最新DOC高中数学必修4平面向量知识点及习题优秀名师资料Word格式.docx
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相等向量:
ab小相等,方向相同
xx2(x1,y1)(x2,y2)1
y1y2
求两个向量和的运算叫做向量的加法设ABa,BCb,则a+b=AB,BC=AC
(1)0,aa,0a;
(2)向量加法满足交换律与结合律;
向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”:
(1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点
与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量
(2)三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;
差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;
当两向量是首尾连接时,用三角形法则(向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加:
AB,BC,CD,(,PQ,QRAR,但这时必须“首尾相连”
相反向量:
与a长度相等、方向相反的向量,叫做a的相反向量
记作,a,零向量的相反向量仍是零向量
关于相反向量有:
(i),(,a)=a;
(ii)a+(,a)=(,a)+a=0;
(iii)若a、b是互为相反向量,则
a=,b,b=,a,a+b=0?
向量减法:
向量a加上b的相反向量叫做a与b的差,
记作:
a,ba,(,b)?
作图法:
a,b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量(a、b?
实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa,它的长度与方向规定如下:
(?
)aa;
(?
)当0时,λa的方向与a的方向相同;
当0时,λa的方向与a的方向相
反;
当0时,a0,方向是任意的?
数乘向量满足交换律、结合律与分配律
向量b与非零向量a共线有且只有一个实数,使得b=a
如果e1,e2是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数1,2使:
a1e1,2e2,其中不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底特别注意:
(1)向量的加法与减法是互逆运算
(2(3)向量平行与直线平行有区别,直线平行不包括共线(即重合),而向量平行则包括共线(重合)的情况
(4)向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关学习本章主要树立数形转化和结合的观点,以数代形,以形观数,用代数的运算处理几何问题,特别是处理向量的相关位置关系,正确运用共线向量和平面向量的基本定理,计算向量的模、两点的距离、向量的夹角,判断两向量是否垂直等由于向量是一新的工具,它
例1给出下列命题:
若|a|,|b|,则a=b;
若A,B,C,D是不共线的四点,则ABDC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;
若a=b,b=c,则a=c,
a=b的充要条件是|a|=|b|且a//b;
若a//b,b//c,则a//c,解:
不正确(两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同(?
正确(?
ABDC,?
|AB||DC|且AB//DC,
又A,B,C,D是不共线的四点,?
四边形ABCD为平行四边形;
反之,若四边形ABCD为平行四边形,则,AB//DC且|AB||DC|,
因此,ABDC(
a=b,?
a,b的长度相等且方向相同;
又b,c,?
b,c的长度相等且方向相同,
a,c的长度相等且方向相同,故a,c(
不正确(当a//b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故|a|=|b|且a//b不是a=b的充要条件,而是必要不充分条件(
不正确(考虑b=0这种特殊情况(
综上所述,正确命题的序号是?
(
点评:
本例主要复习向量的基本概念(向量的基本概念较多,因而容易遗忘(为此,复习一方面要构建良好的知识结构,另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想(
例2设A、B、C、D、O是平面上的任意五点,试化简:
AB,BC,CD,?
DB,AC,BD?
OA,OC,OB,CO
解:
原式=(AB,BC),CDAC,CDAD
原式=(DB,BD),AC0,ACAC
原式=(OB,OA),(,OC,CO)AB,(OC,CO)AB,0AB
例3设非零向量a、b不共线,c=ka+b,d=a+kb(kR),若c?
d,试求k解:
c?
d
由向量共线的充要条件得:
c=λd(λR)
即ka+b=λ(a+kb)?
(k,λ)a+(1,λk)b=
又?
a、b不共线
由平面向量的基本定理
二.平面向量的坐标表示在直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,jk,0k11,k0作为基底该平面内的任一向量a可表示成axi,yj,由于a与数对(x,y)是一一对应的,因此把(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中x叫作a在x轴上的坐标,y叫做在y
(1)相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量
(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关
(1)若a,x1,y1,,b,x2,y2,,则ab,x1x2,y1y2,
(2)若A,x1,y1,,B,x2,y2,,则AB,x2,x1,y2,y1,
(3)若a=(x,y),则a=(x,y)
(4)若a,x1,y1,,b,x2,y2,,则a//bx1y2,x2y10
(5)若a,x1,y1,,b,x2,y2,,则abx1x2,y1y2
若ab,则x1x2,y1y20和性质
例1已知向量a(1,2),b(x,1),ua,2b,v2a,b,且u//v,求实数x的值
因为a(1,2),b(x,1),ua,2b,v2a,b
所以u(1,2),2(x,1)(2x,1,4),v2(1,2),(x,1)(2,x,3)又因为u//v
所以3(2x,1),4(2,x)0,即10x5解得x
12
例2已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),试用向量方法求直线AC和OB(O为坐标原点)交点P的坐标解:
设P(x,y),则OP(x,y),AP(x,4,y)因为P是AC与OB的交点
所以P在直线AC上,也在直线OB上即得OP//OB,AP//AC
由点A(4,0),B(4,4),C(2,6)得,AC(,2,6),OB(4,4)
6(x,4),2y0
4x,4y0x3解之得
y3
故直线AC与OB的交点P的坐标为(3,3)得方程组
三(平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b,它们的夹角为,则a?
b=,a,?
b,cos叫做a与b的数量积(或内积)规定0a0,b,cos=
ab
R,称为向量b在a方向上的投影投影的绝对值称为射|a|
影
a?
b等于a的长度与b在aaaa2|a|2
,,,,ab,a2ab,b
2
a,ba,ba2,b2a,b;
a2ab,b
交换律成立:
abba
,,R,
分配律成立:
ab,cacbcc,ab,特别注意:
(1)结合律不成立:
a,bc,,ab,c;
对实数的结合律成立:
a,babab
(2)消去律不成
立abac
不能得到
bc
,
(3)ab=0不能得到a=0或b=0
已知两个向量a(x1,y1),b(x2,y2),则a?
b=x1x2,y1y已知两个非零向量a与b,作OA=a,OB=b,则?
AOB=(0180)
00
叫做向量a与b的夹角cos=cosa,b
abab
=
x1x2,y1y2x1,y1x2,y2
当且仅当两个非零向量a与b
同方向时,θ=00,当且仅当a与b反方向时θ=1800,同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题如果a与b的夹角为90则称a与b垂直,记作a?
b0
10两个非零向量垂直的充要条件:
ba?
b,Ox1x2,y1y2
例1判断下列各命题正确与否:
(1)0a0;
(2)0a0;
(3)
若a0,abac,则bc;
若abac,则bc当且仅当a0时成立;
(5)(ab)ca(bc)对任意a,b,c向量都成立;
(6)对任意向量a,有aa2
错;
?
对;
错;
对
例2已知两单位向量a与b的夹角为120,若c2a,b,d3b,a,试求
c与d的夹角0
由题意,ab1,且a与b的夹角为120,所以,ababcos120,
1,2
ccc(2a,b)(2a,b)4a2,4ab
b27,
c
同理可得d而cd(2a,b)(3b,a)7ab,3b,2a,设为c
与d的夹角,
17,2
则cos
172,
1791,
182182
向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑
例3已知a,4,3,,b,,1,2,,ma,b,n2a,b,按下列条
件求实数的值
(1)mn;
(2)m//n;
(3)mn解:
ma,b,4,,3,2,,n2a,b,7,8,
(1)mn,4,,7,,3,2,80,
52
9;
(2)m//n,4,,8,,3,2,70,1
;
(3)mn
4,2,3,22
72,8252,4,880
(3)当>
0时,设抛物线与x轴的两个交点为A、B,则这两个点之间的距离:
225
向量(习题)
1.以下说法错误的是()
化简后即为:
这就是抛物线与x轴的两交点之间的距离公式。
A.零向量与任一非零向量平行B.零向量与单位向量的模不相等C.平行向量方向相同D.平行向量一定是共线向量2.下列四式不能化简为的是()
定义:
在Rt△ABC中,锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即
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