重点中学高三数学专题高效复习导学案专题5 方程与不等式的实际应用 教师版Word文档下载推荐.docx
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例2.在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD,然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的长方体纸盒(如图).设小正方形边长为x厘米,矩形纸板的两边AB,BC的长分别为a厘米和b厘米,其中a≥b.
(1)当a=90时,求纸盒侧面积的最大值;
(2)试确定a,b,x的值,使得纸盒的体积最大,并求出最大值.
(2)包装盒子的体积
V=(a-2x)(b-2x)x=x[ab-2(a+b)x+4x2],x∈(0,),b≤60.……………8分
V=x[ab-2(a+b)x+4x2]≤x(ab-4x+4x2)
=x(3600-240x+4x2)
=4x3-240x2+3600x.…………………10分
当且仅当a=b=60时等号成立.
例3.如图,GH是东西方向的公路北侧的边缘线,某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建一仓库,设AB=ykm,并在公路同侧建造边长为xkm的正方形无顶中转站CDEF(其中边EF在GH上),现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB,AC,已知AB=AC+1,且∠ABC=60°
.
(1)求y关于x的函数解析式;
(2)如果中转站四周围墙造价为1万元/km,两条道路造价为3万元/km,问:
x取何值时,该公司建中转站围墙和两条道路总造价M最低?
西东
例4.如图,某新建小区有一片边长为1(单位:
百米)的正方形剩余地块ABCD,中间部分MNK是一片池塘,池塘的边缘曲线段MN为函数,其中,分别为MN上的点到OD,OB的距离)的图象,另外的边缘是平行于正方形两边的直线段。
为了美化该地块,计划修一条穿越该地块的直路(宽度不计),直路与曲线段MN相切(切点记为P),并把该地块分为两部分。
记点P到边AD距离为,表示该地块在直路左下部分的面积。
(1)求的解析式;
(2)求面积的最大值。
例5.如图,某机械厂要将长6m,宽2m的长方形铁皮ABCD进行裁剪。
已知点F为AD的中点,点E在边BC上,裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处(点C,D分别落在直线BC下方点M,N处,FN交边BC于点P),再沿直线PE裁剪。
(1)当时,试判断四边形MNPE的形状,并求其面积;
(2)若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大,请给出裁剪方案,并说明理由。
当且仅当,即,时取“=”……14分
答:
当时,沿直线PE裁剪,四边形MNPE面积最大,为。
例6.甲、乙两地相距,货车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过,已知货车每小时的运输成本(单位:
元)由可变成本和固定成本组成,可变成本是速度平方的倍,固定成本为a元.
(1)若全程的运输成本y(单位:
元)不超过,求的最大值;
(2)为了使全程运输成本最小,货车应以多大的速度行驶?
【总结提炼】
1.解数学应用题的一般步骤为:
建模、解模、检验、作答等。
2.解答应用题时,判断索要运用的知识点,能给建模指明方向。
解数学应用题的关键是读题。
为辨析文字叙述所反映的实际背景,领悟从背景中概括出来的数学数量关系,读题时要抓住关键词。
每一个概念及它们之间的关系,再将其转化为数学语言,建立对应的数学模型进行解答。
需要注意的是数学模型的结论须与实际意义吻合,对解答及时作出评价。
【自我测试】
1.某隧道设计为双向四车道,车道总宽20米,要求通行车辆限高4.5米,隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分,如图所示建立平面直角坐标系.
(1)若最大拱高为6米,则隧道设计的拱宽是多少?
(2)为了使施工的土方工程量最小,需隧道口截面面积最小.现隧道口的最大拱高不小于6米,则应如何设计拱高和拱宽,使得隧道口截面面积最小?
(隧道口截面面积公式为).
解:
(1)设抛物线的方程为:
则抛物线过点,
代入抛物线方程计算得出:
令,计算得出:
则隧道设计的拱宽l是40米.
(2)抛物线最大拱高为h米,,抛物线过点,
代入抛物线方程得:
令,则,计算得出:
则,,
,即,
当时,;
当时,,
即S在上单调减,在上单调增,
在时取得最小值,此时,
答:
当拱高为米,拱宽为米时,使得隧道口截面面积最小.
2.如图,是南北方向的一条公路,是北偏东方向的一条公路,某风景区的一段边界为曲线.为方便游客观光,拟过曲线上的某点分别修建与公路,垂直的两条道路,,且,的造价分别为5万元/百米,40万元/百米,建立如图所示的直角坐标系,则曲线符合函数,模型,设,修建两条道路,的总造价为万元,题中所涉及的长度单位均为百米.
(1)求解析式;
(2)当为多少时,总造价最低?
并求出最低造价.
(1)在如图所示的直角坐标系中,因为曲线C的方程为,
所以点P坐标为,
直线OB的方程为,(2分)
则点P到直线的距离为,(4分)
又PM的造价为5万元/百米,PN的造价为40万元/百米.
则两条道路总造价为.
(8分)
(2)因为,
所以,(10分)
令,得,列表如下:
x
4
-
单调递减
极小值
单调递增
所以当时,函数有最小值,最小值为(13分)
(1)两条道路PM,PN总造价为;
(2)当时,总造价最低,最低造价为30万元.
(14分)
(注:
利用三次均值不等式,
当且仅当,即时等号成立,照样给分.);
解析:
(1)求出P的坐标,直线OB的方程,点P到直线的距离,即可求解析式;
(2)利用导数的方法最低造价.
本题考查利用数学知识解决实际问题,考查导数知识的运用,确定函数的解析式是关键.
3.某单位设计一个展览沙盘,现欲在沙盘平面内,布设一个对角线在上的四边形电气线路,如图所示.为充分利用现有材料,边,用一根5米长的材料弯折而成,边,用一根9米长的材料弯折而成,要求和互补,且.
(1)设米,,求的解析式,并指出的取值范围;
(2)求四边形面积的最大值.
解:
(1)设米,则米,米,米,
则有,即.
在中,由余弦定理得.
同理,在中,.
因为和互补,所以.
即
.
计算得出,即.
由余弦的定义,有,则,
故.
(2)四边形ABCD的面积
记,.
由
或或.
.
所以函数在区间内单调递增,在区间内单调递减.
因此的最大值为.
所以S的最大值为.
所求四边形ABCD面积的最大值为。
(1)在与中,分别利用余弦定理,即可确定的解析式,及x的取值范围;
(2)四边形ABCD的面积,构建函数(
,,求导函数,即可求得四边形ABCD面积的最大值。
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