数学系毕业论文浅谈构造法在高中数学解题中的应用文档格式.docx
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灵活性体现在用构造法解题,针对某一具体问题,怎样去进行构造,这与学生的数学基本功和解题经验都密切相关;
思维的多样性体现在构造法不同于一般的逻辑方法,一步一步寻求必要条件,直至推导出结论,它属于非常规思维,解题常要用到分析、综合、观察、比较、联想、想象等多种思维形式.
2.4构造法中常用到的思想方法
构造法中常用到一些数学思想方法,例如:
类比构造:
由于问题中研究对象有着形式上、本质上的相同或相似,通过构造类似的数学形式,运用新数学形式的丰富内涵达到解决问题的目的;
归纳构造:
对于与有关的问题,直接不容易构造出,而以具体的特殊的如进而推进到等;
逆向构造:
是指按逆向思维方式,向原有数学形式的相反方向去探求,通过构造(形式上,关系上或程度上)对立的数学形式来解决问题;
联想构造:
联想是由一事物想另一事物的思维方式和过程,这种联想通常是事物的形式、结构、范围、关系等因素作用的结果.
2.5构造法中常用到的类型
下面介绍一些常用的构造方法:
构造数学命题法:
如果遇到的数学问题直接证明有困难时,可构造其等价命题,并通过证明其等价命题成立从而使所论命题获证;
构造数学关系法:
由题设条件及所给的数量关系,构造一种新的函数、方程、多项式等具体数学关系,使问题在新的关系下实现转化从而获得解决的方法称为构造数学关系法;
构造几何图形法:
在解题时若以数形结合的思想作指导,对于某些较复杂的问题,通过构造图形启发思维,借助于图形的直观来解题往往使解题方法简捷,几何证题中的辅助线,代数方程应用题中的示意图都属于这一类;
构造结论法:
就是按照命题的条件和要求构造出符合结论的数学对象,从而断定命题正确性的证题方法。
有些数学命题是断言存在着某种具有某种性质的数学对象,或者是断言某种数学对象具有某种特定的性质,对于这类型的数学命题,证明的关键往往是构造出符合要求的数学对象,用构造结论的办法对数学命题作出证明,称为“构造性证明”;
构造矛盾法:
就是首先否定原命题,再利用否定后的命题构造出一个能够明显显露其错误的对象,从而导出矛盾,使原命题得证;
构造复数法:
由于复数具有代数、几何、三角等多种表示形式以及它的特征性质和运算法则,我们可以构造复数求解许多代数、几何、三角方面的问题,它不但可以提高纵横运用知识解题的技巧,而且可激发发散思维,有效地培养学生的能力,发展智力;
构造反例法:
为了说明一个命题不真,常常选择一个符合题设条件但命题不成立的反例,这个过程叫构造反例.选择特殊值,常常是构造反例的关键.
2.6构造法的优点
构造法的优点在于它使已知与未知、条件与结论很恰当的结合联系起来,起到化简、转化和“桥梁”的作用.另外,如果我们能掌握构造法并能运用于其解决数学问题,那么不但可以提高我们的解题能力,而且可以从敏锐的观察力、创造性的想象、独特的知识结构及解题灵感这些方面训练学生的思维,使学生的思维由单一型转变为多角度,从而培养学生的创新思维和创造性意识,激发学生学习的热情.
2.7构造法的注意事项
运用构造法时要注意以下两点:
如何恰当地应用构造思想解题的关键:
一要有明确的方向,即为什么目的而构造;
二是要弄清条件的本质特点,以便重新进行逻辑组合;
在运用构造法时,构造出的数学模型要保证能反映出原命题的本质特征,且构造出的数学模型所获得的结果,一定是原命题的解题目标,并经过检验,对于不符合原命题解题目标的结果应予以舍弃.
3构造法在解题中的应用
3.1构造向量
向量问题是高中数学教学中非常重要的内容,它不仅反映数量关系,而且体现位置关系,这种特点使得向量具有广泛的应用,利用向量模型可以解决代数、几何以及三角等数学问题.而许多学生只是单纯地把向量当做一个知识点来记忆而忽视了它与其它知识点之间的联系,所以高中数学教师应该向学生强化向量的概念并引导学生利用向量来解决相应的问题.
例1已知为正数,求函数的最小值.
解构造向量,,则原函数就可化为
所以
.
例2设是平面上的单位向量,且,则的最小值为
解设,则
=,
所以当时,取得最小值,为.
3.2构造函数
函数在我们整个中学数学是占有相当的内容,学生对于函数的性质也比较熟悉。
选择熟悉的内容来解决不熟悉的题目,同时也达到了训练学生的思维,增强学生的思维的灵活性、创新性.
例3已知函数,当有实数根时,的范围为
解令
则与的函数图像有交点时,函数有实根.
因为,所以当时,,此时,则在点的切线方程为.
所以当时,与的图像相切,当时,与的图像有交点.
因此.
例4求函数的最大值.
解由根号下的式子看出且,故可联想到三角函数关系式并构造.
所以.
当即时,.
3.3构造数列
近几年来的高考题中经常出现与自然数n有关的数学问题尤其是不等式证明题,解这类问题时,一般根据题目的特征,通过替换、设想等构造出一个与求证问题相联系的数列,并对该数列的特征进行分析,常可获得解题的途径.如果从分析问题所提出的信息知道其本质与数列有关,那么该问题就可以考虑运用构造数列的方法来解.
例5求证:
(其中).
解欲证含有与自然数有关的和的不等式,可以构造数列模型,只需证明数列是单调递增,且.
构造数列
则有
所以数列为递增数列.
又因,故(其中),即原不等式得证.
例6求自然数的最大值,使不等式对一切自然数恒成立.
解令
,
对任意,
,
所以,是单调递增数列(),则的最小值为,其中.
故对一切自然数使得>
成立的条件是>
,即.
因此所求自然数的最大值是3.
3.4构造方程
方程,作为高中数学的重要内容之一,与代数式、函数、不等式等知识密切相关。
一般根据已知条件中的数量关系和结构特征,构造出一个新的方程,然后利用方程中的知识解决问题,使解答简洁、合理.通过构造方程解题的步骤如下:
首先将所面临的问题转化为方程问题;
然后解这个方程或讨论这个方程的有关性质(常用判别式与韦达定理),得出相应结论;
最后将方程的相应结论再返回为原问题的结论.
例7求的值域.
分析求函数的值域的方法很多,判别式法是常用的一种,它的理论依据是将化为关于的二次方程,那么方程有实数解时,判别式0,由此可求得函数的值.
解将变形为关于的方程,
当时,,解得;
当时,.
所以,则的值域是.
例8若,求证:
成等差数列.
解本题证明方法很多,可以用构造法证明.注意到条件中的等式右边代数式的结构特点,容易联想起一元二次方程根的判别式,为此可构造以为判别式的一元二次方程.
由题可知,
所以方程有两个相等实根.
又因为把代入,可得,
所以为方程的一个根,从而.
由韦达定理得:
从而,命题得证.
3.5构造几何模型
华罗庚曾说过“数离开形少直观,形离开数难入微”,可见数形结合的思想是研究数学的基本思想之一,数与形是密不可分的.对于本身不具备图形的一些数学问题,如果问题条件中的数量关系有明显的或隐含的几何意义与背景,或能以某种方式与几何图形建立起联系,则可考虑通过构造几何图形将题设中的数量关系直接以图形的形式表示,然后借助几何图形的性质在所构造的图形中寻求问题的结论.
例9求函数的值域.
解,
其几何意义是平面内动点到两定点和的距离之和(如图1).
为求其值域只要求其最值即可,易知当三点共线(即在线段上)时,取得最小值,,无最大值,故得函数的值域为.
例10若求证:
.
解注意到观察题目特点,
从联想到余弦定理,可以构造三角形,同理,另外两个根式也可构造三角形,利用几何图形进行证明.
表示以x,y为边,夹角为的三角形的第三边,
同理,也有类似的几何意义.
这样,我们构作顶点为的四面体(如图2),使得
,
,.
由于在中,所以
图1图2
3.6构造复数
复数是高中数学中的一个重要的知识点,它是实数的延伸,一些难以解决的实数问题通过构造转化为复数问题,虽然数的结构会变复杂,但常使问题简明化.
例11求证:
。
分析若注意到根号里各式子的特点:
都是两个数的平方和,可以联想到复数的模,构造复数,再运用三角不等式便迅速得解.
证明设
则
≥=,
所以有:
成立.
例12求函数的最小值.
分析可以看作的模,可以看作的模,然后利用复数模的性质求解.
解设
,,
则.
因为,
所以
=.
当,同向时,即时,有时,的最小值为.
3.7构造等价命题
如果某些命题的表达比较抽象复杂、直接求解比较困难时,可以构造一个表达方式较为通俗易懂且和原命题等价的新命题,比如构造原命题的逆否命题、构造矛盾命题等.
例13方程的正整数解的组数是()
A.24B.72C.144D.165
分析原命题等价于把12个相同的小球分成4堆.
解先把12个小球排成一行,在形成的11个空中插入3块隔板,共有=165种,
故方程的正整数解的组数是165,选D.
变式方程的非负整数解的组数是多少?
解设,则,原问题转化为方程有多少正整数解,由例13易知答案为=455.
4结束语
通过上述的例子可见运用构造法解题可以把问题由繁化简,由难化易,由抽象化转化为具体,使问题更快地得到解答.此外,构造法在解题中的应用还有许多,须针对不同的数学问题需灵活采用相应的构造法,所以我们还需要加强对构造法补充和完善,对其进行深入和广泛的研究并进行教学实践,这样才能将构造法应用于更多的数学题中,且对于迅速发展的今天培养创新型人才有着非常重要的意义.
致谢
对于本论文的完成,首先要感谢我的导师吴老师.吴老师从一开始的论文方向的选定,到最后的整篇文论的完成,都非常耐心的对我进行指导.给我提供了找数据资料的途径和建议,告诉我应该注意的细节问题,细心的给我指出错误,还给我谈了一些为人处世的道理.她诲人不倦的工作作风,一丝不苟的工作态度,严肃认真的治学风格给我留下深刻的影响,值得我
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