离散时间系统时域分析报告与仿真Word格式.docx
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2、时不变系统
就是系统的参数不随时间而变化,即不管输入信号作用的时间先后,输出信号响应的形状均相同,仅是从出现的时间不同。
用数学表示为T[x(n)]=y[n]则T[x(n-n0)]=y[n-n0],这说明序列x(n)先移位后进行变换与它先进行变换后再移位是等效的。
3、线性时不变系统
既满足叠加原理又具有时不变特性,它可以用单位脉冲响应来表示。
单位脉冲响应是输入端为单位脉冲序列时的系统输出,一般表示为h(n),即h(n)=T[δ(n)]。
任一输入序列x(n)的响应y(n)=T[x(n)]=T[δ(n-k)];
由于系统是线性的,所以上式可以写成y(n)=T[δ(n-k)];
又由于系统是时不变的,即有T[δ(n-k)]=h(n-k);
从而得y(n)=h(n-k)=x(n)*h(n);
这个公式称为离散卷积,用“*”表示。
4、线性时不变系统的性质
(1)、齐次性
若激励f(t)产生的响应为y(t),则激励Af(t)产生的响应即为Ay(t),此性质即为齐次性。
其中A为任意常数。
f(t)系统y(t),Af(t)系统Ay(t)
(2)、叠加性
若激励f1(t)与f2(t)产生的响应分别为y1(t),y2(t),则激励f1(t)+f2(t)产生的响应即为y1(t)+y2(t),此性质称为叠加性。
(3)、线性
若激励f1(t)与f2(t)产生的响应分别为y1(t),y2(t),则激励A1f1(t)+A2f2(t)产生的响应即为A1y1(t)+A2y2(t),此性质称为线性。
(4)、时不变性
若激励f(t)产生的响应为y(t),则激励f(t-t0)产生的响应即为y(t-t0),此性质称为不变性,也称定常性或延迟性。
它说明,当激励f(t)延迟时间t0时,其响应y(t)也延迟时间t0,且波形不变。
(5)、微分性
若激励f(t)产生的响应为y(t),则激励f'
(t)产生的响应即y’(t),此性质即为微分性。
(6)、积分性
若激励f(t)产生的响应为y(t),则激励f(t)的积分产生的响应即为y(t)的积分。
此性质称为积分性。
三、MATLAB数值运算功能
MATLAB的强大数值计算功能使其在诸多数学计算软件中傲视群雄,它是MATLAB软件的基础。
下面将介绍运用MATLAB计算卷积和冲激响应。
(1)卷积求解:
由于系统的零状态响应是激励与系统的单位取样响应的卷积,因此,卷积运算在离散时间信号处理领域被广泛应用。
MATLAB求离散时间信号的卷积和命令为conv,其调用格式如下:
y=conv(x,h)
其中:
x与h表示离散时间信号值的向量;
y为卷积结果。
用MATLAB进行卷积运算时,无法实现无限的累加,只能计算时限信号的卷积。
一系统的单位取样响应为,用MATLAB求当激励信号为x(n)=u(n)-u(n-4)时,系统的零状态响应。
在MATLAB中可通过卷积求解零状态响应,即x(n)*h(n)。
上述系统描述h(n)向量的长度至少为8,描述x(n)向量的长度至少为4,因此为了图形完整美观,将h(n)向量和x(n)加上一些附加的零值。
其实现的MATLAB程序代码如下:
clearall;
nx=-1:
5;
%x(n)向量显示围(添加了附加的零值)
nh=-2:
10;
%h(n)向量显示围(添加了附加的零值)
x=uDT(nx)-uDT(nx-4);
h=0.8.^nh.*(uDT(nh)-uDT(nh-8));
y=conv(x,h);
ny1=nx
(1)+nh
(1);
%卷积结果起始点
%卷积结果长度为两序列长度之和减1,即0到(length(nx)+length(nh)-2)
%因此卷积结果的时间围是将上述长度加上起始点的偏移值
ny=ny1+(0:
(length(nx)+length(nh)-2));
subplot(3,1,1);
stem(nx,x,'
fill'
);
gridon;
xlabel('
n'
title('
x(n)'
axis([-41603]);
subplot(3,1,2);
stem(nh,h,'
h(n)'
subplot(3,1,3);
stem(ny,y,'
y(n)=x(n)*h(n)'
其波形如下图:
卷积结果
(2)冲激响应求解
在连续线性时域系统中,冲激响应和阶跃响应是系统特性的描述,对它们的分析是线性系统中极为重要的问题。
输入为单位冲激响应函数δ(t)所引起的零状态响应称为单位冲激响应,简称为冲激响应,用h(t)表示;
输入为单位阶跃函数u(t)所引起的零状态响应称为单位阶跃响应,简称为阶跃响应,用g(t)表示。
在MATLAB中,对于连续时域系统的冲激响应和阶跃响应的数值解,可分别利用控制系统工具箱提供的函数impulse和step来求解。
其调用格式如下:
y=impulse(sys,t)
y=step(sys,t)
t表示计算系统响应的时间抽样点向量,sys表示线性时域系统模型。
已知一连续时域系统的微分方程如下:
下面用MATLAB命令绘出0≤t≤4围系统的冲激响应h(t)和阶跃响应g(t)。
其实现的MATLAB代码如下:
t=0:
0.001:
4;
sys=tf([1,16],[1,2,32]);
h=impulse(sys,t);
g=step(sys,t);
subplot(2,1,1);
plot(t,h);
时间/s'
ylabel('
h(t)'
冲激响应'
subplot(2,1,2);
plot(t,g);
g(t)'
阶跃响应'
其仿真波形如下图:
冲激响应和阶跃响应波形
四、离散线性系统时域分析与仿真
1、线性离散时间信号的基本运算
对离散时间序列实行基本运算可得到新的序列,这些基本运算主要包括加、减、乘、除、移位和反折等。
两个序列的加减乘除是对应离散样点值的加减乘除,因此,可通过MATLAB点乘和点除、序列移位和反折来实现,与连续时间信号处理方法基本一样。
下面列举例子来说明。
用MATLAB命令绘出下列离散时间序列的波形图。
设a=0.8,N=8。
a=0.8;
N=8;
n=-12:
1:
12;
x=a.^n.*(uDT(n)-uDT(n-N));
n1=n;
n2=n1+3;
n3=n1-2;
n4=-n1;
subplot(4,1,1);
stem(n1,x,'
axis([-151501]);
(a)x1(n)'
subplot(4,1,2);
stem(n2,x,'
(b)x2(n)'
subplot(4,1,3);
stem(n3,x,'
(c)x3(n)'
subplot(4,1,4);
stem(n4,x,'
(d)x4(n)'
程序在运行过程中,调用到自定义的冲激序列uDT.m文件,其源代码如下:
functiony=uDT(n)
y=n>
=0;
离散序列波形图
2、线性离散系统分析
(1)零状态响应
离散线性时域系统可用下式表示,即
MATLAB中的函数filter可对上式差分方程在指定时间围的输入序列所产生的响应进行求解。
函数filter的调用格式如:
y=filter(b,a,x)
x为输入的离散序列;
y为输出的离散序列;
y的长度和x的长度一样;
b和a分别为差分方程右端与左端的系数向量。
一离散线性时域系统的差分方程如下:
下面用MATLAB命令绘出当激励信号为时,该系统的零状态响应。
a=[3-42];
b=[12];
n=0:
30;
x=(1/2).^n;
y=filter(b,a,x);
stem(n,y,'
系统零状态响应y(n)'
图3零状态响应
(2)单位取样响应
系统的单位取样响应定义为系统在δ(t)激励下系统的零状态响应,用h(n)表示。
MATLAB求解单位取样响应可利用函数filter,另一种求单位取样响应的方法是利用控制系统工具箱提供的函数impz来实现。
有一离散线性系统的差分方程如下:
下面利用MATLAB的impz函数绘出该系统的单位取样响应。
其实现的程序代码如下:
impz(b,a,30);
系统单位取样响应h(n)'
图4单位取样响应
(3)卷积和运算
一系统的单位取样响应为,用MATLAB求当激励信号为x(n)=u(n)-u(n-4)时,系统的零状态响应。
在MATLAB中可通过卷积求解零状态响应,即x(n)*h(n)。
上述系统描述h(n)向量的长度至少为8,描述x(n)向量的长度至少为4,因此为了图形完整美观,将h(n)向量和x(n)加上一些附加的零值。
h=0.8.^nh
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