概率统计复习重点Word下载.docx

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1）由全概率公式

2）由贝叶斯公式

【例1-2】设甲袋中有四个红球和两个白球，一代中有三个红球和两个白球。

现从甲袋中任取两个球（不看颜色）放到乙袋后，再从乙袋中任取一个球，发现取出的球是白球，则从甲袋中取出（放入乙袋）的两个球都是白球的概率是多少。

解：

由题

由贝叶斯公式

第三章随机变量的数字特征

【说明】本章主要介绍随机变量的数学期望、方差、协方差、相关系数等知识，比较重要，难度不是很大。

1.随机变量的期望

主要掌握离散型、连续性随机变量的期望求法、常见的离散型、连续性随机变量的期望要求记住，一元函数随机变量期望的求法、数学期望的性质以及条件期望等。

◆离散型期望：

◆连续性期望：

◆常见期望及方差

分布

期望

方差

0-1分布

p

P（1-p）

二项分布X~B（n,p）

np

Np（1-p）

X~P（λ）

λ

[a,b]上均匀分布

（a+b）/2

/

X~E（λ）

1/λ

X~N（μ,σ2）

μ

σ2

◆以为离散性随机变量函数的期望

首先写出Y=g（X）函数的分布律，然后按照常规方法求解期望。

◆一维连续性随机变量的期望

◆数学期望的性质

Ø

X、Y相互独立（或者不线性相关），

后面两个都可以推广至有限多种的情况。

◆条件期望

i.称为在时X的条件期望；

ii.称。

2.方差

A）必须记住的公式：

B）性质

X、Y相互独立或者不相关

最后一个公式可以推广至多个。

3.协方差和相关系数

1.必须记住的公式

2.对于任意X，Y：

3.性质

4.相关系数

若则X、Y不相关

反之，则相关

若X，Y相互独立，则X，Y一定不相关，反之不成立。

【例3-1】设随机变量，求

由连续型随便变量数学期望的定义式可得

【例3-2】二元随机变量的联合概率分布表如下

1

2

，求。

首先写出Z1，Z2对应的分布律。

3

于是

【例3-3】二维随机变量，求

首先求出关于X的边缘概率密度

1）当时，有

2）x为其他值时，则

综合上述

于是

【例3-4】二维随机变量的联合分布表如下

求，X与Y是否相关？

是否相互独立？

首先写出两个边缘分布律

于是

，则X、Y不相关

4

同时也可验证X、Y不独立。

【例3-5】设二元随机变量的联合改了密度函数为

求：

I）常数

II）

III）

IV）

V）

本题综合考察了第二章有关连续性随机变量的相关知识，很有代表性。

I）由性质可得

II）首先求出边缘概率密度，然后对其积分

关于X的边缘概率密度为

i）当时，有

ii）x为其他值时，则

从而，

i）当，则=0

ii）当，则

iii）当x＞2时，则=1

III）我们可以求得

即可得

IV）由题，

V）

第四章大数定理

【说明】本章考点很明确，考得就是切比雪夫不等式以及拉普拉斯定理。

1.切比雪夫不等式

设X为随机变量，期望和方差都存在，对于任意的，有

【例4-1】随机变量，由切比雪夫不等式有__________。

【例4-2】随机变量，用切比雪夫不等式估计的值。

【例4-3】设X服从区间（-1，1）上的均匀分布。

b）求；

c）使用切比雪夫不等式估计的下界。

（1）

（2）

即上界为0.074。

2.拉普拉斯定理

【二项分布以正态分布为极限，即时，】

这里，如果在实际解题中，只需要n足够大即可。

（2）

【例4-4】某批产品（批量很大）次品率为p=0.1，从这批产品中随机抽取1000件。

求抽的次品树在90~100之间的概率。

根据拉普拉斯定理，X为次品数，则

【例4-5】设电站供电网有10000赞电灯，夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7，假设开、关事件彼此独立，记随机变量X为夜晚同时开着的电灯数，

1）写出X的分布；

2）利用切比雪夫不等式，估计夜晚同时开着的电灯数再6800~7200之间的概率；

3）利用拉普拉斯定理，计算夜晚同时开着的电灯数在6800~7200之间的概率的近似值。

1）

2）由切比雪夫不等式

3）由拉普拉斯定理

第五章统计量及其分布

【说明】本章重点内容很少，但是有几个点还是需要知道的。

总体概念及表示方法、样本以及样本值概念及表示方法、样本容量、以及总体和样本之间独立同分布的性质，这些概念只要知道即可，会用就可以了。

常见的统计量：

◆样本平均数（样本均值）

◆样本方差

◆样本k阶原点矩

◆样本k阶中心矩

第六章参数估计

【说明】本章主要围绕参数估计展开，主要讲述了点估计（包括矩估计、极大似然估计）和区间估计。

接着就是正态总体参数的区间估计，就是怎么求置信区间的问题。

1.矩估计

步骤：

1）有几个未知参数，分别求出总体的一阶到几阶原点矩；

2）把未知参数解出，用总体的原点矩表示；

3）分别用样本的各阶矩估计总体的各阶矩得出参数的矩估计结果。

【例6-1】设总体，是来自总体的一个样本，样本值为，求参数的据估计值。

反解出：

于是马上可以得到矩估计为：

据估计值

【例6-2】设总体的概率密度

其中都是未知参数，是来自总体的样本，求的矩估计量。

反解出得

于是，矩估计量

2.极大似然估计

1）首先写出似然函数

2）对似然函数取对数后求导，或者偏导后得到似然方程（组）

①为一值时，则

②为一向量，则求偏导

3）然后解出根就是的极大似然估计。

【例6-3】设总体，是来自总体的一个样本，样本值为，求参数的极大似然估计值。

接着，对数化

然后，因为只有一个值，故求导即可

解得

于是极大似然估计量

【例6-4】总体是来自总体的一个样本，样本值为，求参数的极大似然估计值。

接着对数化

求得得到似然方程

得到解

【说明】只要步骤掌握了，极大似然估计的求解可能更加简单些，当然，每一种点估计都不难。

3.正态总体参数的区间估计

1）方差已知，对均值区间估计，置信度为1-α的置信区间为，当α=0.01时，α=0.05时。

2）方差未知，对均值区间估计，置信度为1-α的置信区间为

。

【例6-5】对某一零件的长度进行5次独立测量得（单位：

cm）

11.2，10.8，10.9，11.3，10.9

已知测量无系统误差，且测量长度服从N（μ,4）求该零件平均长度的95%置信区间，如果总体方差未知，置信区间为何？

1）首先求出，而

带入公式马上可得

于是置信区间为（9.27，12.77）

2）此时需要求出S=0.21

这样，带入公式可得

于是置信区间为（10.78，11.26）。

【说明】其实求置信区间，当已知时，是比较简单的，但是未知，则比较复杂。

因为求S比较复杂

在第三章中的内容很多包括第二章的知识，所以在编排中没有做出，这需要大家自己以课本为基础去复习，其他几章都列出了本章的重点及考试要点，希望大家仔细去看，争取都考出好成绩。

由于能力有限，如果不完整，请大家帮忙指出修正！

07自动化

（1）郑龙呈