不等式推理与证明知识点Word下载.docx
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比较两个数的大小可以用相减法、相除法、平方法、开方法、倒数法等。
2、不等式的性质:
对称性
传递性
加法单调性
乘法单调性;
同向不等式相加
异向不等式相减
⑥同向不等式相乘
异向不等式相除
⑦倒数关系
平方法则
⑨开方法则
3、一元二次不等式及其解法:
(1)定义:
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是的不等式。
(2)二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系
判别式
二次函数
的图象
一元二次方程的根
有两个相异实数根
有两个相等实数根
没有实数根
一元二次不等式的解集
4、线性规划问题:
(1)二元一次不等式
[1]定义:
含有两个未知数,并且未知数的次数是的不等式.
[2]二元一次不等式组:
由几个二元一次不等式组成的不等式组.
[3]二元一次不等式(组)的解集:
满足二元一次不等式组的和的取值构成有序数对,所有这样的有序数对构成的集合.
(2)在平面直角坐标系中,已知直线,坐标平面内的点.
[1]若,,则点在直线的上方.
[2]若,,则点在直线的下方.
(3)在平面直角坐标系中,已知直线.
[1]若,则表示直线上方的区域;
表示直线下方的区域.
[2]若,则表示直线下方的区域;
表示直线上方的区域.
(4)线性规划相关概念
线性约束条件:
由,的不等式(或方程)组成的不等式组,是,的线性约束条件.
目标函数:
欲达到最大值或最小值所涉及的变量,的解析式.
线性目标函数:
目标函数为,的一次解析式.
线性规划问题:
求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题.
可行解:
满足线性约束条件的解.
可行域:
所有可行解组成的集合.
最优解:
使目标函数取得最大值或最小值的可行解.
(5)解线性规划问题的一般步骤:
第一步:
在平面直角坐标系中作出可行域;
第二步:
在可行域内找到最优解所对应的点;
第三步:
解方程的最优解,从而求出目标函数的最大值或最小值。
5、基本不等式
(1)设、是两个正数,则称为正数、的算术平均数,称为正数、的几何平均数.
(2)均值不等式:
若,,则:
(当且仅当a=b时取等号)
注意:
“一正二定三相等,和定积最大,积定和最小”这17字方针
(3)基本不等式定理的形式
[1]整式形式:
;
[2]根式形式:
(,)a+b
[3]分式形式:
+2(a、b同号)
[4]倒数形式:
a>
0a+2;
a<
0a+-2
(4)极值定理:
设、都为正数,则有
[1]若(和为定值),则当时,积取得最大值.
[2]若(积为定值),则当时,和取得最小值.
(5)均值不等式的推广:
[1]若则(当仅当时等号成立)
[2]公式:
(仅当时取等号)
平方平均算术平均几何平均调和平均(为正数)
特别地,(当a=b时,)
[3]
6、不等式的解法
(1)整式不等式的解法(根轴法).
步骤:
[1]正化:
分解成若干个一次因式的积,并使每一个因式中最高次项的系数为正;
[2]标轴:
将每一个一次因式的根标在数轴上,从最大根的右上方依次通过每一点画曲线;
并注意奇穿过偶弹回;
[3]穿线:
根据曲线显现的符号变化规律,写出不等式的解集。
注:
用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿,偶切”,从最大根的右上方开始
特例①一元一次不等式ax>
b解的讨论;
②一元二次不等式ax2+bx+c>
0(a≠0)解的讨论.
(2)分式不等式的解法:
先移项通分标准化,则:
(3)无理不等式:
转化为有理不等式求解
①②或
③
(4).指数不等式:
转化为代数不等式
(5)对数不等式:
(6)含绝对值不等式
①应用分类讨论思想去绝对值;
②应用数形思想;
③应用化归思想等价转化
(7)含参不等式解法
求解的通法是“定义域为前提,函数增减性为基础,分类讨论是关键.”
注:
1,解完之后要写上:
“综上,原不等式的解集是…”。
2,按参数讨论,最后应按参数取值分别说明其解集;
但若按未知数讨论,最后应求并集
二、基础训练A
1.若b<
0,a+b>
0,则a-b的值( )
A.大于0B.小于0C.等于0D.不能确定
2.已知M=x2+y2-4x+2y,N=-5,若x≠2或y≠-1,则( )
A.M>
NB.M<
NC.M=ND.不能确定
3.不等式(x-2)(x+3)>
0的解集是( )
A.(-3,2)B.(2,+∞)C.(-∞,-3)∪(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(3,+∞)
4.函数y=+的定义域为( )
A.{x|x≥0}B.{x|x≥1}C.{x|x≥1}∪{0}D.{x|0≤x≤1}
5.不论x为何值,二次三项式ax2+bx+c恒为正值的条件是( )
A.a>
0,b2-4ac>
0B.a>
0,b2-4ac≤0C.a>
0,b2-4ac<
0D.a<
6.下列命题中正确的是( )
A.不等式x2>
1的解集是{x|x>
±
1}B.不等式-4+4x-x2≤0的解集是R
C.不等式-4+4x-x2≥0的解集是空集D.不等式x2-2ax-a->
0的解集是R
7.若关于x的不等式2x-1>
a(x-2)的解集是R,则实数a的取值范围是( )
2B.a=2C.a<
2D.a不存在
8.已知点M(x0,y0)与点A(1,2)在直线l:
3x+2y-8=0的两侧,则( )
A.3x0+2y0>
10B.3x0+2y0<
0C.3x0+2y0>
8D.3x0+2y0<
8
9.不等式组,表示的平面区域的面积是( )
A.2B.4C.6D.8
10.在直角坐标系内,满足不等式x2-y2≤0的点(x,y)的集合(用阴影表示)是( )
11.一个两位数个位数字为a,十位数字为b,且这个两位数大于50,可用不等关系表示为________.
12.已知x<
1,则x2+2与3x的大小关系为________.
13.设集合A={x|(x-1)2<
3x-7,x∈R},则集合A∩Z中有________个元素.
14.不等式>
0的解集是________.
15.原点O(0,0)与点集A={(x,y)|x+2y-1≥0,y≤x+2,2x+y-5≤0}所表示的平面区域的位置关系是________,点M(1,1)与集合A的位置关系是________.
三、基础训练B
1.若,则等于()
A.B.C.D.
2.下列各对不等式中同解的是()
A.与
B.与
C.与
D.与
3.若,则函数的值域是()
A.B.C.D.
4.设,则下列不等式中恒成立的是()
5.如果实数满足,则有()
A.最小值和最大值1B.最大值1和最小值
C.最小值而无最大值D.最大值1而无最小值
6.二次方程,有一个根比大,另一个根比小,
则的取值范围是()
7.若方程有实根,则实数____;
且实数____。
8.一个两位数的个位数字比十位数字大,若这个两位数小于,则这个两位数为________。
9.设函数,则的单调递减区间是。
10.当______时,函数有最_______值,且最值是_________。
11.若,用不等号从小到大
连结起来为__________。
12.解不等式
(1)
(2)
13.不等式的解集为,求实数的取值范围。
14.
(1)求的最大值,使式中的、满足约束条件
(2)求的最大值,使式中的、满足约束条件
15.已知,求证:
四、综合训练
1.一元二次不等式的解集是,则的值是()。
A.B.C.D.
2.设集合()
A.B.
C.D.
3.关于的不等式的解集是()
4.下列各函数中,最小值为的是()
A.B.,
5.如果,则的最大值是()
6.已知函数的图象经过点和两点,
若,则的取值范围是()
7.设实数满足,则的取值范围是___________。
8.若,全集,则___________。
9.若的解集是,则的值为___________。
10.当时,函数的最小值是________。
11.设且,则的最小值为________.
12.不等式组的解集为__________________。
13.已知集合,
又,求等于多少?
14.函数的最小值为多少?
15.已知函数的最大值为,最小值为,求此函数式。
16.设解不等式:
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