1有理数知识点+典型例题+习题要点Word格式.docx
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负分数集合{,-2.25,-3.1416,…}正有理数集合{5,4.6,1,+0.34,+13,}
例2:
一种商品的标准价格是200元,但是随着季节的变化商品的价格可浮动±
10%,
(1)±
10%的含义是什么?
(2)请你计算出该商品的最高价格和最低价格。
(3)如果以标准价为“基准”,超过“基准”记为“+”,低于“基准”记为“-”,那么该商品价格浮动的范围又可以怎样表示。
解:
10%的含义是在标准价格的基础上加价和降价的幅度不超过10%。
(2)最高价格:
200×
(1+10%)=220(元)最低价格:
(1-10%)=180(元)
(3)180-200=-20(元)220-200=20(元)
以标准价格是200元为“基准”,该商品价格浮动的范围为±
20元。
例3、光盘的质量标准中规定:
厚度为(1.2±
0.1)mm的光盘是合格品,说说1.2mm和±
0.1mm所表示的意义。
1.2mm表示光盘的标准厚度;
±
0.1mm表示光盘厚度最大不超过标准厚度0.1mm,
最小不低于标准厚度的0.1mm.
(二)正数与负数表示具有相反意义的量。
这样使用负数后,在表示具有相反意义的两个词语之中,只用一个词语就可以把事情说清。
如减少5hm2就可以说成增加-5hm2.(注意“两变”)
常见的相反意义的量:
高于与低于,零上与零下,盈利与亏损,增加与减少,上升与下降。
例1.“甲比乙大-2岁”表示的意义是(A)
A、甲比乙小2岁B、甲比乙大2岁C、乙比甲大-2岁D、乙比甲小2岁
(三)数轴、相反数、绝对值、倒数的概念(强化记忆)
1、数轴:
数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.
数轴的含义:
(1)数轴是一条直线,可以向两边无限延伸
(2)数轴的三要素:
原点、正方向、单位长度、这三者缺一不可(3)数轴一般取右(或向上)为正方向,数轴的原点的选定,正方向的取向,单位长度大小的确定都是根据实际需要规定的。
(4)同一数轴的单位长度必须一致
2.相反数:
(1)只有符号不同的两个数,我们说其中一个是另一个的相反数;
0的相反数还是0;
(2)相反数的和为0a+b=0a、b互为相反数.(3)互为相反数的两数绝对值相等。
3.绝对值:
(1)正数的绝对值是其本身,0的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数;
注意:
绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离;
(2)绝对值可表示为:
或;
绝对值的问题经常分类讨论;
注:
的解为;
而,但少部分同学写成.
4.倒数:
乘积为1的两个数互为倒数;
注意:
0没有倒数;
若a≠0,那么的倒数是;
也可表示为a-1,若ab=1a、b互为倒数;
若ab=-1a、b互为负倒数.
例1.已知A、B两点坐标分别为﹣3、﹣6,若在数在线找一点C,使得A与C的距离为4;
找一点D,使得B与D的距离为1,则下列何者不可能为C与D的距离( )
A、0B、2C、4D、6
分析:
将点A、B、C、D在数轴上表示出来,然后根据绝对值与数轴的意义计算CD的长度.
根据题意,点C与点D在数轴上的位置如图所示:
在数轴上使AC的距离为4的C点有两个:
C1、C2数轴上使BD的距离为4的D点有两个:
D1、D2
∴①C与D的距离为:
C2D2=0;
②C与D的距离为:
C2D1=2;
③C与D的距离为:
C1D2=8;
④C与D的距离为:
C1D1=6;
综合①②③④,知C与D的距离可能为:
0、2、6、8.故选C.
点评:
此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容,用几何方法借助数轴来求解,非常直观,且不容易遗漏,体现了数形结合的优点.
(四)非负数定理:
几个非负数之和为0,则每一个非负数都为0(强化记忆)
注:
非负数:
零和正数统称非负数。
常见的非负数的形式:
|a|、;
例1、已知,求的值。
∵∴x-3=0,y+3=0∴x=3,y=-3
∴原式=(-3)3+33-(-1)2010=-27+27-1=-1
(五)实数大小的比较(强化记忆)
(1)利用数轴:
数轴上的两个数,右边的数总比左边的数大;
(2)利用绝对值:
正数>0>负数,正数>负数,两个负数,绝对值大的反而小;
(5)平方法:
先平方再作差
(6)倒数法
例1、已知有理数a,b在数轴上的位置如图所示,现比较a,b,-a,-b的大小b<
-a<
a<
-b
例2、比较下面两列算式结果的大小:
(在横线上选填“>
”、“<
”、“=”)
……通过观察归纳,写出能反映这种规律的一般结论,并加以证明。
横线上填写的大小关系是>、>、、=.
一般结论是:
如果a、b是两个实数,则有a2+b2≥2ab)
证明:
作差∵a2+b2﹣2ab=(a﹣b)2≥0∴a2+b2≥2ab
(六)实数的加、减、乘、除、乘方运算(强化记忆)
1.加法法则:
(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;
(2)异号两数相加,取绝对值较大的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;
(3)一个数与0相加,仍得这个数.
2.加法运算律:
(1)加法的交换律:
a+b=b+a;
(2)加法的结合律:
(a+b)+c=a+(b+c).
3.减法法则:
减去一个数,等于加上这个数的相反数;
即a-b=a+(-b).
有理数加减法法则(口诀记法)
先定符号,再计算,同号相加不变号.异号相加“大”减“小”,符号跟着“大数”跑.
4.乘法法则:
(1)两数相乘,同号为正,异号为负,并把绝对值相乘;
(2)任何数同零相乘都得零;
(3)几个数相乘,有一个因式为零,积为零;
各个因式都不为零,积的符号由负因式的个数决定,当负因数个数为奇数个时积为负,当负因数个数为偶数个时,积为正。
5.乘法的运算律:
(1)乘法的交换律:
ab=ba;
(2)乘法的结合律:
(ab)c=a(bc);
(3)乘法的分配律:
a(b+c)=ab+ac.
6.有理数除法法则:
同号为正,异号为负,并把绝对值相除。
除以一个数等于乘以这个数的倒数;
零不能做除数,.
7.乘方的定义:
(1)求相同因式积的运算,叫做乘方;
(2)乘方中,相同的因式叫做底数,相同因式的个数叫做指数,乘方的结果叫做幂;
8.有理数乘方的法则:
(1)正数的任何次幂都是正数;
(2)负数的奇次幂是负数;
负数的偶次幂是正数;
当n为正奇数时:
(-a)n=-an
或(a-b)n=-(b-a)n,当n为正偶数时:
(-a)n=an或(a-b)n=(b-a)n.
特殊情况:
(-1)n=-1;
当n为正偶数时:
(-1)n=1
“奇负偶正”的应用·
(1)、如下符号的化简(指负号的个数与结果符号的关系),如:
-{+[-(-2)]}=-2
(2)、连乘式的积(指负因数的个数与结果符号的关系),如:
(-1)×
(-2)×
(-3)×
(+4)=-24(-1)×
(-4)=24
(3)、负数的乘方(指乘方的指数与结果符号的关系),如:
(-2)3=-8,(-3)2=9
(4)、分数的符号法则(指的是分子、分母及分数本身三个符号中,同时改变两个,值不变,但改变一个或三个都改变时,分数的值就变相反了),如:
;
9.混合运算法则:
先乘方,后乘除,最后加减.有括号先算括号里的运算。
在较复杂的运算中,不注意运算顺序或者不合理使用运算律,从而使运算出现错误.如5÷
×
5.
10.整数指数幂的有关运算及乘法公式
①表述:
同底数幂相乘,底数不变,指数相加,
②表述:
同底数幂相除,底数不变,指数相减,
③表述:
幂的乘方,底数不变,指数相乘,
④表述:
积的乘方等于乘方的积
⑤表述:
任何不等于0的数的0次幂等于1
⑥表述:
任何不等于0的数的-p次幂,等于这个数的p次幂的倒数
⑦表述:
分式的乘方等于分子分母各自乘方。
⑧平方差公式:
表述:
两个数的和与两个数差的积等于这两个数的平方差。
⑨完全平方和公式:
表述:
两个数和的平方,等于它们的平方和,加上它们的乘积的2倍
⑩完全平方差公式:
两数差的平方,等于它们的平方和,减去它们的乘积的2倍
例1、已知,且a-b<
0,求a+b的值。
∵∴a=±
3,b=±
2.∵a-b<
0∴a<
b∴a=-3,b=-2或a=-3,b=2
当a=-3,b=-2时a+b=(-3)+(-2)=-5当a=-3,b=2时a+b=-3+2=1
∴a+b的值为-5或1
例2、a、b互为相反数,c、d互为倒数,x的绝对值等于2,试求。
∵a、b互为相反数∴a+b=0∵c、d互为倒数∴cd=1∵∴x=±
2
∴当x=2时,原式=
当x=-2时,原式=
例3、用“>”,“<”、“=”填空。
(1)=
(2)=
(3)=
请通过以上式子观察归纳,试猜想:
对于任意两个数a、b总有结论成立。
例4、计算、观察、猜想与应用:
(1)算一算:
下面两组算式与;
与,每组两个算式的结果是否相同?
(2)想一想:
等于什么?
(3)猜一猜:
当n为正整数时,等于什么?
你能用乘方的意义说明理由吗?
(4)用一用:
利用上述结论,求的值。
解:
(1)∵,;
∴每组两个算式的结果相同
(2)等于
(3)猜想:
当n为正整数时
理由:
(七)周期性问题即同余问题(强化记忆)
这类问题要紧紧抓住周期与余数,余数相同性质也相同。
例1、(2011浙江省舟山)一个纸环链,纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列,截去其中的一部分,剩下部分如图所示,则被截去部分纸环的个数可能是( )
(A)2011(B)2011(C)2012(D)2013
∵纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列∴周期为5,故可设截去部分纸环的个数为x个,则
(8+x+1)被5后余数为2,仅D选项符合要求。
例2、(2011山东日照)观察图中正方形四个顶点所标的数字规律,可知数2011应标在()
(A)第502个正方形的左下角 (B)第502个正方形的右下角
(C)第503个正方形的左上角 (D)第503个正方形的右下角
通过观察发现:
正方形的左下角是4的倍数,左上角是4的倍数余3,右下角是4的倍数余1,右上角是4的倍数余2∵2011÷
4=502…3,∴数2011应标在第503个正方形的左上角.故选C.
例3、(2011河北)如图,给正五边形的顶点依次编号为1,2,3,4,5.若从某一顶点开始,沿正五边形的边顺时针方向行走,顶点编号的数字是几,就走几个边长,则称这种走法为一次“移位”.如
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