完整word版小学数学奥数基础教程六年级目30讲全无答案Word格式.docx
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5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母(子)大的分数较大;
若两个假分数的分子与分母的差相等,则分母(子)小的分数较大。
也就是说,
6.借助第三个数进行比较。
有以下几种情况:
(1)对于分数m和n,若m>k,k>n,则m>n。
(2)对于分数m和n,若m-k>n-k,则m>n。
前一个差比较小,所以m<n。
(3)对于分数m和n,若k-m<k-n,则m>n。
注意,
(2)与(3)的差别在于,
(2)中借助的数k小于原来的两个分数m和n;
(3)中借助的数k大于原来的两个分数m和n。
(4)把两个已知分数的分母、分子分别相加,得到一个新分数。
新分数一定介于两个已知分数之间,即比其中一个分数大,比另一个分数小。
利用这一点,当两个已知分数不容易比较大小,新分数与其中一个已知分数容易比较大小时,就可以借助于这个新分数。
比较分数大小的方法还有很多,同学们可以在学习中不断发现总结,但无论哪种方法,均来源于:
“分母相同,分子大的分数大;
分子相同,分母小的分数大”这一基本方法。
练习1
1.比较下列各组分数的大小:
第二讲巧求分数
我们经常会遇到一些分数的分子、分母发生变化的题目,例如分子或分母加、减某数,或分子与分母同时加、减某数,或分子、分母分别加、减不同的数,得到一个新分数,求加、减的数,或求原来的分数。
这类题目变化很多,因此解法也不尽相同。
数。
个分数。
,这个分数是多少?
在例1~例4中,两次改变的都是分子,或都是分母,如果分子、分母同时变化,那么会怎样呢?
数a。
求这个自然数。
例7一个分数的分子与分母之和是23,分母增加19后得到一个新分数,
练习2
是多少?
第三讲分数运算的技巧
对于分数的混合运算,除了掌握常规的四则运算法则外,还应该掌握一些特殊的运算技巧,才能提高运算速度,解答较难的问题。
1.凑整法
与整数运算中的“凑整法”相同,在分数运算中,充分利用四则运算法则和运算律(如交换律、结合律、分配律),使部分的和、差、积、商成为整数、整十数……从而使运算得到简化。
2.约分法
3.裂项法
若能将每个分数都分解成两个分数之差,并且使中间的分数相互抵消,则能大大简化运算。
例7在自然数1~100中找出10个不同的数,使这10个数的倒数的和等于1。
4.代数法
5.分组法
练习3
8.在自然数1~60中找出8个不同的数,使这8个数的倒数之和等于1。
答案与提示
1.3。
8.2,6,8,12,20,30,42,56。
9.5680。
解:
从前向后,分子与分母之和等于2的有1个,等于3的有2个,等于4的有3个人……一般地,分子与分母之和等于n的有(n-1)个。
分子与分母之和小于9+99=108的有1+2+3+…+106=5671(个)
5671+9=5680(个)。
第四讲循环小数与分数
任何分数化为小数只有两种结果,或者是有限小数,或者是循环小数,而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。
那么,什么样的分数能化成有限小数?
什么样的分数能化成纯循环小数、混循环小数呢?
我们先看下面的分数。
(1)中的分数都化成了有限小数,其分数的分母只有质因数2和5,化
因为40=23×
5,含有3个2,1个5,所以化成的小数有三位。
(2)中的分数都化成了纯循环小数,其分数的分母没有质因数2和5。
(3)中的分数都化成了混循环小数,其分数的分母中既含有质因数2或5,又含有2和5以外的质因数,化成的混循环小数中的不循环部分的位数与
5,所以化成混循环小数中的不循环部分有两位。
于是我们得到结论:
一个最简分数化为小数有三种情况:
(1)如果分母只含有质因数2和5,那么这个分数一定能化成有限小数,并且小数部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数;
(2)如果分母中只含有2与5以外的质因数,那么这个分数一定能化成纯循环小数;
(3)如果分母中既含有质因数2或5,又含有2与5以外的质因数,那么这个分数一定能化成混循环小数,并且不循环部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数。
例1判断下列分数中,哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数?
能化成有限小数的,小数部分有几位?
能化成混循环小数的,不循环部分有几位?
分析与解:
上述分数都是最简分数,并且
32=25,21=3×
7,250=2×
53,78=2×
3×
13,
117=33×
13,850=2×
52×
17,
根据上面的结论,得到:
不循环部分有两位。
将分数化为小数是非常简单的。
反过来,将小数化为分数,同学们可能比较熟悉将有限小数化成分数的方法,而对将循环小数化成分数的方法就不一定清楚了。
我们分纯循环小数和混循环小数两种情况,讲解将循环小数化成分数的方法。
1.将纯循环小数化成分数。
将上两式相减,得将上两式相减,得从例2、例3可以总结出将纯循环小数化成分数的方法。
纯循环小数化成分数的方法:
分数的分子是一个循环节的数字组成的数,分母的各位数都是9,9的个数与循环节的位数相同。
2.将混循环小数化成分数。
将上两式相减,得
将上两式相减,得
从例4、例5可以总结出将混循环小数化成分数的方法。
混循环小数化成分数的方法:
分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数,减去不循环数字所组成的数所得的差;
分母的头几位数字是9,末几位数字都是0,其中9的个数与循环节的位数相同,0的个数与不循环部分的位数相同。
掌握了将循环小数化成分数的方法后,就可以正确地进行循环小数的运算了。
例6计算下列各式:
练习4
1.下列各式中哪些不正确?
为什么?
2.划去小数0.27483619后面的若干位,再添上表示循环节的两个圆点,得到一个循环小数,例如0.274836。
请找出这样的小数中最大的与最小的。
3.将下列纯循环小数化成最简分数:
4.将下列混循环小数化成最简分数:
5.计算下列各式:
答案与提示 练习4
1.
(1)(3)(4)不正确。
第五讲工程问题
(一)
顾名思义,工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。
其实,这类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题,也括行路、水管注水等许多内容。
在分析解答工程问题时,一般常用的数量关系式是:
工作量=工作效率×
工作时间,
工作时间=工作量÷
工作效率,
工作效率=工作量÷
工作时间。
工作量指的是工作的多少,它可以是全部工作量,一般用数1表示,也可
工作效率指的是干工作的快慢,其意义是单位时间里所干的工作量。
单位时间的选取,根据题目需要,可以是天,也可以是时、分、秒等。
工作效率的单位是一个复合单位,表示成“工作量/天”,或“工作量/时”等。
但在不引起误会的情况下,一般不写工作效率的单位。
例1单独干某项工程,甲队需100天完成,乙队需150天完成。
甲、乙两队合干50天后,剩下的工程乙队干还需多少天?
分析与解:
以全部工程量为单位1。
甲队单独干需100天,甲的工作效
例2某项工程,甲单独做需36天完成,乙单独做需45天完成。
如果开工时甲、乙两队合做,中途甲队退出转做新的工程,那么乙队又做了18天才完成任务。
问:
甲队干了多少天?
分析:
将题目的条件倒过来想,变为“乙队先干18天,后面的工作甲、乙两队合干需多少天?
”这样一来,问题就简单多了。
答:
甲队干了12天。
例3单独完成某工程,甲队需10天,乙队需15天,丙队需20天。
开始三个队一起干,因工作需要甲队中途撤走了,结果一共用了6天完成这一工程。
甲队实际工作了几天?
乙、丙两队自始至终工作了6天,去掉乙、丙两队6天的工作量,剩下的是甲队干的,所以甲队实际工作了
例4一批零件,张师傅独做20时完成,王师傅独做30时完成。
如果两人同时做,那么完成任务时张师傅比王师傅多做60个零件。
这批零件共有多少个?
这道题可以分三步。
首先求出两人合作完成需要的时间,
例5一水池装有一个放水管和一个排水管,单开放水管5时可将空池灌满,单开排水管7时可将满池水排完。
如果一开始是空池,打开放水管1时后又打开排水管,那么再过多长时间池内将积有半池水
例6甲、乙二人同时从两地出发,相向而行。
走完全程甲需60分钟,乙需40分钟。
出发后5分钟,甲因忘带东西而返回出发点,取东西又耽误了5分钟。
甲再出发后多长时间两人相遇?
分析:
这道题看起来像行程问题,但是既没有路程又没有速度,所以不能用时间、路程、速度三者的关系来解答。
甲出发5分钟后返回,路上耽误10分钟,再加上取东西的5分钟,等于比乙晚出发15分钟。
我们将题目改述一下:
完成一件工作,甲需60分钟,乙需40分钟,乙先干15分钟后,甲、乙合干还需多少时间?
由此看出,这道题应该用工程问题的解法来解答。
答:
甲再出发后15分钟两人相遇。
练习5
1.某工程甲单独干10天完成,乙单独干15天完成,他们合干多少天才可完成工程的一半?
2.某工程甲队单独做需48天,乙队单独做需36天。
甲队先干了6天后转交给乙队干,后来甲队重新回来与乙队一起干了10天,将工程做完。
求乙队在中间单独工作的天数。
3.一条水渠,甲、乙两队合挖需30天完工。
现在合挖12天后,剩下的乙队单独又挖了24天挖完。
这条水渠由甲队单独挖需多少天?
则完成任务时乙比甲多植50棵。
这批树共有多少棵?
5.修一段公路,甲队独做要用40天,乙队独做要用24天。
现在两队同时从两端
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