双曲型偏微分方程的求解及其应用Word文档下载推荐.docx
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Integraltransform
1绪论
1.1问题的背景、意义
1.1.1背景
扩展微积分的应用范围,尤其是与力学的有机结合,成为18世纪数学的鲜明特征之一,产生的新思想使数学本身大大受惠,一系列新的数学分支在18世纪成长起来。
如,常微分方程、偏微分方程、变分法3个分支的形成。
微积分对弦振动等力学问题的应用引导一门新的数学分支,偏微分方程的建立。
包含未知函数以及偏导数的等式称为偏微分方程。
偏微分方程理论研究一个方程(组)是否有满足某些补充条件的解,有多少个解,解的各种性质与求解方法,及其应用。
一阶偏微分方程的解法。
1722年拉格朗日(法,1736-1813)和1819年柯西(法,1798-1857年)发现将其转化为一阶常微分方程组。
二阶偏微分方程的突破口是弦振动方程。
给定一个拉紧的均匀柔软的弦,两端固定在轴的某两点上,考察该弦在平衡位置附近的微小横振动。
弦上个点的运动可以横向位移表示,则。
这个方程称为弦振动方程,或一维的波动方程。
1715年和1727年泰勒和约翰.伯努利分别提出了建立弦振动方程的问题。
1747年达朗贝尔(1717-1783)发表《弦振动研究》和1749年欧拉都导出了弦振动方程并求出解,成为偏微分方程研究的开端。
1753年丹尼尔.伯努利的论文(1755年发表)在假定所有可能的初始曲线均可表为正弦级数的前提下,导出了具有正弦周期模式的解。
欧拉在1759年的论文(1766年发表)中将弦振动方程作了推广,讨论了二维鼓膜的振动和声波的三维传播,分别得到了二维和三维的波动方程,获得了解的初步性质。
波动方程现称为双曲型偏微分方程。
另一重要类型的二阶偏微分方程是位势方程,是1752年欧拉在研究流体力学时提出的。
欧拉证明了对流体内任一点的速度分量,,,一定存在函数(速度势)满足,这就是位势方程。
在热传导过程中,当热运动达到平衡状态时,温度u也满足上述方程,所以它也称为调和方程。
1785年拉普拉斯(法,1749-1827年)用球调和函数求解,稍后又给出了这方程的直角坐标形式。
现在称这方程为拉普拉斯方程,这属于椭圆形偏微分方程。
对二阶偏微分方程的求解构成19世纪数学家和物理学家关注的中心问题之一[1-4]。
1.1.2意义
在科学技术日新月异的发展过程中,人们研究的许多问题用一个自变量的函数来描述已经显得不够了,不少问题有多个变量的函数来描述。
比如,从物理角度来说,物理量有不同的性质,温度、密度等是用数值来描述的叫做纯量;
速度、电场的引力等,不仅在数值上有不同,而且还具有方向,这些量叫做向量;
物体在一点上的张力状态的描述出的量叫做张量,等等。
这些量不仅和时间有关系,而且和空间坐标也有联系,这就要用多个变量的函数来表示。
随着电子计算机的出现和发展,偏微分方程的数值解得到了前所未有的发展和应用.在科学的计算机化进程中,科学与工程计算作为工具性、方法性、边缘交叉性的新学科开始了自己的新发展.由于科学基本规律大多是通过偏微分方程来描述的,因此科学与工程计算的主要任务就是求解形形色色的偏微分方程,特别是一些大规模、非线性、几何非规则性的方程.
随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展,偏微分方程的应用范围更广泛。
从数学自身的角度看,偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。
从这个角度说,偏微分方程变成了数学的中心。
2双曲型偏微分方程的基本概念
2.1偏微分方程的基本概念
这一节,我们来了解一下关于偏微分方程的相关概念,如定解条件和定解问题以及定解问题的适定性。
2.1.1定义
含有未知函数的偏导数的方程叫偏微分方程,常微分方程可以看成是特殊的偏微分方程。
方程的个数是1的称为方程式,方程的个数多于1的称为方程组。
对于方程组而言,一般要求方程的个数与未知函数的个数相同。
如果方程的个数少于未知函数的个数,称方程组是欠定的。
如果方程组的个数多于未知函数的个数,称方程组是超定的。
方程(组)中出现的未知函数的最高阶偏导数的阶数称为方程(组)的阶数。
2.1.2定解条件和定解问题
给定一个常微分方程,有通解和特解的概念。
通解只要求满足方程,即满足某种物理定律,而不能完全确定一个物理状态,这种解通常有无穷多个。
特解除了要求满足方程外,还要满足给定的外加(特殊)条件。
对偏微分方程也是一样的。
换句话说,为了完全确定一个物理状态,只有相应的偏微分方程是不够的,必须给出它的初始状态和边界状态,即给出外加的特定条件,这种特定条件称为定解条件。
描述初始时刻物理状态的定解条件称为初值条件或初始条件,描述边界上物理状态的条件称为边界条件或边值条件。
一个方程匹配上定解条件就构成定解问题。
2.2.3定解问题的适定性
对于不同的物理问题,一般来讲其定解条件也是(例如,弦振动问题和热传导问题有不同的初值条件,描述不同物理状态的热传导问题也有不同的边界条件)。
从数学上来看,判断一个定解问题是否合理,即是否能够完全描述一个给定的物理状态,一般来讲有以下三个标准:
(1)解的存在性所给的定解问题有解
(2)解的唯一性所给的定解问题只有一个解
(3)解的稳定性当定解条件(初值条件,边界条件)以及方程中的系数有微小变动时,相应的解也有微小变动。
解的稳定性也只有微小变动。
解的稳定性也称为解关于参数的连续依赖性。
解的存在性、唯一性和稳定性,三者合起来称为解的适定性。
一般来说,一个具体的物理问题在一定的条件下,总有唯一确定的状态,反应在定解问题中就是解的存在唯一性。
定解条件都是通过测量和统计而得到的,在测量和统计的过程中误差总是难免的,同时在建立数学模型的过程中也多次用了近似[5-10]。
3双曲型偏微分方程的求解
3.1基本概念
首先,让我们了解一下有关于双曲型偏微分方程的概念。
比如什么是双曲型的,什么是分离变量法以及了解常微分方程中的一些解,为后面我们要讲到的方法的求解做准备。
3.1.1双曲型
考察两个自变量的二阶线性偏微分方程
,(3.1.1)
其中,,,都是x,的连续可微实值函数,并且,,不同时为零。
存在任一点的一个领域内。
结论如果在点(任一点的一个领域内)处,则称方程(3.1.1)在点处是双曲型的。
3.1.2分离变量法
给定一个二元数组。
,(3.1.2)
(3.1.2)式实际上一些变量分离形式的函数的和(叠加)。
这就启发我们设法求出一个线性方程线性方程的具有上述形式的解。
求这种形式的解的方法就称为分离变量法
3.1.3一些方程的通解
我们首先来了解一下有关于常系数二阶线性常微分方程的通解。
给定一个常系数二阶线性常微分方程
,
对应的特征方程是,有两个根为和。
根据,的不同情况,有下面的已知结论:
(1)当,为实数且时,
;
(2)当为实数时,
;
(3)当,时,
。
3.2分离变量法
有了以上的基础知识打底,我们现在就来求解典型的双曲型偏微分方程。
这里我们主要讨论具有很强实际背景的一个典型的二阶线性偏微分方程,是研究弦振动的方程,称为波动方程,属于双曲型。
这里运用分离变量法。
给出具有任意初始位置(位移)和速度时这个问题的完整解答,即求解描述端点固定的弦振动的波动方程的边值问题。
假设弦沿x轴张紧放置,端点分别固定在x=0和x=L处(图1)。
令表示弦在时刻点处的位置。
我们知道满足一维波动方程:
,(3.2.1)
为求出,我们将求解这个方程,其边界条件为
和对所有,(3.2.2)
初始条件为
和当。
(3.2.3)
边界条件说明弦的端点在任何时刻都是固定的,而初始条件给出的弦的初始形状,以及其初始速度。
我们将给出这个问题的两个解,一个是基于所谓的分离变量法,这个非常有力的方法将用来求解这里的偏微分方程;
另一个解是由达朗贝尔发现的,用闭形式来表达,从而得到一些用行波来表示的有趣几何解释。
为揭示分离变量法的主要思想,我们将求解过程分解成三个基本步骤。
步骤1:
在(3.2.1)和(3.2.2)中分离变量
首先,我们求出(3.2.1)的形如
(3.2.4)
的非零乘积解,其中是只与有关的函数,而是只与有关的函数。
问题就化为求解和,对(3.2.4)作关于和的微分,得到
和。
代入(3.2.1)式,得到
两边再除以,得到
。
(3.2.5)
(不用担心为0,我们将继续这种形式的求解过程。
)在方程(3.2.5)中,变量是分离的,因为方程左边只是的函数,而右边只是的函数。
由于和是相互独立的,要得到等式的唯一方法是(3.2.5)式两端为常数且相等,所以
和,
其中是任意常数,称为分离常数。
我们将变量分离的方程写成如下两个常微分方程:
(3.2.6)
和
.(3.2.7)
这样,我们得到了两个常微分方程来代替我们原先的偏微分方程,这是分离变量法的要点。
但是,这两个方程通过常数而耦合在一起,因此并不是相互独立的。
我们下一步是在边界条件(3.2.2)中分离变量。
利用(3.2.4)式和边界条件,得到
和,对所有。
如果或,则对所有,必须为0,因此由(3.2.4),恒等于零。
为避免这个平凡解,令
和.
因此我们得到X的边值问题:
,和.
正如下一步骤所发现的,并不是所有的分离常数都能导出的平凡解。
我们的讨论将涉及简单的二阶线性常系数常微分方程的求解。
步骤2:
求解变量分离的方程
首先,我们求解的方程,因为它带有边界条件
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- 双曲型偏 微分方程 求解 及其 应用