重庆市南开中学届高三下学期第七次质量检测数学试题Word文档格式.docx
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6.已知,则()
7.已知函数对任意的实数x都满足,且函数的图象关于点对称,若,则()
A.0B.2C.D.2021
8.已知O为坐标原点,点A在直线上,点B在直线上,其中c为正数,是以O为直角顶点的等腰三角形,若的面积为,则()
A.1B.C.D.4
二、多项选择题:
本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.下列说法正确的是()
A.已知随机变量,则
B.已知随机变量X,Y满足,且,则
C.线性回归模型中,相关系数r的绝对值越大,则这两个变量线性相关性越强
D.设,则越大,正态分布曲线越矮胖
10.抛物线与双曲线具有共同的焦点F,过F作的一条渐近线的垂线l,垂足为H,与交于A、B两点,O为坐标原点,则有()
A.
B.的渐近线方程为
C.
D.若l的倾斜角为锐角,则经过O、F且与直线l相切的圆的标准方程为
11.如图,在正方体中,E、F分别为棱、的中点,则下列说法正确的有()
A.直线与直线共面
B.
C.二面角的大小为
D.直线与平面所成角的正弦值为
12.已知函数,其中e是自然对数的底数,a为非零实数,则下列说法正确的是()
A.对任意的实数a,曲线与曲线都有交点
B.当时,曲线与曲线恰好有一个交点
C.存在实数a,使得曲线与曲线和都有两个交点
D.设是曲线与曲线的一个交点,是曲线与曲线的一个交点,则一定有
三、填空题本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知数列对任意正整数n均有成立,且前n项和满足,则______.
14.高三年级拍毕业照时,某班甲、乙丙3名同学邀请该班2名老师站在一排合影留念,若2名老师相邻且不站在两侧,则不同的站法有__________种.
15.已知中,,点M、N满足,且,则的最大值为_________.
16.李华以的速度骑着一辆车轮直径为24寸(1米等于3尺,尺等于10寸)的自行车行驶在一条平坦的公路上,自行车前轮胎上有一块红色的油漆印(图中点A),则点A滚动一周所用的时间为______秒(用表示);
若刚开始骑行时,油漆印离地面0.6米,在前行的过程中油漆印离地而的高度h(单位:
米)与时间(单位:
秒)的函数关系式可以用来刻画,则__________.
四、解答题:
本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)如图,在三棱柱中,是边长为4的等边三角形,D是的中点,.
(1)求证:
平面;
(2)当三棱柱的体积最大时,求点C与平面的距离.
18.(12分)已知数列的前n项和为,且满足,其中.
(1)若,求;
(2)是否存在实数x,y使为等比数列?
若存在,求出;
若不存在,说明理由.
19.(12分)已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且满足.
(1)若,求角A;
(2)若,求边长b.
20.(12分)为了庆祝建党100周年,某校高二年级将举行“学党史,忆先烈”党史知识竞赛,比赛以班为单位报名参赛(每班10人).为了帮助同学们学习并掌握更多的党史知识,学校准备了党史知识题库供学生利用课余时间进行网上练习.
(1)经统计,高二年级有1000名学生参与网上答题(其中物理类和历史类学生比例为),其得分情况可分为“优秀”和“良好”两个等级,请补全下面的“列联表”,并判断是否有99%的把握认为学生的党史知识掌握情况与学生的选科类别有关系?
优秀
良好
总计
物理类
250
历史类
200
1000
(2)某班为了选出参赛队员,将报名的20名学生平均分为甲、乙两组,利用班会课进行了7轮班内选拔比赛(每轮比赛每组满分100分),采用茎叶图记录了甲、乙两组7轮比赛得分如下图所示.已知甲组得分的中位数与乙组得分的平均数相等.
(ⅰ)求x的值;
(ⅱ)根据甲乙两组的得分情况,应该选哪个组代表本班参加学校比赛?
并说明理由.
附:
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
21.(12分)设.
(1)当时,求证:
;
(2)证明:
对一切正整数n,都有.
22.(12分)已知椭圆的左右焦点为、,离心率,过圆上一点Q(Q在y轴左侧)作该圆的切线,分别交椭圆E于A、B两点,交圆于C、D两点(如图所示).当切线与x轴垂直时,的面积为.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)(ⅰ)求的面积的最大值;
(ⅱ)求证:
为定值,并求出这个定值.
数学答案
1
2
3
4
5
6
7
8
C
A
D
B
8.【解析】:
如图,过点O作的垂线,垂足为C,交于点D,
则,记(为锐角),则,由条件得,
又,于是,所以,
故.
本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9
10
11
12
ACD
BCD
BD
BC
12.【解析】:
,,在同一个坐标系中作出函数,及的图象.由图可知,A错误,B正确,C正确.
又与关于直线对称,的图象关于直线对称,
但是由C知点A与点B不一定关于直线对称,故D错误.
三、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.314.2415.16.;
15.【解析】:
,当且仅当时取等号.
16.【解析】:
李华的时速为,车轮直径为米,周长为米,故滚动一周所用时间为秒,
即最小正周期为,于是,依题意知,,
又,所以,故.
17.【解析】:
(1)连接交于点E,由棱柱性质知E为的中点,连接,因D为的中点,故,而平面,平面,所以平面.4分
(2)当平面时,三棱柱的体积最大,此时、、两两垂直,
故如图建立直角坐标系,则,
.6分
设平面的法向量为,有,
令,得,所以,8分
于是点C与平面的距离.10分
18.【解析】:
(1)由题可知:
当时有:
,
当时,,
又满足上式,故.5分
(2)假设存在实数x,y满足题意,则当时,
由题可得:
和题设对比系数可得:
.7分
此时,
故存在使得是首项为4,公比为2的等比数列.9分
从而.
所以.12分
19.【解析】:
(1)由正弦定理可得:
或,2分
若,即,则,
综上:
.5分
(2)由题可得:
,所以①7分
又由,
由余弦定理可得:
②10分
解①②得:
或4,经检验,这两个值均满足题意.12分
20.【解析】:
(1)
150
300
60
40
100
20
190
400
.
故有90%的把握认为学生的党史知识掌握情况与学生的选科类别有关系.5分
(2)(ⅰ)甲组的中位数为89,于是,解得.7分
(ⅱ)甲组的平均数.8分
甲组的方差.9分
乙组的方差.10分
因为甲乙两组的平均数相等,乙组的方差更小,故乙组发挥更稳定,因此应该选乙组代表本班参加学校比赛.12分
21.【解析】:
(1),,故单调递增;
当时,,在单调递增,于是,证毕.5分
(2)由
(1)知当时,,取
有,9分
故
即待证不等式成立.12分
22.【解析】:
(1),于是有,又,
解得,所以椭圆E的标准方程为.3分
(2)(ⅰ)因Q在y轴左侧,故直线的斜率不会为零,设其方程为,
由直线与圆相切得,4分
由消去x得,5分
设,则,6分
所以,当且仅当,即时取等号.
故的面积的最大值为1.8分
(ⅱ)因点在椭圆E上,且在y轴左侧,故,,
由
(1),9分
故,10分
,11分
故为定值.12分
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- 重庆市 南开 中学 届高三 下学 第七 质量 检测 数学试题