寿保险的死亡给付受益人为三个子女,给付形式为永续年金,前两个孩子第1到n年每年末平分所领取的年金,n年后所有的年金只支付给第三个孩子,若三个孩子所领取的年金现值相等,那么v=()
A.B.C.D.
11.延期5年连续变化的年金共付款6年,在时刻t时的年付款率为,t时刻的利息强度为1/(1+t),该年金的现值为()
A.52B.54C.56D.58
第三章:
生命表基础
1.给出生存函数,求:
(1)人在50岁~60岁之间死亡的概率。
(2)50岁的人在60岁以前死亡的概率。
(3)人能活到70岁的概率。
(4)50岁的人能活到70岁的概率。
2.已知Pr[5<T(60)≤6]=0.1895,Pr[T(60)>5]=0.92094,求。
3.已知,,求。
4.设某群体的初始人数为3000人,20年内的预期死亡人数为240人,第21年和第22年的死亡人数分别为15人和18人。
求生存函数s(x)在20岁、21岁和22岁的值。
5.如果,0≤x≤100,求=10000时,在该生命表中1岁到4岁之间的死亡人数为()。
A.2073.92B.2081.61
C.2356.74D.2107.56
6.已知20岁的生存人数为1000人,21岁的生存人数为998人,22岁的生存人数为992人,则为()。
A.0.008B.0.007
C.0.006D.0.005
第四章:
人寿保险的精算现值
练习题
1.设生存函数为(0≤x≤100),年利率=0.10,计算(保险金额为1元):
(1)趸缴纯保费的值。
(2)这一保险给付额在签单时的现值随机变量Z的方差Var(Z)。
2.设年龄为35岁的人,购买一张保险金额为1000元的5年定期寿险保单,保险金于被保险人死亡的保单年度末给付,年利率i=0.06,试计算:
(1)该保单的趸缴纯保费。
(2)该保单自35岁~39岁各年龄的自然保费之总额。
(3)
(1)与
(2)的结果为何不同?
为什么?
(1)法一:
查生命表代入计算:
法二:
查换算表
(2)
(3)
3.设,,,试计算:
(1)。
(2)。
改为求
4.试证在UDD假设条件下:
5.(x)购买了一份2年定期寿险保险单,据保单规定,若(x)在保险期限内发生保险责任范围内的死亡,则在死亡年末可得保险金1元,,试求。
6.已知,。
7.现年30岁的人,付趸缴纯保费5000元,购买一张20年定期寿险保单,保险金于被保险人死亡时所处保单年度末支付,试求该保单的保险金额。
解:
其中
查(2000-2003)男性或者女性非养老金业务生命表中数据带入计算即可,或者i=0.06以及(2000-2003)男性或者女性非养老金业务生命表换算表带入计算即可。
例查(2000-2003)男性非养老金业务生命表中数据
8.考虑在被保险人死亡时的那个年时段末给付1个单位的终身寿险,设k是自保单生效起存活的完整年数,j是死亡那年存活的完整年的时段数。
(1)求该保险的趸缴纯保费。
(2)设每一年龄内的死亡服从均匀分布,证明。
9.现年35岁的人购买了一份终身寿险保单,保单规定:
被保险人在10年内死亡,给付金额为15000元;
10年后死亡,给付金额为20000元。
试求趸缴纯保费。
趸交纯保费为
所以趸交纯保费为
10.年龄为40岁的人,以现金10000元购买一份寿险保单。
保单规定:
被保险人在5年内死亡,则在其死亡的年末给付金额3000元;
如在5年后死亡,则在其死亡的年末给付数额R元。
试求R值。
11.设年龄为50岁的人购买一份寿险保单,保单规定:
被保险人在70岁以前死亡,给付数额为3000元;
如至70岁时仍生存,给付金额为1500元。
试求该寿险保单的趸缴纯保费。
该趸交纯保费为:
查生命表或者相应的换算表带入计算即可。
12.设某30岁的人购买一份寿险保单,该保单规定:
若(30)在第一个保单年计划内死亡,则在其死亡的保单年度末给付5000元,此后保额每年增加1000元。
求此递增终身寿险的趸缴纯保费。
13.某一年龄支付下列保费将获得一个n年期储蓄寿险保单:
(1)1000元储蓄寿险且死亡时返还趸缴纯保费,这个保险的趸缴纯保费为750元。
(2)1000元储蓄寿险,被保险人生存n年时给付保险金额的2倍,死亡时返还趸缴纯保费,这个保险的趸缴纯保费为800元。
若现有1700元储蓄寿险,无保费返还且死亡时无双倍保障,死亡给付均发生在死亡年末,求这个保险的趸缴纯保费。
保单1)精算式为
保单2)精算式为
求解得,即
14.设年龄为30岁者购买一死亡年末给付的终身寿险保单,依保单规定:
被保险人在第一个保单年度内死亡,则给付10000元;
在第二个保单年度内死亡,则给付9700元;
在第三个保单年度内死亡,则给付9400元;
每年递减300元,直至减到4000元为止,以后即维持此定额。
试求其趸缴纯保费。
15.某人在40岁投保的终身死亡险,在死亡后立即给付1元保险金。
其中,给定,0≤x≤110。
利息力δ=0.05。
Z表示保险人给付额的现值,则密度等于()
A.0.24B.0.27C.0.33D.0.36
16.已知在每一年龄年UDD假设成立,表示式()
A.B.
C.D.
解:
17.在x岁投保的一年期两全保险,在个体(x)死亡的保单年度末给付b元,生存保险金为e元。
保险人给付额现值记为Z,则Var(Z)=()
第五章:
年金的精算现值
1.设随机变量T=T(x)的概率密度函数为(t≥0),利息强度为δ=0.05。
试计算精算现值。
2.设,,。
试求:
(1);
(2)。
3.某人现年50岁,以10000元购买于51岁开始给付的终身生存年金,试求其每年所得年金额。
4.某人现年23岁,约定于36年内每年年初缴付2000元给某人寿保险公司,如中途死亡,即行停止,所缴付款额也不退还。
而当此人活到60岁时,人寿保险公司便开始给付第一次年金,直至死亡为止。
试求此人每次所获得的年金额。
习题5将参考课本P87例5.4.1现年35岁的人购买如下生存年金,且均于每月初给付,每次给付1000元,设年利率i=6%,求下列年金的精算现值。
(1)终身生存年金。
若查90-93年生命表换算表则
5.某人现年55岁,在人寿保险公司购有终身生存年金,每月末给付年金额250元,试在UDD假设和利率6%下,计算其精算现值。
6.在UDD假设下,试证:
(1)。
(2)。
(3)。
7.试求现年30岁每年领取年金额1200元的期末付终身生存年金的精算现值,且给付方法为:
(1)按年;
(2)按半年;
(3)按季;
(4)按月。
(1)解:
(4)
8.试证:
(1)
(3)。
(4)。
9.很多年龄为23岁的人共同筹集基金,并约定在每年的年初生存者缴纳R元于此项基金,缴付到64岁为止。
到65岁时,生存者将基金均分,使所得金额可购买期初付终身生存年金,每年领取的金额为3600元。
试求数额R。
10.Y是x岁签单的每期期末支付1的生存年金的给付现值随机变量,已知,
,,求Y的方差。
11.某人将期末延期终身生存年金1万元遗留给其子,约定延期10年,其子现年30岁,求此年金的精算现值。
12.某人现年35岁,购买一份即付定期年金,连续给付的年金分别为10元、8元、6元、4元、2元、4元、6元、8元、10元,试求其精算现值。
13.给定,。
已知在每一年龄年UDD假设成立,则是()
A.15.48B.15.51C.15.75D.15
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