安徽省六安市第一中学学年高一上学期国庆作Word格式.docx
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函数的奇偶性,值域.
4.,则()
A.B.C.4D.5
【答案】C
,,.
分段函数的求值问题.
5.下列函数中,既是奇函数,又在上为增函数的是()
A.B.C.D.
函数的奇偶性;
函数的单调性.
6.设函数和分别是上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是()
A.是偶函数B.是奇函数
C.是偶函数D.是奇函数
∵函数,分别是R上的偶函数和奇函数,,也为偶函数,则,是偶函数,故A满足条件;
﹣是偶函数,故B不满足条件;
也为偶函数,则、的奇偶性均不能确定,故选A.
函数奇偶性的判断.
7.设函数,是上的常数,若的值域为,则取值范围为()
分段函数,函数的值.
8.函数在上单调递增,则的取值范围是()
,即转化为函数的单调性.的图象可以通过把反比例函数的图象关于轴对称,向右平移个单位,把纵坐标变大倍得到(纵坐标变化对单调区间没有影响).由函数在上递增,再根据反函数的性质,可知.由函数在上递增,可知在的左侧,即,故.
【思路点晴】此题考查反比例函数的图象和性质,函数的图象的平移、对称变换,通过分离常数把化成反比例型函数,通过做关于轴对称,向右平移,纵向伸缩把反比例函数变换成,再结合反函数的图象和性质,画出的图象,从函数的图象判断可知在的左侧,即,故.
9.已知函数的定义域为,值域为,那么满足条件的整数对共
有()
A.6个B.7个C.8个D.9个
数形结合,函数图象,函数的奇偶性,单调性
【思路点晴】此题考查学生会利用分类讨论及数学结合的数学思想解集实际问题,掌握函数定义域的求法,通过分离常数化简,然后推出函数是偶函数,结合反比例函数的图象,得到为减函数,利用偶函数图象关于轴对称的性质画出的图象关于轴对称,可画出函数的图象,从函数的图象看出满足条件的整数对有个.
10.函数为偶函数,且在单调递增,则的解集为()
A.或B.
C.或D.
函数的奇偶性、单调性的综合应用,二次函数的性质.
【思路点晴】根据二次函数的对称轴为轴,故一次项系数为,从而求得,再根据函数在单调递增,可得,.利用二次函数的图象和性质求得的解集为,再利用原函数和复合函数的关系得,求得的解集为.
第Ⅱ卷(非选择题共100分)
二、填空题(本大题共5小题,每题5分,满分25分.)
11.在映射中,如果,那么称为的像.设,
使,则中所有元素的像构成的集合是______.(用列举法表示)
【答案】
集合,.
集合的列举法表示,映射.
12.已知函数,,则的解析式是_______.
分段函数的解析式求法;
函数的表示方法.
【方法点晴】本题是分段函数的解析式求法;
利用已知的一段函数求定义域范围内的解析式.充分利用分段函数的特点:
在不同的自变量范围下对应的函数表达式不同.不管是还是为内涵数都要针对于或分情况讨论,只有这样才能在不同的范围上有确定的表达式代入进行运算.最后结果要表达规范.
13.函数的定义域为,值域为,则的取值范围是_________.
二次函数的性质.
14.已知集合,且,,则的取值范围是_______.
∵关于的不等式的解集为,若,,故有,化简可得,解得,故实数的取值范围是,故答案为.
分式不等式的解法.
【方法点晴】根据集合,且,,知道.满足不等式,不满足该不等式,即,解此不等式组即可求得实数的取值范围为.一方面时的等价不等式要注意,千万不要写成,这样就不等价了,这是一个易错点.另一方面不等式组的交并运算最好结合数轴.
15.已知是定义在上的奇函数且,当,且时,有
,若对所有、恒成立,则实数的取值范
围是________.
奇偶性与单调性的综合.
【方法点晴】由条件先判断函数的单调性,利用奇偶性和单调性的性质将原不等式恒成立进行转化,转化为关于的新的恒成立,构造函数,结合一次函数的图象和性质,列出不等式组,求解即可得到结论.利用条件判断函数的单调性是解决本题的关键,综合考查函数的单调性和奇偶性等性质.
三、解答题(本大题共5小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
16.设,,,,
.
(1)求;
(2)设,且中有且仅有2个元素属于,求的取值范围.
(1);
(2).
试题解析:
∵,
∴
∴,
;
.
∴.
(1)∵,
(2)
∵中有且仅有2个元素属于,
集合的交、并、补运算.
17.已知的图象过点,且.
(1)求的解析式;
(2)已知,,求函数在上的最小值
又的图象过点,
,;
的解析式为.
(2)函数
,
画出函数图象,如图
当时,;
当时,.
综上,
二次函数的图象和性质,分段函数.
18.已知函数是定义在上的奇函数,且当时有.
①求的解析式;
②求的值域;
③若,求的取值范围.
【答案】①;
②;
③.
①当时有,
∴当时,,,
,.(6分)
②当时有,.又∵是奇函数,当时,.(A:
13分)
③当时有,在上是增函数,又是奇函数,是在上是增函数.(B:
13分),,
函数解析式求法,单调性、奇偶性性质综合.
19.已知定义域为的函数是奇函数.
(1)求的值;
(2)用定义证明在上是单调递减函数;
(3)若对任意,不等式恒成立,求的取值范围.
(2)证明见解析;
(3).
(2)证明:
设,则.
在实数集上是增函数且函数值恒大于0,故
即
∴在上是单调减函数.
(3),不等式恒成立,
为奇函数,∴,
∵为减函数,∴,
即恒成立,而.
奇函数的定义,单调性的证明,利用单调性解不等式.
【方法点晴】
(1)根据函数是上的奇函数,利用,即可求出,的值;
(2)根据函数单调性的定义证明在上为减函数,要注意比较大小的过程的充分与完整;
(3)根据函数单调性和奇偶性的性质,将不等式恒成立进行转化,转化为二次函数的最值问题,即可求的取值范围.
20.对于定义域为D的函数y=f(x),如果存在区间D,同时满足:
①f(x)在内是单调函数;
②当定义域是时,f(x)的值域也是.
则称是该函数的“和谐区间”.
(1)证明:
是函数y=f(x)=x2的一个“和谐区间”.
(2)求证:
函数不存在“和谐区间”.
(3)已知:
函数(a∈R,a≠0)有“和谐区间”,当a变化时,求出
n﹣m的最大值.
(1)证明见解析;
设是已知函数定义域的子集,我们可以用表示出的取值,转化为二次函数的最值问题后,根据二次函数的性质,可以得到答案.
(2)设是已知函数定义域的子集.
故函数在上单调递增.
若是已知函数的“和谐区间”,则(8分)
故m、n是方程的同号的相异实数根.
x2﹣3x+5=0无实数根,
函数不存在“和谐区间”.(10分)
(3)设是已知函数定义域的子集.
x≠0,
若是已知函数的“和谐区间”,则(14分)
故m、n是方程,即的同号的相异实数根.
m,n同号,只须,即a>1或a<﹣3时,
已知函数有“和谐区间”,
当a=3时,n﹣m取最大值(18分)
1.函数的单调性的性质;
2.集合的关系;
3.二次函数的图象和性质.
(1)根据二次函数的性质,我们可以得出区间上单调递增,且值域也为满足“和谐区间”的定义,即可得到结论.
(2)该问题是一个确定性问题,从正面证明有一定的难度,故可采用反证法来进行证明,即先假设区间为函数的“和谐区间”,然后根据函数的性质得到矛盾,进而得到假设不成立,原命题成立.(3)设是已知函数定义域的子集,我们可以用表示出的取值,转化为二次函数的最值问题后,根据二次函数的性质,可以得到答案.
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