高考数学一轮复习 第2章 函数 第6节 指数与指数函Word文档下载推荐.docx
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0<a<1
图像
定义域
R
值域
(0,+∞)
性质
过定点(0,1)
当x>0时,y>1;
当x<0时,0<y<1
当x>0时,0<y<1;
当x<0时,y>1
在R上是增函数
在R上是减函数
1.指数函数图像的画法
画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图像,应抓住三个关键点:
(1,a),(0,1),.
2.指数函数的图像与底数大小的比较
如图是指数函数
(1)y=ax,
(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的图像,底数a,b,c,d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.由此我们可得到以下规律:
在第一象限内,指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图像越高,底数越大.
3.指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图像和性质跟a的取值有关,要特别注意应分a>1与0<a<1来研究.
一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)=()n=a.( )
(2)(-1)=(-1)=.( )
(3)函数y=ax2+1(a>1)的值域是(0,+∞).( )
(4)若am<an(a>0且a≠1),则m<n.( )
[答案]
(1)×
(2)×
(3)×
(4)×
二、教材改编
1.函数f(x)=21-x的大致图像为( )
A B C D
A [f(x)=21-x=,又f(0)=2,f
(1)=1,故排除B,C,D,故选A.]
2.若函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图像经过点P,则f(-1)=________.
[由题意知=a2,所以a=,
所以f(x)=,所以f(-1)==.]
3.化简(x<0,y<0)=________.
[答案] -2x2y
4.已知a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是________.
c<b<a [∵y=是减函数,
∴>>,
则a>b>1,
又c=<=1,
∴c<b<a.]
(对应学生用书第25页)
⊙考点1 指数幂的运算
指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的,无括号的先算指数运算.
(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.
(3)底数是负数,先确定符号;
底数是小数,先化成分数;
底数是带分数的,先化成假分数.
(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答.
1.化简·
(a>0,b>0)=________.
[原式=2×
=21+3×
10-1=.]
2.计算:
+0.002-10(-2)-1+π0=________.
- [原式=+500-+1=+10-10-20+1=-.]
3.化简:
÷
×
=________(a>0).
a2 [原式=÷
=a(a-2b)×
=a2.]
运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指数,形式力求统一.
⊙考点2 指数函数的图像及应用
(1)与指数函数有关的函数图像的研究,往往利用相应指数函数的图像,通过平移、对称、翻折变换得到其图像.
(2)一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解.
(1)函数f(x)=ax-b的图像如图,其中a,b为常数,则下列结论正确的是( )
A.a>1,b<0
B.a>1,b>0
C.0<a<1,b>0
D.0<a<1,b<0
(2)若曲线y=|3x-1|与直线y=m有两个不同交点,则实数m的取值范围是________.
(1)D
(2)(0,1) [
(1)由f(x)=ax-b的图像可以观察出,函数f(x)=ax-b在定义域上单调递减,所以0<a<1.函数f(x)=ax-b的图像是在f(x)=ax的基础上向左平移得到的,所以b<0.故选D.
(2)曲线y=|3x-1|的图像是由函数y=3x的图像向下平移一个单位长度后,再把位于x轴下方的图像沿x轴翻折到x轴上方得到的,而直线y=m的图像是平行于x轴的一条直线,它的图像如图所示,由图像可得,如果曲线y=|3x-1|与直线y=m有两个公共点,则m的取值范围是(0,1).]
[母题探究]
1.(变条件)若本例
(2)条件变为:
方程3|x|-1=m有两个不同实根,则实数m的取值范围是________.
(0,+∞) [作出函数y=3|x|-1与y=m的图像如图所示,数形结合可得m的取值范围是(0,+∞).
]
2.(变条件)若本例
(2)的条件变为:
函数y=|3x-1|+m的图像不经过第二象限,则实数m的取值范围是________.
(-∞,-1] [作出函数y=|3x-1|+m的图像如图所示.
由图像知m≤-1,即m∈(-∞,-1].]
应用指数函数图像的技巧
(1)已知函数解析式判断其图像一般是取特殊点,判断所给的图像是否过这些点,若不满足则排除.
(2)对于有关指数型函数的图像问题,一般是从最基本的指数函数的图像入手,通过平移、对称变换而得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.
1.函数f(x)=1-e|x|的图像大致是( )
A B
C D
A [f(x)=1-e|x|是偶函数,图像关于y轴对称,又e|x|≥1,∴f(x)≤0,符合条件的图像只有A.]
2.函数y=ax-b(a>0,且a≠1)的图像经过第二、三、四象限,则ab的取值范围是________.
(0,1) [因为函数y=ax-b的图像经过第二、三、四象限,所以函数y=ax-b单调递减且其图像与y轴的交点在y轴的负半轴上.令x=0,则y=a0-b=1-b,由题意得解得故ab∈(0,1).]
3.已知实数a,b满足等式2019a=2020b,下列五个关系式:
①0<b<a;
②a<b<0;
③0<a<b;
④b<a<0;
⑤a=b.
其中不可能成立的关系式有________(填序号).
③④ [作出y=2019x及y=2020x的图像如图所示,由图可知a>b>0,a=b=0或a<b<0时,有2019a=2020b,故③④不可能成立.]
⊙考点3 指数函数的性质及应用
指数函数性质的应用主要是利用单调性解决相关问题,而指数函数的单调性是由底数a决定的,因此解题时通常对底数a按0<a<1和a>1进行分类讨论.
比较指数式的大小
(1)已知a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,则( )
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>a>bD.b>c>a
(2)设函数f(x)=x2-a与g(x)=ax(a>1且a≠2)在区间(0,+∞)上具有不同的单调性,则M=(a-1)0.2与N=的大小关系是( )
A.M=NB.M≤N
C.M<ND.M>N
(1)A
(2)D [
(1)由0.2<0.6,0.4<1,并结合指数函数的图像可知0.40.2>0.40.6,即b>c.因为a=20.2>1,b=0.40.2<1,所以a>b.综上,a>b>c.
(2)因为f(x)=x2-a与g(x)=ax(a>1且a≠2)在区间(0,+∞)上具有不同的单调性,所以a>2,所以M=(a-1)0.2>1,N=<1,所以M>N.故选D.]
指数式的大小比较,依据的就是指数函数的单调性,原则上化为同底的指数式,并要注意底数范围是(0,1)还是(1,+∞),若不能化为同底,则可化为同指数,或利用中间变量比较,如本例
(1).
解简单的指数方程或不等式
(1)已知函数f(x)=a+的图像过点,若-≤f(x)≤0,则实数x的取值范围是________.
(2)方程4x+|1-2x|=11的解为________.
(1)
(2)x=log23 [
(1)∵f(x)=a+的图像过点,
∴a+=-,即a=-.
∴f(x)=-+.
∵-≤f(x)≤0,
∴-≤-≤0,
∴≤≤,
∴2≤4x+1≤3,
即1≤4x≤2,
∴0≤x≤.
(2)当x≥0时,原方程化为4x+2x-12=0,即(2x)2+2x-12=0.
∴(2x-3)(2x+4)=0,
∴2x=3,即x=log23.
当x<0时,原方程化为4x-2x-10=0.
令t=2x,则t2-t-10=0(0<t<1).
由求根公式得t=均不符合题意,故x<0时,方程无解.]
(1)af(x)=ag(x)⇔f(x)=g(x).
(2)af(x)>ag(x),当a>1时,等价于f(x)>g(x);
当0<a<1时,等价于f(x)<g(x).
(3)有些含参指数不等式,需要分离变量,转化为求有关函数的最值问题.
与指数函数有关的复合函数的单调性
函数f(x)=的单调减区间为________.
(-∞,1] [设u=-x2+2x+1,∵y=在R上为减函数,所以函数f(x)=的减区间即为函数u=-x2+2x+1的增区间.
又u=-x2+2x+1的增区间为(-∞,1],
所以f(x)的减区间为(-∞,1].]
[逆向问题]
已知函数f(x)=2|2x-m|(m为常数),若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,则m的取值范围是________.
(-∞,4] [令t=|2x-m|,则t=|2x-m|在区间上单调递增,在区间上单调递减.而y=2t在R上单调递增,所以要使函数f(x)=2|2x-m|在[2,+∞)上单调递增,则有≤2,即m≤4,所以m的取值范围是(-∞,4].]
求解与指数函数有关的复合函数问题,首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
指数函数性质的综合应用
(1)函数f(x)=a+(a,b∈R)是奇函数,且图像经过点,则函数f(x)的值域为( )
A.(-1,1)B.(-2,2)
C.(-3,3)D.(-4,4)
(2)若不等式1+2x+4x·
a>0在x∈(-∞,1]时恒成立,则实数a的取值范围是________.
(1)A
(2) [
(1)函数f(x)为奇函数,定义域是R,则f(0)=a+=0①,函数图像过点,则f(ln3)=a+=②.结合①②可得a=1,b=-2,则f(x)=1-.因为ex>0,所以ex+1>1,所以0<<2,所以-1<1-<1,即函数f(x)的值域为(-1,1).
(2)从已知不等式中分离出实数a,得a>-.因为函数y=和y=在R上都是减函数,所以当x∈(-∞,1]时,≥,≥,所以+≥+=,从而得-≤-.故实数a的取值范围为a>-.]
指数函数的综合问题,主要涉及单调性、奇偶性、最值问题,应在有关性质的基础上,结合指数函数的性质进行解决,而指数函数性质的重点是单调性,注意利用单调性实现问题的转化.
1.函数y=的值域是( )
A.(-∞,4)B.(0,+∞)
C.(0,4]
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