北师大版初中数学九年级知识点汇总下册文档格式.docx
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cotα
(通常我们称正弦、余弦互为余函数。
同样,也称正切、余切互为余函数,可以概括为:
一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数)用等式表达:
若∠A为锐角,则
①;
②;
※当从低处观测高处的目标时,视线与水平线
所成的锐角称为仰角
※当从高处观测低处的目标时,视线与水平线所成
的锐角称为俯角
※利用特殊角的三角函数值表,可以看出,
(1)当
角度在0°
~90°
间变化时,正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);
余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。
(2)0≤sinα≤1,0≤cosα≤1。
※同角的三角函数间的关系:
倒数关系:
tgα·
ctgα=1。
※在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和二个锐角。
由直角三角形中除直角外的已知元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形。
◎在△ABC中,∠C为直角,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,则有
(1)三边之间的关系:
a2+b2=c2;
(2)两锐角的关系:
∠A+∠B=90°
;
(3)边与角之间的关系:
(4)面积公式:
(hc为C边上的高);
(5)直角三角形的内切圆半径
(6)直角三角形的外接圆半径
◎解直角三角形的几种基本类型列表如下:
※如图2,坡面与水平面的夹角叫做坡角(或叫做坡比)。
用字母i表示,即
◎从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角。
如图3,OA、OB、OC的方位角分别为45°
、135°
、225°
。
◎指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°
的水平角,叫做方向角。
如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是;
北偏东30°
,南偏东45°
(东南方向)、南偏西为60°
,北偏西60°
第二章二次函数
※二次函数的概念:
形如的函数,叫做x的二次函数。
自变量的取值范围是全体实数。
是二次函数的特例,此时常数b=c=0.
※在写二次函数的关系式时,一定要寻找两个变量之间的等量关系,列出相应的函数关系式,并确定自变量的取值范围。
※二次函数y=ax2的图象是一条顶点在原点关于y轴对称的曲线,这条曲线叫做抛物线。
描述抛物线常从开口方向、对称性、y随x的变化情况、抛物线的最高(或最低)点、抛物线与x轴的交点等方面来描述。
①函数的定义域是全体实数;
②抛物线的顶点在(0,0),对称轴是y轴(或称直线x=0)。
③当a>0时,抛物线开口向上,并且向上方无限伸展。
当a<0时,抛物线开口向下,并且向下方无限伸展。
④函数的增减性:
A、当a>0时 B、当a<0时
⑤当|a|越大,抛物线开口越小;
当|a|越小,抛物线的开口越大。
⑥最大值或最小值:
当a>0,且x=0时函数有最小值,最小值是0;
当a<0,且x=0时函数有最大值,最大值是0.
※二次函数的图象是一条顶点在y轴上且与y轴对称的抛物线
※二次函数的图象是以为对称轴,顶点在(,)的抛物线。
(开口方向和大小由a来决定)
※|a|的越大,抛物线的开口程度越小,越靠近对称轴y轴,y随x增长(或下降)速度越快;
|a|的越小,抛物线的开口程度越大,越远离对称轴y轴,y随x增长(或下降)速度越慢。
※二次函数的图象中,a的符号决定抛物线的开口方向,|a|决定抛物线的开口程度大小,c决定抛物线的顶点位置,即抛物线位置的高低。
※二次函数的图象与y=ax2的图象的关系:
的图象可以由y=ax2的图象平移得到,其步骤如下:
①将配方成的形式;
(其中h=,k=);
②把抛物线向右(h>
0)或向左(h<
0)平移|h|个单位,得到y=a(x-h)2的图象;
③再把抛物线向上(k>
0)或向下(k<
0)平移|k|个单位,便得到的图象。
※二次函数的性质:
二次函数配方成则抛物线的
①对称轴:
x=②顶点坐标:
(,)
③增减性:
若a>
0,则当x<
时,y随x的增大而减小;
当x>
时,y随x的增大而增大。
若a<
时,y随x的增大而增大;
时,y随x的增大而减小。
④最值:
若a>
0,则当x=时,;
0,则当x=时,
※画二次函数的图象:
我们可以利用它与函数的关系,平移抛物线而得到,但往往我们采用简化了的描点法----五点法来画二次函数来画二次函数的图象,其步骤如下:
①先找出顶点(,),画出对称轴x=;
②找出图象上关于直线x=对称的四个点(如与坐标的交点等);
③把上述五点连成光滑的曲线。
¤
二次函数的最大值或最小值可以通过将解析式配成y=a(x-h)2+k的形式求得,也可以借助图象观察。
解决最大(小)值问题的基本思路是:
①理解问题;
②分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;
③用数学的方式表示它们之间的关系;
④做数学求解;
⑤检验结果的合理性、拓展性等。
※二次函数的图象(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1,x2是对应一元二次方程的两个实数根
※抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:
>
0<
===>
抛物线与x轴有2个交点;
=0<
抛物线与x轴有1个交点;
<
抛物线与x轴有0个交点(无交点);
※当>
0时,设抛物线与x轴的两个交点为A、B,则这两个点之间的距离:
化简后即为:
------这就是抛物线与x轴的两交点之间的距离公式。
第三章圆
一.车轮为什么做成圆形
※1.圆的定义:
描述性定义:
在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆;
固定的端点O叫做圆心;
线段OA叫做半径;
以点O为圆心的圆,记作⊙O,读作“圆O”
集合性定义:
圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。
其中定点叫做圆心,定长叫做圆的半径,圆心定圆的位置,半径定圆的大小,圆心和半径确定的圆叫做定圆。
对圆的定义的理解:
①圆是一条封闭曲线,不是圆面;
②圆由两个条件唯一确定:
一是圆心(即定点),二是半径(即定长)。
※2.点与圆的位置关系及其数量特征:
如果圆的半径为r,点到圆心的距离为d,则
①点在圆上<
d=r;
②点在圆内<
d<
r;
③点在圆外<
d>
r.
其中点在圆上的数量特征是重点,它可用来证明若干个点共圆,方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。
二.圆的对称性:
※1.与圆相关的概念:
①弦和直径:
弦:
连接圆上任意两点的线段叫做弦。
直径:
经过圆心的弦叫做直径。
②弧、半圆、优弧、劣弧:
弧:
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,用符号“⌒”表示,以CD为端点的弧记为“”,读作“圆弧CD”或“弧CD”。
半圆:
直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧叫做半圆。
优弧:
大于半圆的弧叫做优弧。
劣弧:
小于半圆的弧叫做劣弧。
(为了区别优弧和劣弧,优弧用三个字母表示。
)
③弓形:
弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。
④同心圆:
圆心相同,半径不等的两个圆叫做同心圆。
⑤等圆:
能够完全重合的两个圆叫做等圆,半径相等的两个圆是等圆。
⑥等弧:
在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。
⑦圆心角:
顶点在圆心的角叫做圆心角.
⑧弦心距:
从圆心到弦的距离叫做弦心距.
※2.圆是轴对称图形,直径所在的直线是它的对称轴,圆有无数条对称轴。
※3.垂径定理:
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。
推论:
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。
说明:
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说,如果具备:
①过圆心;
②垂直于弦;
③平分弦;
④平分弦所对的优弧;
⑤平分弦所对的劣弧。
上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。
※4.定理:
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。
推论:
在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
三.圆周角和圆心角的关系:
※1.1°
的弧的概念:
把顶点在圆心的周角等分成360份时,每一份的角都是1°
的圆心角,相应的整个圆也被等分成360份,每一份同样的弧叫1°
弧.
※2.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.
这里指的是角度数与弧的度数相等,而不是角与弧相等.即不能写成∠AOB=,这是错误的.
※3.圆周角的定义:
顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.
※4.圆周角定理:
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
※推论1:
同弧或等弧所对的圆周角相等;
反之,在同圆或等圆中,相等圆周角所对的弧也相等;
※推论2:
半圆或直径所对的圆周角是直角;
90°
的圆周角所对的弦是直径;
※四.确定圆的条件:
※1.理解确定一个圆必须的具备两个条件:
圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.
经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.
※2.经过三点作圆要分两种情况:
(1)经过同一直线上的三点不能作圆.
(2)经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆.
※定理:
不在同一直线上的三个点确定一个圆.
※3.三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念:
(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形:
经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形.
(2)三角形的外心:
三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.
(3)三角形的外心的性质:
三角形外心到三顶点的距离相等.
五.直线与圆的位置关系
※1.直线和圆相交、相切相离的定义:
(1)相交:
直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.
(2)相切:
直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点.
(3)相离:
直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.
※2.直线与圆的位置关系的数量特征:
设⊙O的半径为r,圆心O到直线的距离为d;
①d<
r<
直线L和⊙O相交.
②d=r<
直线L和⊙O相切.
③d>
直线L和⊙O相离.
※3.切线的总判定定理:
经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线.
※4.切线的性质定理:
圆的切线垂直
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