偏微分方程数值解(试题).doc
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偏微分方程数值解试题
1、考虑一维的抛物型方程:
(1)导出时间离散是一阶向前Euler格式,空间离散是二阶精度的差分格式;
(2)讨论
(1)中导出的格式的稳定性;
(3)若时间离散为二阶精度的蛙跳格式,
空间离散是二阶精度的中心差分,问所导出的格式稳定吗?
为什么?
2、考虑Poission方程
其中Ω是图1中的梯形。
图1梯形
使用差分方法来离散该方程。
由于梯形的对称性,可以考虑梯形的一半,如图2,
图2从物理空间到计算区域的几何变换
为了求解本问题,采用如下方法:
将Ω的一半投影到正方形区域,然后在上使用差分方法来离散该方程。
在计算区域上用个网格点,空间步长为。
(1)引入一个映射将原区域(带有坐标)变换到单位正方形(带有坐标)。
同时导出在新区域上的方程和边界条件。
(2)在变换区域,使用泰勒展开导出各导数项在区域内部和边界点上的差分格式。
3、对线性对流方程,其一阶迎风有限体积法离散格式为
=()
(1)写出时的一阶迎风有限体积法的离散格式;
(2)写出为任意符号的常数的一阶迎风有限体积法的守恒形式。
(3)使用说明一阶迎风有限体积法不是熵保持的格式。
4、对一维Poission方程
将分成等分,写出用中心差分离散上述方程的差分格式,并问:
(1)该差分格式与原微分方程相容吗?
为什么?
(2)该差分格式稳定吗?
为什么?
(3)该差分格式是否收敛到原微分方程的解?
为什么?
(4)取,写出该差分格式的矩阵表示。
5、叙述二重网格方法的执行过程,并对一维常微分方程边值问题
给出限制算子和延拓算子矩阵(以细网格:
,粗网格:
为例)。
6、对一阶波动方程
(1)写出用中心差分进行空间离散,用一阶向后Euler进行时间离散的差分格式;
(2)使用线方法,分析上述格式的稳定性。
7、考虑散热片的设计问题。
二维散热片如图3所示,是由一个中心柱和4个水平的子片构成;散热片从底部的均匀通量源通过大表面的子片散热到周围的空气中。
散热片可由一个5维参数向量来表示,,其中,和;可取给定设计集中的任意值。
是第个子片热传导系数(是中柱的热传导系数);Bi是Biot数,反映在散热片表面的对流输运的热传导系数(大的Bi意味好的热传导)。
比如,假定我们选择散热片具有如下参数,此时。
中心柱的宽度是1,高度是4;子片的厚度,长度。
我们将输出温度看作是的函数,其中输出温度是散热片底部定常态温度的均值,输出温度越低,散热效果越好。
在散热片内定常态温度分布,由椭圆型方程控制
其中是在的限制,是热传导系数为的散热片的区域:
是中心柱,对应4个子片。
整个散热片区域记为,的边界记为。
为确保在传导系数间断界面上温度和热通量的连续性,我们有
这里是的外法线。
在散热片的底部引入Neumann边界条件
来刻画热源;一个Robin边界条件
来刻画对流热损失,其中是暴露在流体流动中的边界部分,。
在底部的平均温度,其中。
在这个问题中,我们取。
(1)证明满足弱形式
其中
(2)证明是在中取得极小值的变量
(3)考虑线性有限元空间
找,使得
此时
运用通常的节点基,我们得矩阵方程
其中
n是有限元空间的维数。
请推导出单元矩阵,单元荷载向量,单元输出向量;并且描述从单元量获得总矩阵的程序。
8、考虑Poisson方程
其中Ω是单位正方形,定义空间和泛函
若,且是上述Poisson方程的解,
(1)证明为在空间上的极小值点,其中
(2)证明满足弱形式
(3)作图示均匀三角形剖分,步长,写出下列节点编号所对应的刚度矩阵和荷载向量。
(a)节点编号顺序为
(b)节点编号顺序为
(4)假定基函数和节点有同样的编号,写出节点为的节点基函数。
9、考虑一维的poisson方程
将区间分成等份,用中心差分离散二阶导数,完成下列各题:
(1)写出该问题的矩阵形式的离散格式:
;
(2)记,证明
·非负性
·有界性
10、交通流问题可用如下的非线性双曲型方程来刻划
其中是汽车密度(每公里汽车的辆数),是速度。
假定速度是密度的函数:
其中是最大速度,。
用如下的Roe格式
其中
求解下列绿灯亮了问题:
此时初始条件为
一些参数如下:
。
(1)给出时问题的解;
(2)Roe格式满足熵条件吗?
为什么?
11、考虑1D常微分方程两点边值问题
其中,定义空间和泛函
若,且是上述1D常微分方程两点边值问题的解,
(1)证明为在空间上的极小值点,其中
(2)证明满足弱形式
(3)将均匀剖分成等份(比如),,记第k个三角单元,写出节点编号为3所对应的节点基函数及第3个单元所对应的刚度矩阵和荷载向量。
(4)写出时,该问题有限元离散所对应的线性方程组。
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- 微分方程 数值 试题