高三数学二轮复习 第一部分 重点保分题 题型专题十一三角函数的图象与性质教师用书 理Word下载.docx
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得tanα==-,
∴原式=-.
应用三角函数的定义和诱导公式的注意事项
(1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决,机械地使用三角函数的定义就会出现错误.
(2)应用诱导公式与同角关系开方运算时,一定注意三角函数的符号;
利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则,如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等.
[演练冲关]
1.已知点P落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为( )
A.B.C.D.
解析:
选D tanθ===-1,又sin>
0,cos<
0,所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π),所以θ=.
2.若θ∈,则=________.
因为===|sinθ-cosθ|,又θ∈,所以原式=sinθ-cosθ.
答案:
sinθ-cosθ
函数y=Asin(ωx+φ)的图象
(1)“五点法”作图
设z=ωx+φ,令z=0,,π,,2π,求出x的值与相应的y的值,描点、连线可得.
(2)图象变换
全国甲卷)函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则( )
A.y=2sin
B.y=2sin
C.y=2sin
D.y=2sin
[解析] 选A 由图象知=-=,故T=π,因此ω==2.又图象的一个最高点坐标为,所以A=2,且2×
+φ=2kπ+(k∈Z),故φ=2kπ-(k∈Z),结合选项可知y=2sin.故选A.
(2)(2016·
全国乙卷)将函数y=2sin的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为( )
A.y=2sinB.y=2sin
C.y=2sinD.y=2sin
[解析] 选D 函数y=2sin的周期为π,将函数y=2sin的图象向右平移个周期,即个单位长度,所得图象对应的函数为y=2sin[2+]=2sin,故选D.
解决三角函数图象问题的方法及注意事项
(1)已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>
0,ω>
0)的图象求解析式时,常采用待定系数法,由图中的最高点、最低点或特殊点求A;
由函数的周期确定ω;
确定φ常根据“五点法”中的五个点求解,其中一般把第一个零点作为突破口,可以从图象的升降找准第一个零点的位置.(如例
(1))
(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换,还是先周期变换,变换只是相对于其中的自变量x而言的,如果x的系数不是1,就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.(如例
(2))
1.(2016·
西安质检)将函数f(x)=sin的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,所得图象的一条对称轴方程可能是( )
A.x=-B.x=
C.x=D.x=
选D 将函数f(x)=sin的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=sin(x+)的图象,由x+=+kπ,k∈Z,得x=+2kπ,k∈Z,∴当k=0时,函数图象的对称轴为x=.
2.(2016·
贵州模拟)将函数f(x)=sin的图象向左平移φ(0<
φ≤)个单位长度,所得的图象关于y轴对称,则φ=( )
选A 将函数f(x)=sin的图象向左平移φ个单位长度,得到的图象所对应的函数解析式为y=sin=sin,由题知,该函数是偶函数,则2φ+=kπ+,k∈Z,即φ=+,k∈Z,又0<
φ≤,所以φ=,选项A正确.
3.(2016·
兰州模拟)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>
0,0<
φ<
π)为奇函数,该函数的部分图象如图所示,△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形,则f
(1)=________.
由题意得,A=,T=4=,ω=.又∵f(x)=Acos(ωx+φ)为奇函数,∴φ=+kπ,k∈Z,取k=0,则φ=,∴f(x)=cos,∴f
(1)=-.
-
1.三角函数的单调区间
y=sinx的单调递增区间是(k∈Z),单调递减区间是(k∈Z);
y=cosx的单调递增区间是(k∈Z),单调递减区间是[2kπ,2kπ+π](k∈Z);
y=tanx的单调递增区间是(k∈Z).
2.三角函数的奇偶性、对称轴方程
y=Asin(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数;
当φ=kπ+(k∈Z)时为偶函数;
对称轴方程可由ωx+φ=kπ+(k∈Z)求得.
y=Acos(ωx+φ),当φ=kπ+(k∈Z)时为奇函数;
当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数;
对称轴方程可由ωx+φ=kπ(k∈Z)求得.
y=Atan(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数.
[典例] (2016·
天津高考)已知函数f(x)=4tanx·
sin(-x)·
cos-.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期;
(2)讨论f(x)在区间上的单调性.
[解]
(1)f(x)的定义域为.
f(x)=4tanxcosxcos-
=4sinxcos-
=4sinx-
=2sinxcosx+2sin2x-
=sin2x+(1-cos2x)-
=sin2x-cos2x=2sin.
所以f(x)的最小正周期T==π.
(2)令z=2x-,则函数y=2sinz的单调递增区间是,k∈Z.
由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
设A=,B={x|-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z},易知A∩B=.
所以当x∈时,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.
三角函数的单调性、周期性及最值的求法
(1)三角函数单调性的求法
求形如y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))(A,ω,φ为常数,A≠0,ω>
0)的单调区间的一般思路:
令ωx+φ=z,则y=Asinz(或y=Acosz),然后由复合函数的单调性求得.
(2)三角函数周期性的求法
函数y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))的最小正周期T=.应特别注意y=|Asin(ωx+φ)|的周期为T=.
(3)三角函数最值的求法
在求最值时,一般要先确定函数的定义域,然后结合三角函数性质可得函数f(x)的最值.
全国甲卷)函数f(x)=cos2x+6cos的最大值为( )
A.4B.5C.6D.7
选B ∵f(x)=cos2x+6cos=cos2x+6sinx=1-2sin2x+6sinx=-2+,
又sinx∈[-1,1],∴当sinx=1时,f(x)取得最大值5.
兰州模拟)将函数f(x)=cos2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象,则g(x)具有性质( )
A.最大值为1,图象关于直线x=对称
B.在上单调递增,为奇函数
C.在上单调递增,为偶函数
D.周期为π,图象关于点对称
选B 由题意可得将f(x)=cos2x的图象向右平移个单位得到g(x)=cos=cos(-2x)=sin2x的图象,因为函数g(x)为奇函数,所以排除C,又当x=时函数值为0,当x=时,函数值为,所以A和D中对称的说法不正确,选B.
3.(2016·
重庆模拟)若函数f(x)=sin(ω>
0)的图象相邻两个对称中心之间的距离为,则f(x)的一个单调递增区间为( )
A.B.
C.D.
选A 依题意得,f(x)=sin的图象相邻
两个对称中心之间的距离为,于是有T==2×
=π,ω=2,所以f(x)=sin.当2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,即kπ-≤x≤kπ+,k∈Z时,f(x)=sin单调递增.因此结合各选项知,f(x)=sin的一个单调递增区间为,选A.
三角函数与其他知识的交汇
三角函数的图象与性质是高考考查的重点,近年来,三角函数与其他知识交汇命题成为高考的热点,由原来三角函数与平面向量的交汇渗透到三角函数与函数的零点、数列、不等式、复数、方程等知识的交汇.
[典例]
(1)已知方程=k在(0,+∞)上有两个不同的解α,β(α<
β),则下列的四个命题正确的是( )
A.sin2α=2αcos2αB.cos2α=2αsin2α
C.sin2β=-2βsin2βD.cos2β=-2βsin2β
[解析] 选C 依题意y=|cosx|与y=kx的图象在(0,+∞)上有两个不同的交点,如图,
设直线y=kx与y=-cosx的切点B(β,-cosβ),与y=cosx的一个交点为A(α,cosα),又y′=(-cosx)′=sinx,依题意y′|x=β=sinβ,
∴k=sinβ,又-cosβ=kβ,
∴cosβ=-βsinβ,
∴2sinβcosβ=-2βsin2β,
即sin2β=-2βsin2β.
合肥质检)存在实数φ,使得圆面x2+y2≤4恰好覆盖函数y=sin图象的最高或最低点共三个,则正数k的取值范围是________.
[解析] 函数y=sin的图象的最高点或最低点一定在直线y=±
1上,由解得-≤x≤,由题意可得:
T==2k,T≤2<
2T,解得正数k的取值范围是.
[答案]
解决三角函数与其他知识的交汇问题,要充分利用三角函数的图象与性质,如本例
(2),可利用三角函数的周期性结合x的范围列出不等关系求解,而本例
(1)应利用数形结合思想.
1.设an=sin,Sn=a1+a2+…+an,在S1,S2,…,S100中,正数的个数是( )
A.25B.50C.75D.100
选D 当1≤n≤24时,an>
0,当26≤n≤49时,an<
0,但其绝对值要小于1≤n≤24时相应的值;
当51≤n≤74时,an>
0;
当76≤n≤99时,an<
0,但其绝对值要小于51≤n≤74时相应的值.故当1≤n≤100时,均有Sn>
0.
2.已知函数f(x)=cos(ω>
0)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的横坐标之差为,则函数在[0,2π]上的零点个数为________.
由已知得f(x)=cos的周期为π,即=π,得ω=2,∴f(x)=cos.当f(x)=0时,2x+=+kπ(k∈Z),即x=+(k∈Z),则当x∈[0,2π]时f(x)有4个零点.
4
一、选择题
合肥质检)函数y=sin在x=2处取得最大值,则正数ω的最小值为( )
选D 由题意得,2ω+=+2kπ(k∈Z),解得ω=+kπ(k∈Z),∵ω>
0,∴当k=0时,ωmin=,故选D.
全国丙卷)若tanα=,则c
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