北京市石景山区届高三统一测试一模数学理试题解析版.docx
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北京市石景山区届高三统一测试一模数学理试题解析版
2015年石景山区高三统一测试
数学(理)
本试卷共6页,150分.考试时长120分钟.请务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后上交答题卡.
第一部分(选择题共40分)
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.若集合,且,则集合可能是()
A.B.C.D.
答案:
A
解析:
因为,故选A
2.在极坐标系中,圆被直线截得的弦长为()
A.B.C.D.
答案:
C
解析:
如图所示:
易知弦长为
3.执行如右图的程序框图,若输出的,
则输入的值可以为()
A.B.
C.D.
答案:
C
解析:
此程序计算过程如下表所示
4.已知,“函数有零点”是“函数在上为减函数”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案:
B
解析:
函数图像为
所以当时,函数有零点;
函数在上为减函数,则
因为所以“函数有零点”是“函数在上为减函数”的必要不充分条件
5.二项式的展开式中,常数项的值是()
A.B.C.D.
答案:
A
解析:
二项式的展开式通项为当时常数项为240
6.等差数列中,,则该数列前项之和为()
A.B.C.D.
答案:
C
解析:
在等差数列中
所以
7.在如图所示的空间直角坐标系中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2),给出编号①、②、③、④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为()
A.①和②B.③和①C.③和④D.④和②
答案:
D
解析:
根据题意作出直观图:
∴三视图的正视图与俯视图分别是④和②
8.如果双曲线的离心率,则称此双曲线为黄金双曲线.有以下几个命题:
①双曲线是黄金双曲线;②双曲线是黄金双曲线;
③在双曲线中,F1为左焦点,A2为右顶点,B1(0,b),若∠F1B1A2,则该双曲线是黄金双曲线;
④在双曲线中,过焦点F2作实轴的垂线交双曲线于M、N两点,O为坐标原点,若∠MON,则该双曲线是黄金双曲线.
其中正确命题的序号为()
A.①和②B.②和③C.③和④D.①和④
答案:
B
解析:
如果双曲线的离心率,则有由此判断①错误,②正确,故选B
(在④中,可知M坐标为,即计算可知故错误)
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.
9.,为复数的共轭复数,则___________.
答案:
解析:
所以
10.如图,AB是半径等于3的圆O的直径,CD是圆O的弦,BA、DC的延长线交于点P,若PA=4,PC=5,则∠CBD=___________.
答案:
解析:
连接OD、OC,由题可知解得所以△OCD为等边三角形,即
11.设不等式组表示的平面区域为D,在区域D内随机取一点M,则点M落在圆内的概率为___________.
答案:
解析:
作出区域D:
易知落在圆内的概率为
12.如图,在的方格纸中,若起点和终点均在格点的向量满足,则.
答案:
解析:
引入坐标,由图记
∴即解得
13.若甲乙两人从门课程中各选修门,则甲乙所选的课程中恰有门相同的选法有180种(用数字作答).
答案:
解析:
14.已知集合,若对于任意,都存在,使得成立,则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合:
①; ②;
③;④.
其中是“垂直对点集”的序号是③.
答案:
③
解析:
当时,即函数的值域分别是A和B
原式若对于任意,都存在,使得成立,则有
对于①,集合A=,B=不满足条件;
对于②,函数其导数为,易知其值域A为,易知函数值域B=不满足条件;
对于③,函数其导数为函数的导数为∴函数最小值为故为区间和单调递增函数,其值域A为全体实数,
同理可知函数值域B为全体实数,A=B,满足要求;
对于④,考虑函数其图像为,
由图可知总能找到这样的两点满足条件,即
综上,答案为③④
三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.(本小题满分13分)
在平面直角坐标系中,设锐角的始边与轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点,将射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点.记.
(Ⅰ)求函数的值域;
(Ⅱ)设的角所对的边分别为,
若,且,,求.
答案:
(Ⅰ)(Ⅱ)1
解析:
(Ⅰ)由题意,得,………………3分
所以,………………5分
因为,所以,故.………7分
(Ⅱ)因为,
,所以,………………9分
在中,由余弦定理得,
即,解得.……………13分
16.(本小题满分13分)
空气质量等级
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
AQI值范围
[0,50)
[50,100)
[100,150)
[150,200)
[200,300)
300及以上
国家环境标准制定的空气质量指数(简称AQI)与空气质量等级对应关系如下表:
下表是由天气网获得的全国东西部各6个城市2015年3月某时刻实时监测到的数据:
西部城市
AQI数值
东部城市
AQI数值
西安
108
北京
104
西宁
92
金门
42
克拉玛依
37
上海
x
鄂尔多斯
56
苏州
114
巴彦淖尔
61
天津
105
库尔勒
456
石家庄
93
AQI平均值:
135
AQI平均值:
90
(Ⅰ)求x的值,并根据上表中的统计数据,判断东、西部城市AQI数值的方差的大小关系(只需写出结果);
(Ⅱ)环保部门从空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市随机选取个城市组织专家进行调研,记选到空气质量“轻度污染”的城市个数为,求的分布列和数学期望.
答案:
(Ⅰ)x82D东部 . 解析: (Ⅰ)x82………………2分 D东部 (Ⅱ)“优”类城市有2个,“轻度污染”类城市有4个. 根据题意的所有可能取值为: .………………5分 ,.…11分 的分布列为: 所以.………………13分 17.(本小题满分14分) 如图,多面体ABCDEF中,平面ADEF⊥平面ABCD,正方形ADEF的边长为2,直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥DC,AB=2,CD=4. (Ⅰ)求证: BC⊥平面BDE; (Ⅱ)试在平面CDE上确定点P,使点P到 直线DC、DE的距离相等,且AP与平面BEF 所成的角等于30°. 答案: (Ⅰ)略(Ⅱ)或. 解析: (Ⅰ)证明: 因为平面ABEF平面ABCD,EDAB. 所以ED平面ABCD………………1分 又因为BC平面ABCD,所以EDBC.………………2分 在直角梯形ABCD中,由已知可得 BC2=8,BD2=8,CD2=16,所以,CD2=BC2+BD2,所以,BDBC……………4分 又因为EDBD=D,所以BC平面BDE.……………5分 (Ⅱ)如图建立空间直角坐标系Dxyz……6分 则 …………7分 设,则 令是平面BEF的一个法向量, 则 所以,令,得所以…………9分 因为AP与平面BEF所成的角等于, 所以AP与所成的角为或 所以………11分 所以 又因为,所以或………12分 当时,(*)式无解 当时,解得: ………13分 所以,或.………14分 18.(本小题满分13分) 已知函数. (Ⅰ)若,求函数的极值; (Ⅱ)设函数,求函数的单调区间; (Ⅲ)若存在,使得成立,求的取值范围. 答案: (Ⅰ)极小值为(Ⅱ)的递减区间为;递增区间为.(Ⅲ) 解析: (Ⅰ)的定义域为.………1分 当时,.………2分 由,解得.当时,单调递减; 当时,单调递增; 所以当时,函数取得极小值,极小值为;……..4分 (Ⅱ),其定义域为. 又.…………..6分 由可得,在上,在上, 所以的递减区间为;递增区间为.……..……7分 ()若在上存在一点,使得成立, 即在上存在一点,使得.即在上的最小值小于零.…8分 ①当,即时,由(II)可知在上单调递减. 故在上的最小值为, 由,可得.………9分 因为.所以;………10分 ②当,即时, 由(II)可知在上单调递减,在上单调递增. 在上最小值为.………11分 因为,所以. ,即不满足题意,舍去.…………12分 综上所述: .………13分 19.(本小题满分14分) 已知椭圆C: 离心率,短轴长为. (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)如图,椭圆左顶点为A,过原点O的直线(与坐标 轴不重合)与椭圆C交于P,Q两点,直线PA,QA分别 与y轴交于M,N两点.试问以MN为直径的圆是否经过 定点(与直线PQ的斜率无关)? 请证明你的结论. 答案: (Ⅰ)(Ⅱ)经过定点 解析: (Ⅰ)由短轴长为,得,………………1分 由,得. ∴椭圆的标准方程为.………………4分 (Ⅱ)以为直径的圆过定点.………………5分 证明如下: 设,则,且,即, ∵,∴直线方程为: ,∴……………6分 直线方程为: ,∴,………………7分 以为直径的圆为………………10分 【或通过求得圆心,得到圆的方程】 即, ∵,∴,………………12分 令,则,解得. ∴以为直径的圆过定点.…………14分 20.(本小题满分13分) 设数列满足: ①; ②所有项; ③. 设集合,将集合中的元素的最大值记为,即是数列中满足不等式的所有项的项数的最大值.我们称数列为数的伴随数列.例如,数列1,3,5的伴随数列为1,1,2,2,3. (Ⅰ)若数列的伴随数列为1,1,1,2,2,2,3,请写出数列; (Ⅱ)设,求数列的伴随数列的前30项之和; (Ⅲ)若数列的前项和(其中常数),求数列的伴随数列 的前项和. 答案: (Ⅰ)1,4,7(Ⅱ)84(Ⅲ) 解析: (Ⅰ)1,4,7……………………3分 (Ⅱ)由,得 当时,……………………4分 当时,……………………5分 当时,……………………6分 当时,……………………7分 ∴……………………8分 ()∵∴ 当时, ∴……………………9分 由得: 因为使得成立的的最大值为, 所以 当时: ……………………11分 当时: ……………………12分 所以……………………13分 2015年石景山区高三统一测试 数学(理)参考答案 一、选择题共8小题,每小题5分,共40分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C C B A C D B 二、填空题共6小题,每小题5分,共30分. 题号 9 10 11 12 13 14 答案 180 ③ 三、解答题共6小题,共80分. 15.(本小题共13分) (Ⅰ)由题意,得,………………3分 所以,………………5分 因为,所以,故.………7分 (Ⅱ)因为, ,所以,………………9分 在中,由余弦定理得, 即,解得.……………13分 16.(本小题共13分) (Ⅰ)x82………………2分 D东部 (Ⅱ)“优”类城市有2个,“轻度污染”类城市有4个. 根据题意
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