专题三 反比例函数中的直角三角形问题 中考数学冲刺难点突破 反比例函数问题解析版Word文档下载推荐.docx
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∵点A在反比例函数y=图象上,
∴A(1,6),
∴,
∴一次函数的表达式为y=﹣3x+9;
(2)如图,①当∠OD1A=90°
时,
设BC与AO交于E,则E(,3),
∴AE=OE=D1E=,
∵E(,3),
∴D1的坐标为(,3);
②当∠OAD2=90°
可得直线AD2的解析式为:
y=﹣x+,
当y=3时,x=19,
∴D2的坐标为(19,3),
综上所述,当△AOD是直角三角形,D点坐标为(,3)或(19,3)
4、如图1,在平面直角坐标系xOy中,函数y=(m为常数,m>1,x>0)的图象经过点P(m,1)和Q(1,m),直线PQ与x轴,y轴分别交于C,D两点.
(1)求∠OCD的度数;
(2)如图2,连接OQ、OP,当∠DOQ=∠OCD﹣∠POC时,求此时m的值;
(3)如图3,点A,点B分别在x轴和y轴正半轴上的动点.再以OA、OB为邻边作矩形OAMB.若点M恰好在函数y=(m为常数,m>1,x>0)的图象上,且四边形BAPQ为平行四边形,求此时OA、OB的长度.
(1)设直线PQ的解析式为y=kx+b,则有,
解得,
∴y=﹣x+m+1,
令x=0,得到y=m+1,
∴D(0,m+1),
令y=0,得到x=m+1,
∴C(m+1,0),
∴OC=OD,
∵∠COD=90°
,
∴∠OCD=45°
.
(2)如图2,过Q作QM⊥y轴于M,过P作PN⊥OC于N,过O作OH⊥CD于H,
∵P(m,1)和Q(1,m),
∴MQ=PN=1,OM=ON=m,
∵∠OMQ=∠ONP=90°
∴△OMQ≌△ONP(SAS),
∴OQ=OP,∠DOQ=∠POC,
∵∠DOQ=∠OCD﹣∠POC,∠OCD=45°
∴∠DOQ=∠POC=∠QOH=∠POH=22.5°
∴MQ=QH=PH=PN=1,
∵∠OCD=∠ODC=45°
∴△DMQ和△CNP都是等腰直角三角形,
∴DQ=PC=,
∵OC=OD=m+1,
∴CD=OC=,
∵CD=DQ+PQ+PC,
∴=2+2,
∴m=+1;
(3)如图3,
∵四边形BAPQ为平行四边形,
∴AB∥PQ,AB=PQ,
∴∠OAB=45°
∵∠AOB=90°
∴OA=OB,
∴矩形OAMB是正方形,
∵点M恰好在函数y=(m为常数,m>1,x>0)的图象上,
∴M(,),即OA=OB=,
∵AB=PQ,
解得:
m=或(舍),
∴OA=OB====.
5、如图,反比例函数y=的图象经过点,射线AB与反比例函数的图象的另一个交点为B(﹣1,a),射线AC与x轴交于点E,与y轴交于点C,∠BAC=75°
,AD⊥y轴,垂足为D.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)求DC的长;
(3)在x轴上是否存在点P,使得△APE与△ACD相似,若存在,请求出满足条件点P的坐标,若不存在,请说明理由.
(1)∵反比例函数y=的图象经过点,
∴k=﹣2,
∴反比例函数的解析式为:
;
(2)过点B作BM⊥AD于M,把B(﹣1,a)代入得,
∴B(﹣1,2),
∴AM=BM=2﹣1,
∴∠BAM=45°
∵∠BAC=75°
∴∠DAC=75°
﹣45°
=30°
∴CD=AD•tan∠DAC=2×
=2;
(3)存在,
如图,∵OC=CD﹣OD=1,
∴OE=OC=,
①当AP⊥x轴时,△APE~△CDA,则:
OP1=AD=2,
∴P1(﹣2,0),
②当AP⊥AE时,△APE~△DCA,∵AP1=1,∠AP2P1=90°
﹣30°
=60°
∴
则,
综上所述,满足条件点P的坐标为(﹣2,0),(﹣,0).
6、如图①,直线y=﹣x+b与反比例函数y=(x>0)的图象交于A(2,6),B(a,3)两点,BC∥x轴(点C在点B的右侧),且BC=m,连接OC,过点C作CD⊥x轴于点D,交反比例函数图象于点E.
(1)求b的值和反比例函数的解析式;
(2)填空:
不等式﹣x+b>的解为 ;
(3)当OC平分∠BOD时,求的值;
(4)如图②,取BC中点F,连接DF,AF,BD,当四边形ABDF为平行四边形时,求点F的坐标.
(1)将A(2,6)代入y=﹣x+b得,﹣3+b=6,
b=9,
将A(2,6)代入y=得,k=12,
y=;
(2)当y=3时,3=,
x=4,
∴B(4,3),
由图象可知不等式﹣x+b>的解为:
2<x<4,
故答案为:
2<x<4;
(3)将B(a,3)代入y=得,=3,
a=4,
∵OC平分∠BOD,
∴∠BOC=∠COD,
∵BC∥x轴,
∴∠BCO=∠COD,
∴∠BOC=∠BCO,
∴OB=BC,
∵B(4,3),
∴OB=BC=5,
∴C(9,3),
∴E(9,),D(9,0),
∴DE=,CE=3﹣=,
∴==;
(4)作AH⊥BC于H,则H(2,3),
∴AH=3,BH=2,
∵四边形ABDF为平行四边形,
∴AB∥DF,AB=DF,
∴∠CFD=∠CBQ,
∵∠AHB=∠DCF=90°
,∠ABH=∠CBQ,
∴∠CFD=∠ABH,
∴△ABH≌△DFC(AAS),
∴CF=BH=2,
∵F是BC中点,
∴BF=CF=BC=2,
∴F(6,3).
7、定义:
在平面直角坐标系中,把点先向右平移1个单位,再向上平移2个单位的平移称为一次斜平移.已知点A(1,0),点A经过n次斜平移得到点B,点M是线段AB的中点.
(1)当n=3时,点B的坐标是 ,点M的坐标是 ;
(2)如图1,当点M落在y=的图象上,求n的值;
(3)如图2,当点M落在直线l上,点C是点B关于直线l的对称点,BC与直线l相交于点N.
①求证:
△ABC是直角三角形;
②当点C的坐标为(5,3)时,求MN的长.
(1)根据平移的性质,点A(1,0)经过n次斜平移得到点B的坐标为(1+n,2n),
∴当n=3时,点B的坐标是(4,6),
∵点M是线段AB中点,
∴点M的坐标是(2.5,3),
(4,6),(2.5,3)
(2)由题意,A(1,0),B(1+n,2n),
∴线段AB中点M(,n),
∵点M落在y=的图象上,
∴×
n=4,
解得n=2或n=﹣4(舍去),
∴n=2;
(3)①连接CM,如图1,
∵M是AB的中点,
∴AM=BM,
由轴对称可知:
BM=CM,
∴AM=CM=BM,
∴∠MAC=∠ACM,∠MBC=∠MCB,
∵∠MAC+∠ACM+∠MBC+∠MCB=180°
∴∠ACM+∠MCB=90°
,即∠ACB=90°
∴△ABC是直角三角形;
②∵点C的坐标为(5,3),点A(1,0),
∴AC==5,
∵点C是点B关于直线l的对称点,
∴BN=CN,
∵点M是线段AB的中点.
∴MN=AC=.
8、如图
(1),正方形ABCD顶点A、B在函数y=(k>0)的图象上,点C、D分别在x轴、y轴的正半轴上,当k的值改变时,正方形ABCD的大小也随之改变.
(1)若点A的横坐标为5,求点D的纵坐标;
(2)如图
(2),当k=8时,分别求出正方形A′B′C′D′的顶点A′、B′两点的坐标;
(3)当变化的正方形ABCD与
(2)中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时,求k的取值范围.
(1)如图,过点A作AE⊥y轴于点E,则∠AED=90°
∵四边形ABCD为正方形,
∴AD=DC,∠ADC=90°
∴∠ODC+∠EDA=90°
∵∠ODC+∠OCD=90°
∴∠EDA=∠OCD,
在△AED和△DOC中
∴△AED≌△DOC(AAS),
∴OD=EA=5,
∴点D的纵坐标为5;
(2)作A′M⊥y轴于M,B′N⊥x轴于点N,
设OD′=a,OC′=b,
同理可得△B′C′N≌△C′D′O≌△A′D′E,
∴C′N=OD′=A′M=a,B′N=C′O=D′M=b,
∴A′(a,a+b),B′(a+b,b),
∵点A′、B′在反比例函数y=的图象上,
∴a(a+b)=8,b(a+b)=8,
∴解得a=b=2或a=b=﹣2(舍去),
∴A′、B′两点的坐标分别为(2,4),(4,2);
(3)设直线A′B′的解析式为y=mx+n,
把A′(2,4),B′(4,2)代入得
∴直线A′B′解析式为y=﹣x+6,
同样可求得直线C′D′解析式为y=﹣x+2,
由
(2)可知△OCD是等腰直角三角形,
设点A的坐标为(m,2m),点D坐标为(0,m),
当A点在直线C′D′上时,则2m=﹣m+2,解得m=,
此时点A的坐标为(,),
∴k=×
=;
当点D在直线A′B′上时,有m=6,此时点A的坐标为(6,12),
∴k=6×
12=72;
综上可知:
当变化的正方形ABCD与
(2)中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时,k的取值范围为≤x≤72.
9、如图,如图,一次函数y=﹣x+b与反比例函数的图象交于点A(m,1)和B(1,﹣3).
(1)填空:
一次函数的解析式为 ,反比例函数的解析式为 ;
(2)点P是x轴正半轴上一点,连接AP,BP.当△ABP是直角三角形时,求出点P的坐标.
(1)∵点A(m,1)和B(1,﹣3)在反比例函数的图象上,
∴k=1×
(﹣3)=﹣3,k=m×
1,
∴m=﹣3,
∴点A(﹣3,1),
∴反比例函数解析式为:
∵一次函数y=﹣x+b过点B(1,﹣3),
∴﹣3=﹣1+b,
∴b=﹣2,
∴一次函数解析式为:
y=﹣x﹣2;
y=﹣x﹣2,;
(2)如图1,当∠ABP=90°
时,过点P作CD⊥x轴,过点A作AC⊥DC于C,过点B作BD⊥CD于D,
设点P的坐标为(x,0),
∴AC=x+3,CP=1,PD=3,BD=x﹣1,
∵∠APB=90°
∴∠APC+∠BPD=90°
又∵∠APC+∠CAP=90°
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