河北省唐山市届高三数学第一次模拟考试试题 理word版含答案Word下载.docx
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10.已知为双曲线:
的右焦点,过点向的一条渐近线引垂线,垂足为,交另一条渐近线于点.若,则的离心率是()
11.已知函数,则下列关于的表述正确的是()
A.的图象关于轴对称B.,的最小值为
C.有个零点D.有无数个极值点
12.已知,,,是半径为的球面上的点,,,点在上的射影为,则三棱锥体积的最大值是()
C.D.
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.设,满足约束条件,则的最小值是.
14.的展开式中,二项式系数最大的项的系数是.(用数字作答)
15.已知为抛物线上异于原点的点,轴,垂足为,过的中点作轴的平行线交抛物线于点,直线交轴于点,则.
16.在中,角,,的对边分别为,,,边上的高为,若,则的取值范围是.
三、解答题:
共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)、(23)题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:
共60分.
17.已知数列为单调递增数列,为其前项和,.
(1)求的通项公式;
(2)若,为数列的前项和,证明:
.
18.某水产品经销商销售某种鲜鱼,售价为每公斤元,成本为每公斤元.销售宗旨是当天进货当天销售.如果当天卖不出去,未售出的全部降价处理完,平均每公斤损失元.根据以往的销售情况,按,,,,进行分组,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求未来连续三天内,该经销商有连续两天该种鲜鱼的日销售量不低于公斤,而另一天日销售量低于公斤的概率;
(2)在频率分布直方图的需求量分组中,以各组区间的中点值代表该组的各个值.
(i)求日需求量的分布列;
(ii)该经销商计划每日进货公斤或公斤,以每日利润的数学期望值为决策依据,他应该选择每日进货公斤还是公斤?
19.如图,在三棱柱中,平面平面,.
(1)证明:
;
(2)若是正三角形,,求二面角的大小.
20.已知椭圆:
的左焦点为,上顶点为,长轴长为,为直线:
上的动点,,.当时,与重合.
(1)若椭圆的方程;
(2)若直线交椭圆于,两点,若,求的值.
21.已知函数,.
(1)设,求的最小值;
(2)证明:
当时,总存在两条直线与曲线与都相切.
(二)选考题:
共10分.请考生在(22)、(23)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系中,圆:
,圆:
.以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求,的极坐标方程;
(2)设曲线:
(为参数且),与圆,分别交于,,求的最大值.
23.选修4-5:
不等式选讲
设函数的最大值为.
(1)求的值;
(2)若正实数,满足,求的最小值.
参考答案
一.选择题:
A卷:
DCBDADCCABDB
B卷:
ACBDDDCAABDB
二.填空题:
(13)-5(14)-160(15)(16)[2,2]
三.解答题:
(17)解:
(Ⅰ)当n=1时,2S1=2a1=a+1,所以(a1-1)2=0,即a1=1,
又{an}为单调递增数列,所以an≥1.…2分
由2Sn=a+n得2Sn+1=a+n+1,所以2Sn+1-2Sn=a-a+1,
整理得2an+1=a-a+1,所以a=(an+1-1)2.
所以an=an+1-1,即an+1-an=1,
所以{an}是以1为首项,1为公差的等差数列,所以an=n.…6分
(Ⅱ)bn===-…9分
所以Tn=(-)+(-)+…+[-]
=-<.…12分
(18)解:
(Ⅰ)由频率分布直方图可知,
日销售量不低于350公斤的概率为(0.0025+0.0015)×
100=0.4,
则未来连续三天内,有连续两天的日销售量不低于350公斤,而另一天日销售量低于350公斤的概率P=0.4×
0.4×
(1-0.4)+(1-0.4)×
0.4=0.192.…3分
(Ⅱ)(ⅰ)X可取100,200,300,400,500,
P(X=100)=0.0010×
10=0.1;
P(X=200)=0.0020×
10=0.2;
P(X=300)=0.0030×
10=0.3;
P(X=400)=0.0025×
10=0.25;
P(X=500)=0.0015×
10=0.15;
所以X的分布列为:
X
100
200
300
400
500
P
0.1
0.2
0.3
0.25
0.15
…6分
(ⅱ)当每日进货300公斤时,利润Y1可取-100,700,1500,
此时Y1的分布列为:
Y1
-100
700
1500
0.7
此时利润的期望值E(Y1)=-100×
0.1+700×
0.2+1500×
0.7=1180;
…8分
当每日进货400公斤时,利润Y2可取-400,400,1200,2000,
此时Y2的分布列为:
Y2
-400
1200
2000
0.4
此时利润的期望值E(Y2)=-400×
0.1+400×
0.2+1200×
0.3+2000×
=1200;
…10分
因为E(Y1)<E(Y2),
所以该经销商应该选择每日进货400公斤.…12分
(19)解:
(Ⅰ)过点B1作A1C的垂线,垂足为O,
由平面A1B1C⊥平面AA1C1C,平面A1B1C∩平面AA1C1C=A1C,
得B1O⊥平面AA1C1C,
又AC平面AA1C1C,得B1O⊥AC.
由∠BAC=90°
,AB∥A1B1,得A1B1⊥AC.
又B1O∩A1B1=B1,得AC⊥平面A1B1C.
又CA1平面A1B1C,得AC⊥CA1.…4分
(Ⅱ)以C为坐标原点,的方向为x轴正方向,||为单位长,建立空间直角坐标系C-xyz.
由已知可得A(1,0,0),A1(0,2,0),B1(0,1,).
所以=(1,0,0),=(-1,2,0),==(0,-1,).…6分
设n=(x,y,z)是平面A1AB的法向量,则
即
可取n=(2,,1).…8分
设m=(x,y,z)是平面ABC的法向
量,则
可取m=(0,,1).…10分
则cosn,m==.
又因为二面角A1-AB-C为锐二面角,
所以二面角A1-AB-C的大小为.…12分
(20)解:
(Ⅰ)依题意得A(0,b),F(-c,0),当AB⊥l时,B(-3,b),
由AF⊥BF得kAF·
kBF=·
=-1,又b2+c2=6.
解得c=2,b=.
所以,椭圆Γ的方程为+=1.…4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得A(0,),依题意,显然m≠0,所以kAM=-,
又AM⊥BM,所以kBM=,所以直线BM的方程为y=(x-m),
设P(x1,y1),Q(x2,y2).
y=(x-m)与+=1联立得(2+3m2)x2-6m3x+3m4-12=0,
x1+x2=,x1x2=.…7分
|PM|·
|QM|=(1+)|(x1-m)(x2-m)|
=(1+)|x1x2-m(x1+x2)+m2|
=(1+)·
=,
|AM|2=2+m2,…9分
由AP⊥AQ得,|AM|2=|PM|·
|QM|,
所以=1,解得m=±
1.…12分
(21)解:
(Ⅰ)F(x)=(x+1)ex-1,
当x<-1时,F(x)<0,F(x)单调递减;
当x>-1时,F(x)>0,F(x)单调递增,
故x=-1时,F(x)取得最小值F(-1)=-.…4分
(Ⅱ)因为f(x)=ex-1,
所以f(x)=ex-1在点(t,et-1)处的切线为y=et-1x+(1-t)et-1;
…5分
因为g(x)=,
所以g(x)=lnx+a在点(m,lnm+a)处的切线为y=x+lnm+a-1,…6分
由题意可得则(t-1)et-1-t+a=0.…7分
令h(t)=(t-1)et-1-t+a,则h(t)=tet-1-1
由(Ⅰ)得t<-1时,h(t)单调递减,且h(t)<0;
当t>-1时,h(t)单调递增,又h
(1)=0,t<1时,h(t)<0,
所以,当t<1时,h(t)<0,h(t)单调递减;
当t>1时,h(t)>0,h(t)单调递增.…9分
由(Ⅰ)得h(a-1)=(a-2)ea-2+1≥-+1>0,…10分
又h(3-a)=(2-a)e2-a+2a-3>(2-a)(3-a)+2a-3=(a-)2+>0,…11分
h
(1)=a-1<0,所以函数y=h(t)在(a-1,1)和(1,3-a)内各有一个零点,
故当a<1时,存在两条直线与曲线f(x)与g(x)都相切.…12分
(22)解:
(Ⅰ)由x=ρcosθ,y=ρsinθ可得,
C1:
ρ2cos2θ+ρ2sin2θ-2ρcosθ+1=1,所以ρ=2cosθ;
C2:
ρ2cos2θ+ρ2sin2θ-6ρcosθ+9=9,所以ρ=6cosθ.…4分
(Ⅱ)依题意得|AB|=6cosα-2cosα=4cosα,-<α<,
C2(3,0)到直线AB的距离d=3|sinα|,
所以S△ABC2=×
d×
|AB|=3|sin2α|,
故当α=±
时,S△ABC2取得最大值3.…10分
(23)解:
(Ⅰ)f(x)=|x+1|-|x|=
由f(x)的单调性可知,当x≥1时,f(x)有最大值1.
所以m=1.…4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,a+b=1,
+=(+)[(b+1)+(a+1)]
=[a2+b2++]
≥(a2+b2+2)
=(a+b)2
=.
当且仅当a=b=时取等号.
即+的最小值为.…10分
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