普通高等学校招生全国统一考试高考数学试题解析全国卷Ⅰ理科.docx
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普通高等学校招生全国统一考试高考数学试题解析全国卷Ⅰ理科
全国卷Ⅰ(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},则( )
A.A∩B={x|x<0} B.A∪B=R
C.A∪B={x|x>1}D.A∩B=∅
解析:
集合A={x|x<1},B={x|x<0},∴A∩B={x|x<0},A∪B={x|x<1}.故选A.
答案:
A
2.如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )
A.1,4B.π,8
C.1,2D.π,4
解析:
不妨设正方形的边长为2,则正方形的面积为4,正方形的内切圆的半径为1,面积为π.由于正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称,所以黑色部分的面积为π,2,故此点取自黑色部分的概率为π,2,4=π,8,故选B.
答案:
B
3.设有下面四个命题
p1:
若复数z满足1,z∈R,则z∈R;
p2:
若复数z满足z2∈R,则z∈R;
p3:
若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=z2;
p4:
若复数z∈R,则z∈R.
其中的真命题为( )
A.p1,p3B.p1,p4
C.p2,p3D.p2,p4
解析:
设复数z=a+bi(a,b∈R),对于p1,∵1,z=1,a+bi=a-bi,a2+b2∈R,∴b=0,∴z∈R,∴p1是真命题;对于p2,∵z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi∈R,∴ab=0,∴a=0或b=0,∴p2不是真命题;对于p3,设z1=x+yi(x,y∈R),z2=c+di(c,d∈R),则z1z2=(x+yi)(c+di)=cx-dy+(dx+cy)i∈R,∴dx+cy=0,取z1=1+2i,z2=-1+2i,z1≠z2,∴p3不是真命题;对于p4,∵z=a+bi∈R,∴b=0,∴z=a-bi=a∈R,∴p4是真命题.故选B.
答案:
B
4.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为( )
A.1B.2
C.4D.8
解析:
设等差数列{an}的公差为d,
∴a1+3d+a1+4d=24,
6a1+6×5,2d=48,∴d=4,故选C.
答案:
C
5.函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f
(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是( )
A.[-2,2]B.[-1,1]
C.[0,4]D.[1,3]
解析:
∵函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且f
(1)=-1,∴f(-1)=-f
(1)=1,由-1≤f(x-2)≤1,得-1≤x-2≤1,∴1≤x≤3,故选D.
答案:
D
6.1+1,x2(1+x)6展开式中x2的系数为( )
A.15B.20
C.30D.35
解析:
(1+x)6展开式的通项Tr+1=Cr6xr,所以1+1,x2(1+x)6的展开式中x2的系数为1×C26+1×C46=30,故选C.
答案:
C
7.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( )
A.10B.12
C.14D.16
解析:
由三视图可知该多面体是一个组合体,下面是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱,上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥,等腰直角三角形的腰长为2,直三棱柱的高为2,三棱锥的高为2,易知该多面体有2个面是梯形,这些梯形的面积之和为(2+4)×2,2×2=12,故选B.
答案:
B
8.如图所示的程序框图是为了求出满足3n-2n>1000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入( )
A.A>1000和n=n+1
B.A>1000和n=n+2
C.A≤1000和n=n+1
D.A≤1000和n=n+2
解析:
程序框图中A=3n-2n,故判断框中应填入A≤1000,由于初始值n=0,要求满足A=3n-2n>1000的最小偶数,故执行框中应填入n=n+2,选D.
答案:
D
9.已知曲线C1:
y=cosx,C2:
y=sin2x+2π,3,则下面结论正确的是( )
A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π,6个单位长度,得到曲线C2
B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π,12个单位长度,得到曲线C2
C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的1,2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π,6个单位长度,得到曲线C2
D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的1,2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π,12个单位长度,得到曲线C2
解析:
易知C1:
y=cosx=sinx+π,2,把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的1,2倍,纵坐标不变,得到函数y=sin2x+π,2的图象,再把所得函数的图象向左平移π,12个单位长度,可得函数y=sin2x+π,12+π,2=sin2x+2π,3的图象,即曲线C2,故选D.
答案:
D
10.已知F为抛物线C:
y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为( )
A.16B.14
C.12D.10
解析:
抛物线C:
y2=4x的焦点为F(1,0),由题意可知l1,l2的斜率存在且不为0.不妨设直线l1的斜率为k,则l1:
y=k(x-1),l2:
y=-1,k(x-1),由y2=4x,
y=k(x-1),消去y得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),∴x1+x2=2k2+4,k2=2+4,k2,由抛物线的定义可知,|AB|=x1+x2+2=2+4,k2+2=4+4,k2.同理得|DE|=4+4k2,∴|AB|+|DE|=4+4,k2+4+4k2=8+41,k2+k2≥8+8=16,当且仅当1,k2=k2,即k=±1时取等号,故|AB|+|DE|的最小值为16,故选A.
答案:
A
11.设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则( )
A.2x<3y<5zB.5z<2x<3y
C.3y<5z<2xD.3y<2x<5z
解析:
设2x=3y=5z=k>1,∴x=log2k,y=log3k,z=log5k.∵2x-3y=2log2k-3log3k=2,logk2-3,logk3=2logk3-3logk2,logk2·logk3=logk32-logk23,logk2·logk3=logk9,8,logk2·logk3>0,∴2x>3y;∵3y-5z=3log3k-5log5k=3,logk3-5,logk5=3logk5-5logk3,logk3·logk5=logk53-logk35,logk3·logk5=logk125,243,logk3·logk5<0,∴3y<5z;∵2x-5z=2log2k-5log5k=2,logk2-5,logk5=2logk5-5logk2,logk2·logk5=logk52-logk25,logk2·logk5=logk25,32,logk2·logk5<0,∴5z>2x.∴5z>2x>3y,故选D.
答案:
D
12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:
已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:
N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( )
A.440B.330
C.220D.110
解析:
设第一项为第1组,接下来的两项为第2组,再接下来的三项为第3组,依此类推,则第n组的项数为n,前n组的项数和为n(n+1),2.由题意可知,N>100,令n(n+1),2>100,∴n≥14,n∈N*,即N出现在第13组之后.易得第n组的所有项的和为1-2n,1-2=2n-1,前n组的所有项的和为2(1-2n),1-2-n=2n+1-n-2.设满足条件的N在第k+1(k∈N*,k≥13)组,且第N项为第k+1组的第t(t∈N*)个数,第k+1组的前t项的和2t-1应与-2-k互为相反数,即2t-1=k+2,∴2t=k+3,∴t=log2(k+3),∴当t=4,k=13时,N=13×(13+1),2+4=95<100,不满足题意,当t=5,k=29时,N=29×(29+1),2+5=440,当t>5时,N>440,故选A.
答案:
A
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)
13.已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=__________.
解析:
易知|a+2b|=|a|2+4a·b+4|b|2=4+4×2×1×1,2+4=23.
答案:
23
14.设x,y满足约束条件x+2y≤1,
2x+y≥-1,
x-y≤0,则z=3x-2y的最小值为__________.
解析:
画出不等式组x+2y≤1,
2x+y≥-1,
x-y≤0所表示的平面区域如图中阴影部分所示,由可行域知,当直线y=3,2x-z,2过点A时,在y轴上的截距最大,此时z最小,由x+2y=1,
2x+y=-1,解得x=-1,
y=1.∴zmin=-5.
答案:
-5
15.已知双曲线C:
x2,a2-y2,b2=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为__________.
解析:
双曲线的右顶点为A(a,0),一条渐近线的方程为y=b,ax,即bx-ay=0,圆心A到此渐近线的距离d=|ba-a×0|,b2+a2=ab,c,因为∠MAN=60°,圆的半径为b,所以b·sin60°=ab,c,即3b,2=ab,c,所以e=2,3=23,3.
答案:
23,3
16.如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:
cm3)的最大值为__________.
解析:
法一:
由题意可知,折起后所得三棱锥为正三棱锥,当△ABC的边长变化时,设△ABC的边长为a(a>0)cm,则△ABC的面积为3,4a2,△DBC的高为5-3,6a,则正三棱锥的高为5-3,6a2-3,6a2=25-53,3a,
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- 普通高等学校 招生 全国 统一 考试 高考 数学试题 解析 全国卷 理科