高中数学专题复习培优计划 含答案 第5讲 两角和与差的正弦余弦和正切Word格式文档下载.docx
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2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin2α=2sin_αcos_α.
cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
tan2α=.
3.有关公式的逆用、变形等
(1)tanα±
tanβ=tan(α±
β)(1∓tan_αtan_β).
(2)cos2α=,sin2α=.
(3)1+sin2α=(sinα+cosα)2,1-sin2α=(sinα-cosα)2,sinα±
cosα=sin.
4.函数f(α)=asinα+bcosα(a,b为常数),可以化为f(α)=sin(α+φ),其中tanφ=.
辨析感悟
1.对两角和与差的三角函数公式的理解
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.(√)
(2)存在实数α,β,使等式cos(α+β)=cosα+cosβ.(√)
(3)(教材练习改编)cos80°
cos20°
-sin80°
sin20°
=cos(80°
-20°
)=cos60°
=.(×
)
(4)(教材习题改编)=tan.(×
(5)(高考·
湘潭月考改编)设tanα,tanβ是方程x2-3x+2=0的两根,则tan(α+β)=-3.(√)
2.对二倍角公式的理解
(6)cosθ=2cos2-1=1-2sin2.(√)
(7)若sin=,则cosα=-.(×
(8)y=sin2xcos2x的最大值为1.(×
(9)(高考·
四川卷改编)设sin2α=-sinα,α∈,则tan2α=.(√)
[感悟·
提升]
一个防范 运用公式时要注意审查公式成立的条件,要注意和差、倍角的相对性,要注意升幂、降幂的灵活运用.
学生用书第60页
考点一 三角函数式的化简、求值问题
【例1】
(1)(高考·
重庆卷)4cos50°
-tan40°
=( ).
A.B.
C.D.2-1
(2)=________.
解析
(1)4cos50°
=4sin40°
-
==
=
=.
(2)原式=
===1.
答案
(1)C
(2)1
规律方法
(1)技巧:
①寻求角与角之间的关系,化非特殊角为特殊角;
②正确灵活地运用公式,通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值;
③一些常规技巧:
“1”的代换、和积互化等.
(2)常用方法:
异名三角函数化为同名三角函数,异角化为同角,异次化为同次,切化弦,特殊值与特殊角的三角函数互化.
【训练1】
(1)化简:
[2sin50°
+sin10°
(1+tan10°
)]·
=________.
(2)化简:
(0<
θ<
π)=____;
解析
(1)原式=·
sin80°
=·
cos10°
=2[sin50°
·
cos(60°
-10°
)]
=2sin(50°
+10°
)=2×
==-.
因为0<
π,所以0<
<
,所以cos>
0,
所以原式=-cosθ.
答案
(1)
(2)-cosθ
考点二 三角函数的给角求值与给值求角问题
【例2】
(1)已知0<
β<
α<
π,且cos=-,sin=,求cos(α+β)的值;
(2)已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=,tanβ=-,求2α-β的值.
解
(1)∵0<
π,
∴-<
-β<
,<
α-<
∴cos==,
sin==,
∴cos=cos
=coscos+sinsin
=×
+×
=,
∴cos(α+β)=2cos2-1=2×
-1=-.
(2)∵tanα=tan[(α-β)+β]=
==>
∴0<
,又∵tan2α===>
2α<
,
∴tan(2α-β)===1.
∵tanβ=-<
0,∴<
π,-π<
2α-β<
∴2α-β=-.
规律方法
(1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开,看需要求相关角的哪些三角函数值,然后根据角的范围求出相应角的三角函数值,代入展开式即可.
(2)通过求所求角的某种三角函数值来求角,关键点在选取函数,常遵照以下原则:
①已知正切函数值,选正切函数;
②已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;
若角的范围是,选正、余弦皆可;
若角的范围是(0,π),选余弦较好;
若角的范围为,选正弦较好.
【训练2】已知cosα=,cos(α-β)=,且0<
(1)求tan2α的值;
(2)求β.
解
(1)∵cosα=,0<
,∴sinα=,
∴tanα=4,
∴tan2α===-.
(2)∵0<
,∴0<
α-β<
∴sin(α-β)=,
∴cosβ=cos[α-(α-β)]
=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)
∴β=.
考点三 三角变换的简单应用
【例3】已知f(x)=sin2x-2sin·
sin.
(1)若tanα=2,求f(α)的值;
(2)若x∈,求f(x)的取值范围.
解
(1)f(x)=(sin2x+sinxcosx)+2sin·
cos
=+sin2x+sin
=+(sin2x-cos2x)+cos2x
=(sin2x+cos2x)+.
由tanα=2,得sin2α===.
cos2α===-.
所以f(α)=(sin2α+cos2α)+=.
(2)由
(1)得f(x)=(sin2x+cos2x)+
=sin+.
由x∈,得2x+∈.
∴-≤sin≤1,∴0≤f(x)≤,
所以f(x)的取值范围是.
学生用书第61页
规律方法
(1)将f(x)化简是解题的关键,本题中巧妙运用“1”的代换技巧,将sin2α,cos2α化为关于正切tanα的关系式,为第
(1)问铺平道路.
(2)把形如y=asinx+bcosx化为y=sin(x+φ),可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性.
【训练3】已知函数f(x)=4cosx·
sin-1.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
解
(1)因为f(x)=4cosxsin-1
=4cosx-1
=sin2x+2cos2x-1=sin2x+cos2x
=2sin,
所以f(x)的最小正周期为π.
(2)因为-≤x≤,所以-≤2x+≤.
于是,当2x+=,
即x=时,f(x)取得最大值2;
当2x+=-,即x=-时,f(x)取得最小值-1.
1.重视三角函数的“三变”:
“三变”是指“变角、变名、变式”;
变角:
对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角;
变名:
尽可能减少函数名称;
变式:
对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时,一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等变形.
2.已知和角函数值,求单角或和角的三角函数值的技巧:
把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减,观察是不是常数角,只要是常数角,就可以从此入手,给这个等式两边求某一函数值,可使所求的复杂问题简单化.
3.熟悉三角公式的整体结构,灵活变换.本节要重视公式的推导,既要熟悉三角公式的代数结构,更要掌握公式中角和函数名称的特征,要体会公式间的联系,掌握常见的公式变形,倍角公式应用是重点,涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形.
教你审题3——三角函数求值中的变角问题
【典例】(高考·
江苏卷)设α为锐角,若cos=,则sin的值为________.
审题 一审条件:
cos=,α为锐角,
二审问题:
sin=?
三找关系:
2α+=2α+-=2-,解题变得明朗化!
解析 ∵α为锐角且cos=,
∴α+∈,
∴sin=.
∴sin=sin
=sin2cos-cos2sin
=sincos-
×
=-=.
答案
[反思感悟]解题的关键是找出条件中的角与结论中的角的联系,通过适当地拆角、凑角来利用所给条件.常见的变角技巧有:
=-;
α=(α-β)+β等;
+α=-;
15°
=45°
-30°
等.
【自主体验】
已知cosα=,cos(α+β)=-,且α,β∈,则cos(α-β)的值为________.
解析 ∵cosα=,α∈,
∴sinα=,∴sin2α=,cos2α=-.
又cos(α+β)=-,α+β∈(0,π),∴sin(α+β)=.
∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]
=cos2αcos(α+β)+sin2αsin(α+β)
基础巩固题组
(建议用时:
40分钟)
一、选择题
1.(高考·
郑州模拟)计算cos42°
cos18°
-cos48°
sin18°
的结果等于( ).
A.B.C.D.
解析 原式=sin48°
=sin(48°
-18°
)=sin30°
答案 A
2.(高考·
湖州模拟)已知sin=,则cos(π+2α)的值为( ).
A.-B.C.D.-
解析 由题意,得sin=cosα=.
所以cos(π+2α)=-cos2α=-(2cos2α-1)=1-2cos2α=.
答案 B
3.(高考·
山东省实验中学诊断)已知cos=,则sin2x=( ).
A.B.C.-D.-
解析 因为sin2x=cos=cos2=2cos2-1,所以sin2x=2×
2-1=-1=-.
答案 C
4.(高考·
成都模拟)已知α∈,且cosα=-,则tan等于( ).
A.7B.C.-D.-7
解析 因α∈,且cosα=-,所以sinα<0,即sinα=-,所以tanα=.所以tan===.
5.(高考·
金华十校模拟)已知tan=-,且<α<π,则等于( ).
A.B.-C.-D.-
解析 ==2cosα,由tan=-,得=-,解得tanα=-3,因为<α<π,所以解得cosα=-=-,所以原式=2cosα=2×
=-.
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