《命题及其关系充分条件与必要条件》教案Word文档格式.docx

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1．理解命题的概念．

2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．

3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．

教学重点

充分必要条件的判断和四种命题及其关系

教学难点

教学过程

一、课堂导入

思考下列命题的题设（条件）是什么?

结论是什么?

并判断是否正确?

你的理由是什么?

（1）边长为a（a＞0）的等边三角形的面积为 

;

（2）两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;

（3）对于任何实数x,x2 

＜0.

二、复习预习

1、集合的概念及性质

2、集合的相互关系及运算

三、知识讲解

考点1命题

在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．

考点2四种命题及其关系

（1）四种命题间的相互关系

（2）四种命题的真假关系：

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

考点3充分条件与必要条件

（1）如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．

（2）如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充分必要条件．记作p⇔q.

四、例题精析

【例题1】

【题干】设原命题是“当c>

0时，若a>

b，则ac>

bc”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假

【解析】“当c>

0时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是a>

b，结论是ac>

bc.

因此它的逆命题：

当c>

0时，若ac>

bc，则a>

b.它是真命题；

否命题：

0时，若a≤b，则ac≤bc.它是真命题；

逆否命题：

0时，若ac≤bc，则a≤b.它是真命题.

【例题2】

【题干】已知命题p：

函数f（x）＝|x－a|在（1，＋∞）上是增函数，命题q：

f（x）＝ax（a>

0且a≠1）是减函数，则p是q的（　　）

A．必要不充分条件B．充分不必要条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若命题p为真，则a≤1；

若命题q为真，

则0<

a<

1.∵由q能推出p但由p不能推出q，

∴p是q的必要不充分条件．

【例题3】

【题干】已知不等式<

1的解集为p，不等式x2＋（a－1）x－a>

0的解集为q，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－2，－1]　　　　　　　　B．[－2，－1]

C．[－3,1]D．[－2，＋∞）

【解析】不等式<

1等价于－1<

0，即>

0，解得x>

2或x<

1，所以p为（－∞，1）∪（2，＋∞）．不等式x2＋（a－1）x－a>

0可以化为（x－1）（x＋a）>

0，当－a≤1时，解得x>

1或x<

－a，即q为（－∞，－a）∪（1，＋∞），此时a＝－1；

当－a>

1时，不等式（x－1）（x＋a）>

0的解集是（－∞，1）∪（－a，＋∞），此时－a<

2，即－2<

－1.综合知－2<

a≤－1.

【例题4】

【题干】设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.

【答案】3或4

【解析】x＝＝2±

，因为x是整数，即2±

为整数，所以为整数，且n≤4，又因为n∈N*，取n＝1,2,3,4，验证可知n＝3,4符合题意，所以n＝3,4时可以推出一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根．

五、课堂运用

【基础】

1．（2013·

潍坊模拟）命题“若△ABC有一内角为，则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题（　　）

A．与原命题同为假命题

B．与原命题的否命题同为假命题

C．与原命题的逆否命题同为假命题

D．与原命题同为真命题

解析：

选D　原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC的三内角成等差数列，则△ABC有一内角为”，它是真命题．

2．（2013·

日照模拟）已知直线l1：

x＋ay＋1＝0，直线l2：

ax＋y＋2＝0，则命题“若a＝1或a＝－1，则直线l1与l2平行”的否命题为（　　）

A．若a≠1且a≠－1，则直线l1与l2不平行

B．若a≠1或a≠－1，则直线l1与l2不平行

C．若a＝1或a＝－1，则直线l1与l2不平行

D．若a≠1或a≠－1，则直线l1与l2平行

选A　命题“若A，则B”的否命题为“若綈A，则綈B”，显然“a＝1或a＝－1”的否定为“a≠1且a≠－1”，“直线l1与l2平行”的否定为“直线l1与l2不平行”．

3．（2012·

安徽高考）设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

选A　若α⊥β，又α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又因为a⊂α，所以a⊥b；

反过来，当a∥m时，因为b⊥m，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，即不能推出α⊥β.

【巩固】

4．（2013·

南京模拟）有下列几个命题：

①“若a>

b，则a2>

b2”的否命题；

②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；

③“若x2<

4，则－2<

x<

2”的逆否命题．

其中真命题的序号是________．

①原命题的否命题为“若a≤b则a2≤b2”错误．

②原命题的逆命题为：

“x，y互为相反数，则x＋y＝0”正确．

③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”正确．

答案：

②③

5．已知α：

x≥a，β：

|x－1|<

1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________．

α：

x≥a，可看作集合A＝{x|x≥a}，

∵β：

1，∴0<

2，

∴β可看作集合B＝{x|0<

2}．

又∵α是β的必要不充分条件，∴BA，∴a≤0.

（－∞，0]

【拔高】

6．已知集合A＝，B＝{x|－1<

m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是________．

A＝＝{x|－1<

3}，∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，

∴AB，∴m＋1>

3，即m>

2.

（2，＋∞）

7．已知集合A＝，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．

解：

y＝x2－x＋1＝2＋，

∵x∈，∴≤y≤2，

∴A＝.

由x＋m2≥1，得x≥1－m2，

∴B＝{x|x≥1－m2}．

∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，

∴A⊆B，∴1－m2≤，

解得m≥或m≤－，

故实数m的取值范围是∪.

课程小结

1、对“四种命题”的理解

由于原命题和它的逆否命题是等价的，所以当一个命题的真假不易判断时，往往可以转化为判断它的逆否命题的真假；

有的命题不易直接证明时，就可以改证它的逆否命题成立，所以反证法的实质就是证明“原命题的逆否命题成立”．

要注意：

否命题与命题的否定是不同的．

2、判断命题充要条件的三种方法是：

①定义法．

②等价法：

即利用A⇒B与綈B⇒綈A；

B⇒A与綈A⇒綈B；

A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是不等关系（否定式）的命题，一般运用等价法；

③利用集合间的包含关系判断，若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；

若A＝B，则A是B的充要条件．