高二数学期末难题汇编Word文档格式.docx
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C.f(λ)先减小后增大,且最小值为
D.f(λ)先增大后减小,且最小值为
6.如图,二面角α﹣AB﹣β的大小为60°
,棱上有A、B两点,直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB,已知AB=4,AC=6,BD=8,则直线AB与CD所成角的余弦值为( )
7.过点P(1,3)的动直线交圆C:
x2+y2=4于A、B两点,分别过A、B作圆C的切线,如果两切线相交于点Q,那么点Q的轨迹为( )
A.直线的一部分B.直线
C.圆的一部分D.射线
8.若O为坐标原点,A(2,0),点P(x,y)坐标满足,则||cos∠AOP的最大值为( )
A.6B.5C.4D.3
9.已知F1、F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=,则椭圆和双曲线的离心率之积的最小值为( )
A.B.C.D.1
10.已知E,F为双曲线的左右焦点,抛物线y2=2px(p>0)与双曲线有公共的焦点F,且与双曲线交于A、B不同两点,若5|AF|=4|BE|,则双曲线的离心率为( )
11.已知p:
函数y=|x﹣a|在[3,+∞)上是增函数,q:
函数y=lg(x﹣a)在[3,+∞)是增函数,则p是q的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
12.在平面直角坐标系内,到点A(1,2)和直线l:
x+y﹣3=0距离相等的点的轨迹是( )
A.直线B.抛物线C.椭圆D.双曲线
13.设x,y满足约束条件,则的最大值是( )
A.﹣B.C.D.
二.填空题(共9小题)
14.已知点P在圆C:
(x﹣4)2+y2=4上,点A(6,0),M为AP的中点,O为坐标原点,则tan∠MOA的最大值为 .
15.已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(﹣c,0),F2(c,0),若椭圆上存在一点P使,则该椭圆的离心率的取值范围为 .
16.若圆x2+y2=25与圆x2+y2﹣6x+8y+m=0的公共弦的长为8,则m= .
17.设点集M={(x,y)|xcosθ+ysinθ﹣sinθ﹣1=0(0≤θ≤2π)},集合M在坐标平面xoy内形成区域的边界构成曲线C,曲线C的中心为T,圆N:
(x﹣2﹣5cosθ)2+(y﹣5sinθ)2=1,过圆N上任一点P分别作曲线C的两切线PE,PF,切点分别为E,F,则的范围为 .
18.若f(x)=x4+3x3+x+1,用秦九韶算法计算f(π)时,需要乘法m次,加法n次,则m+n= .
19.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线﹣y2=1的左顶点为A.若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数a等于 .
20.给出下列结论:
动点M(x,y)分别到两定点(﹣4,0),(4,0)连线的斜率之乘积为﹣,设M(x,y)的轨迹为曲线C,F1、F2分别为曲线C的左右焦点,则下列命题中:
(1)曲线C的焦点坐标为F1(﹣5,0),F2(5,0);
(2)曲线C上存在一点M,使得S△F1MF2=9;
(3)P为曲线C上一点,P,F1,F2是直角三角形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,的值为;
(4)设A(1,1),动点P在曲线C上,则|PA|+|PF1|的最大值为8+;
其中正确命题的序号是 .
21.已知命题,则¬p为 .
22.下列说法中,错误的有 (写出你认为错误的所有说法的序号).
①若a,b均为正数,则;
②若x∈(0,),则sinx+的最小值为2;
③a>b>0,则a+>b+;
④若a>b>1,则.
三.解答题(共18小题)
23.已知椭圆M:
的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点,且椭圆经过点.
(1)求椭圆M的方程;
(2)若直线y=kx+m(k≠0)与圆E:
x2+y2=相切于点P,且交椭圆M于A,B两点,射线OP于椭圆M交于点Q,设ΔOAB的面积与ΔQAB的面积分别为S1,S2.
①求S1的最大值;
②当S1取得最大值时,求的值.
24.如图,圆M:
(x﹣2)2+y2=1,点P(﹣1,t)为直线l:
x=﹣1上一动点,过点P引圆M的两条切线,切点分别为A,B.
(1)若t=1,求两条切线所在的直线方程;
(2)求直线AB的方程,并写出直线AB所经过的定点的坐标;
(3)若两条切线PA,PB与y轴分别交于S、T两点,求|ST|的最小值.
25.已知椭圆C:
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,点A为椭圆的左顶点,点B为上顶点,|AB|=且|AF1|+|AF2|=4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点F2作直线l交椭圆C于M、N两点,记AM、AN的斜率分别为k1、k2,若k1+k2=3,求直线l的方程.
26.已知椭圆C:
的长轴长是焦距的2倍,且过点.
(2)设P(x,y)为椭圆C上的动点,F为椭圆C的右焦点,点P'
满足.证明:
为定值.
27.已知双曲线的方程是4x2﹣9y2=36.
(1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程;
(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点,点P在双曲线上,且|PF1|•|PF2|=16,求∠F1PF2的大小.
28.已知椭圆C:
=1(a>b>0)的离心率是,原点到直线=1的距离等于.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若直线l:
y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证:
直线l过定点,并求出该定点的坐标.
29.已知椭圆的长轴长为4,焦距为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过动点M(0,m)(m>0)的直线交x轴于点N,交C于点A,P(P在第一象限),且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q,延长QM交C于点B.
(ⅰ)设直线PM,QM的斜率分别为k1,k2,证明为定值;
(ⅱ)求直线AB的斜率的最小值.
30.如图,椭圆,抛物线,过C2上一点P(异于原点O)作C2的切线l交C1于A,B两点,切线l交x轴于点Q.
(1)若点P的横坐标为1,且|﹣|=,求p的值.
(2)求△OAB的面积的最大值,并求证当△OAB面积取最大值时,对任意的p>0,直线l均与一个定椭圆相切.
31.为了分析某个高三学生的学习状态.现对他前5次考试的数学成绩x,物理成绩y进行分析.下面是该生前5次考试的成绩.
数学
120
118
116
122
124
物理
79
77
82
83
附..
(1)已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的,求物理成绩y与数学成绩x的回归直线方程;
(2)我们常用R2来刻画回归的效果,其中R2越接近于1,表示回归效果越好.求R2.
(3)已知第6次考试该生的数学成绩达到132,请你估计第6次考试他的物理成绩大约是多少?
32.p:
实数x满足x2﹣4ax+3a2<0,其中a>0,q:
实数x满足.
(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围;
(2)¬p是¬q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
33.某公司2017年元旦晚会现场,为了活跃气氛,将在晚会节目表演过程中进行抽奖活动.
(1)现需要从第一排就座的6位嘉宾A、B、C、D、E、F中随机抽取2人上台抽奖,求嘉宾A和嘉宾B至少有一人上台抽奖的概率;
(2)抽奖活动的规则是:
嘉宾通过操作按键使电脑自动产生两个[0,1]之间的随机数x,y,并按如图所示的程序框图执行.若电脑显示“中奖”,则该嘉宾中奖;
若电脑显示“谢谢”,则不中奖.求该嘉宾中奖的概率.
34.已知圆F的圆心坐标为(1,0),且被直线x+y﹣2=0截得的弦长为.
(1)求圆F的方程;
(2)若动圆M与圆F相外切,又与y轴相切,求动圆圆心M的轨迹方程;
(3)直线l与圆心M轨迹位于y轴右侧的部分相交于A、B两点,且•=﹣4,证明直线l必过一定点,并求出该定点.
35.以椭圆C:
+=1(a>b>0)的中心O为圆心,以为半径的圆称为该椭圆的“伴随”.
(1)若椭圆C的离心率为,其“伴随”与直线x+y﹣2=0相切,求椭圆C的方程.
(2)设椭圆E:
+=1,P为椭圆C上任意一点,过点P的直线y=kx+m交椭圆E于AB两点,射线PO交椭圆E于点Q.
(i)求的值;
(ii)求△ABQ面积的最大值.
36.如图,已知抛物线C:
y2=4x,过点A(1,2)作抛物线C的弦AP,AQ.
(Ⅰ)若AP⊥AQ,证明直线PQ过定点,并求出定点的坐标;
(Ⅱ)假设直线PQ过点T(5,﹣2),请问是否存在以PQ为底边的等腰三角形APQ?
若存在,求出△APQ的个数?
如果不存在,请说明理由.
37.已知椭圆C:
的离心率为,右顶点A是抛物线y2=8x的焦点.直线l:
y=k(x﹣1)与椭圆C相交于P,Q两点.
(Ⅱ)如果,点M关于直线l的对称点N在y轴上,求k的值.
38.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图,其中甲班学生的平均分是85,乙班学生成绩的中位数是83.
(1)求x和y的值;
(2)计算甲班7位学生成绩的方差s2;
(3)从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生,求甲班至少有一名学生的概率.
39.已知命题p:
(x﹣2)(x+3)≤0;
命题q:
1﹣a≤x≤1+a(a>0).
(1)若a=6,“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,求实数x的取值范围.
(2)若¬q是¬p的充分条件,求实数a的取值范围.
40.已知抛物线C:
y2=2px(p>0)经过点(1,﹣2),过点M(8,﹣4)的直线与抛物线C交于A,B两点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)在抛物线C上是否存在定点N,使得=0?
若存在,求出点N的坐标;
若不存在,请说明理由.
参考答案与试题解析
的两个焦点F1,F2与短轴的两个端点B1,B2都在圆x2+y2=1上,P是C上除长轴端点外的任意一点,∠F1PF2的平分线交C的长轴于点M,则|MB1|+
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