正弦函数余弦函数的性质教案人教A版Word文档格式.docx
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1.周期性
可引导学生从正、余弦线,正、余弦函数图象以及诱导公式一即形与数两个方面,归纳总结“周而复始”的变化规律,给出“周期性”概念.关于正弦函数、余弦函数的周期与最小正周期,一般只要弄清定义,并根据正弦、余弦曲线观察出结果就可以了.对于学有余力的学生,可以让他们尝试证明正弦、余弦函数的最小正周期是2π.
2.其他性质
与研究周期性的方法一样,根据正弦函数、余弦函数图象及函数解析式,同样可以直观地看出这两个函数的奇偶性、单调性、最大(小)值等性质.值得注意的是,对于周期函数性质的讨论,只要认识清楚它在一个周期内的性质,就可以得到它在整个定义域内的性质.
(1)正弦函数、余弦函数的奇偶性,无论是由图象观察,还是由诱导公式进行证明,都很容易.所以,这一性质的研究可以交给学生自主完成.
(2)正弦函数、余弦函数的单调性,只要求由图象观察,不要求证明.教学中要注意引导学生根据函数图象以及《数学1》中给出的增(减)函数定义进行描述.具体的,可以先选择一个恰当的区间(这个区间长为一个周期,且仅有一个单增区间和一个单减区间),对正弦函数在这个区间上的单调性进行描述;
然后利用正弦函数的周期性说明在其他区间上的单调性.对于余弦函数的单调性,可让学生类比正弦函数的单调性自己描述.另外,从一个周期的区间推广到整个定义域上去时,学生会有些不习惯,教学中要留给学生一定的思考时间,由他们自己归纳出正弦函数、余弦函数的单调区间的一般形式.
正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论.由于问题比较简单,所以可以由学生自己去研究.同样的,对于取最大(小)值时的自变量x的一般形式,也要注意引导学生利用周期性进行正确归纳.
●教学流程
课标解读
1.掌握y=sinx(x∈R),y=cosx(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值.(重点)
2.会用正弦函数、余弦函数的性质解决一些简单的三角函数问题.(难点)
3.了解周期函数、周期、最小正周期的含义.(易混点)
知识点1
函数的周期性
【问题导思】
1.观察下列实例:
(1)海水会发生潮汐现象,大约在每一昼夜的时间里,潮水会涨落两次.
(2)钟表上的时针每经过12小时运行一周,分针每经过1小时运行一周,秒针每经过1分钟运行一周.
上述两种现象,具有怎样的属性?
【提示】 周而复始,重复出现.
2.观察正弦曲线和余弦曲线,正弦函数和余弦函数具有上述规律吗?
哪个公式可以反映这种规律?
【提示】 具有.sin(x+2kπ)=sinx,cos(x+2kπ)=cosx.
1.函数的周期性
(1)对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.
(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.
2.两种特殊的周期函数
(1)正弦函数y=sinx是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π.
(2)余弦函数y=cosx是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π.
知识点2
正、余弦函数的奇偶性
对于x∈R,sin(-x)=-sinx,cos(-x)=cosx,这说明正、余弦函数具备怎样的性质?
【提示】 奇偶性.
1.对于y=sinx,x∈R恒有sin(-x)=-sinx,所以正弦函数y=sinx是奇函数,正弦曲线关于原点对称.
2.对于y=cosx,x∈R恒有cos(-x)=cosx,所以余弦函数y=cosx是偶函数,余弦曲线关于y轴对称.
知识点3
正、余弦函数的定义域、值域和单调性
观察正弦函数、余弦函数的图象:
1.正弦函数、余弦函数的定义域各是什么?
【提示】 R
2.正弦函数、余弦函数的值域各是什么?
【提示】 [-1,1].
3.正弦函数在[-,]上函数值的变化有什么特点?
余弦函数在[0,2π]上函数值的变化有什么特点?
【提示】 y=sinx在[-,]上,曲线逐渐上升,是增函数,函数值y由-1增大到1;
在[,]上,曲线逐渐下降,是减函数,函数值y由1减小到-1;
y=cosx在[0,π]上,曲线逐渐下降,是减函数,函数值由1减小到-1;
在[π,2π]上,曲线逐渐上升,是增函数,函数值由-1增大到1.
函数名称图象与性质性质分类
y=sinx
y=cosx
相
同
处
定义域
R
值域
[-1,1]
周期性
最小正周期为2π
不
图象
奇偶性
奇函数
偶函数
单调性
在[2kπ-,2kπ+](k∈Z)上是增函数;
在[2kπ+,2kπ+π](k∈Z)上是减函数
在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上是增函数;
在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上减函数
对称轴
x=kπ+(k∈Z)
x=kπ(k∈Z)
对称中心
(kπ,0),(k∈Z)
(kπ+,0)
(k∈Z)
最值
x=2kπ+(k∈Z)时,ymax=1;
x=2kπ-(k∈Z)时,
ymin=-1
x=2kπ时,ymax=1;
x=2kπ+π时,ymin=-1
类型1
求三角函数的周期
例1 求下列函数的最小正周期:
(1)y=sin(x+3);
(2)y=|cosx|.
【思路探究】 解答本题
(1)可利用代换z=x+3,将求原来函数的周期转化为求y=sinz的周期再求解,或利用公式求解;
(2)可通过图象求周期.
【自主解答】
(1)法一 令z=x+3,且y=sinz的最小正周期为2π.
∴sin(x+3+2π)=sin[(x+4)+3],
因此sin(x+3)=sin[(x+4)+3].
∴由周期函数定义,T=4是y=sin(x+3)的最小正周期.
法二 f(x)=sin(x+3)的周期T==4.
(2)作y=|cosx|的图象,如图所示:
由图象知y=|cosx|的最小正周期为π.
规律方法
1.正弦函数、余弦函数的周期性,实质上是由终边相同角所具有的周期性决定的.
2.对于形如y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,且ω≠0)函数的周期求法常直接利用T=来求解;
形如y=|Asinωx|或y=|Acosωx|的周期常结合函数的图象,观察求解.
互动探究
若把例题中两个函数改为:
(1)y=cos(2x-);
(2)y=cos|x|,试求函数的最小正周期.
【解】
(1)∵y=cos(2x-)中,ω=2,
∴函数的最小正周期为T==π.
(2)∵y=cos|x|=cosx,
∴y=cos|x|的最小正周期T=2π.
类型2
三角函数的奇偶性的判断
例2 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=sin2x;
(2)f(x)=sin(+);
(3)f(x)=+.
【思路探究】 首先求出函数定义域,在定义域关于原点对称的前提下,根据f(-x)与f(x)及-f(x)的关系来判断.
【自主解答】
(1)显然x∈R,
f(-x)=sin(-2x)=-sin2x=-f(x),
∴f(x)是奇函数.
(2)∵x∈R,f(x)=sin(+)=-cos,
∴f(-x)=-cos=-cos=f(x),
∴函数f(x)=sin(+)是偶函数.
(3)由,得cosx=1,∴x=2kπ(k∈Z),
此时f(x)=0,故该函数既是奇函数又是偶函数.
1.判断函数奇偶性要按函数奇偶性的定义,定义域关于原点对称是函数是奇函数或偶函数的前提.
2.要注意诱导公式在判断f(x)与f(-x)之间关系时的作用.
变式训练
判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=sin(2x+π);
(2)f(x)=lg(sinx+).
【解】
(1)函数的定义域为R,f(x)=sin(2x+π)=sin(2x+)=cos2x,显然有f(-x)=f(x)成立.
∴f(x)=sin(2x+π)为偶函数.
(2)函数定义域为R,
f(-x)=lg(-sinx+)
=lg
=-lg(sinx+)=-f(x).
∴函数f(x)=lg(sinx+)为奇函数.
类型3
求正、余弦函数的单调区间
例3 求函数y=sin(-x)的单调递减区间.
【思路探究】 本题中自变量的系数为负,故首先利用诱导公式,将y=sin(-x)化为y=-sin(x-)形式,故只需求y=sin(x-)的单调递增区间即可.
【自主解答】 y=sin(-x)=-sin(x-),
令z=x-,则y=-sinz,
要求y=-sinz的递减区间,只需求sinz的递增区间,
即2kπ-≤z≤2kπ+,k∈Z,
∴2kπ-≤x-≤2kπ+,k∈Z.
∴2kπ-≤x≤2kπ+π,k∈Z.
故函数y=sin(-x)的单调递减区间为[2kπ-,2kπ+π],k∈Z.
1.求形如y=Asin(ωx+φ)+b或形如y=Acos(ωx+φ)+b(其中A≠0,w>
0,b为常数)的函数的单调区间,可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间,通过解不等式求得.
2.具体求解时注意两点:
①要把ωx+φ看作一个整体,若ω<
0,先用诱导公式将式子变形,将x的系数化为正;
②在A>
0,ω>
0时,将“ωx+φ”代入正弦(或余弦)函数的单调区间,可以解得与之单调性一致的单调区间;
当A<
0时同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间.
求函数y=2cos(-x)的单调递增区间.
【解】 y=2cos(-x)=2cos(x-),由2kπ-π≤x-≤2kπ(k∈Z)得2kπ-π≤x≤2kπ+(k∈Z).
∴y=2cos(-x)的单调递增区间为[2kπ-π,2kπ+](k∈Z).
类型4
有关三角函数的最值问题
例4 已知函数y1=a-bcosx的最大值是,最小值是-,求函数y=-4asin3bx的最大值.
【思路探究】 欲求函数y
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- 正弦 函数 余弦 性质 教案