学年高中数学人教B版选修21章末综合测评2Word格式.docx
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4.已知抛物线C1:
y=2x2的图象与抛物线C2的图象关于直线y=-x对称,则抛物线C2的准线方程是( )
A.x=-B.x=
C.x=D.x=-
【解析】 抛物线C1:
y=2x2关于直线y=-x对称的C2的表达式为-x=2(-y)2,即y2=-x,其准线方程为x=.
【答案】 C
5.已知点F,A分别为双曲线C:
-=1(a>0,b>0)的左焦点、右顶点,点B(0,b)满足·
=0,则双曲线的离心率为( )
A.B.
C.D.
【解析】 ∵·
=0,∴FB⊥AB,∴b2=ac,又b2=c2-a2,∴c2-a2-ac=0,两边同除以a2,得e2-1-e=0,∴e=.
6.(2013·
全国卷Ⅰ)已知双曲线C:
-=1(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为( )
A.y=±
xB.y=±
x
C.y=±
xD.y=±
【解析】 由e=,得=,
∴c=a,b==a.
而-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±
x,
∴所求渐近线方程为y=±
x.
7.如图1,已知F是椭圆+=1(a>
b>
0)的左焦点,P是椭圆上的一点,PF⊥x轴,OP∥AB(O为原点),则该椭圆的离心率是( )
图1
C.D.
【解析】 因为PF⊥x轴,所以P.
又OP∥AB,所以=,即b=c.
于是b2=c2,
即a2=2c2,所以e==.
【答案】 A
8.若点O和点F(-2,0)分别为双曲线-y2=1(a>
0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则·
的取值范围为( )
A.[3-2,+∞)B.[3+2,+∞)
【解析】 因为双曲线左焦点的坐标为F(-2,0),
所以c=2.
所以c2=a2+b2=a2+1,
即4=a2+1,解得a=.
设P(x,y),则·
=x(x+2)+y2,
因为点P在双曲线-y2=1上,
所以·
=x2+2x-1=2--1.
又因为点P在双曲线的右支上,所以x≥.
所以当x=时,·
最小,且为3+2,
即·
的取值范围是[3+2,+∞).
9.已知定点A,B满足AB=4,动点P满足PA-PB=3,则PA的最小值是( )
C.D.5
【解析】 已知定点A,B满足AB=4,动点P满足PA-PB=3,则点P的轨迹是以A,B为左、右焦点的双曲线的右支,且a=,c=2.所以PA的最小值是点A到右顶点的距离,即为a+c=2+=,选C.
10.若焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率为,则n=( )
【解析】 依题意知,a=,b=,
∴c2=a2-b2=2-n,
又e=,
∴==,∴n=.
11.已知直线y=k(x+2)与双曲线-=1,有如下信息:
联立方程组消去y后得到方程Ax2+Bx+C=0,分类讨论:
(1)当A=0时,该方程恒有一解;
(2)当A≠0时,Δ=B2-4AC≥0恒成立.在满足所提供信息的前提下,双曲线离心率的取值范围是( )
A.(1,]B.[,+∞)
C.(1,2]D.[2,+∞)
【解析】 依题意可知直线恒过定点(-2,0),根据
(1)和
(2)可知直线与双曲线恒有交点,故需要定点(-2,0)在双曲线的左顶点上或左顶点的左边,即-2≤-,即0<
m≤4,又e==,所以e≥.
12.已知点P为抛物线y2=2px(p>
0)上的一点,F为抛物线的焦点,直线l过点P且与x轴平行,若同时与直线l、直线PF、x轴相切且位于直线PF左侧的圆与x轴切于点Q,则点Q( )
A.位于原点的左侧B.与原点重合
C.位于原点的右侧D.以上均有可能
【解析】 设抛物线的准线与x轴、直线l分别交于点D,C,圆与直线l、直线PF分别切于点A,B.如图,由抛物线的定义知PC=PF,由切线性质知PA=PB,于是AC=BF.又AC=DO,BF=FQ,所以DO=FQ,而DO=FO,所以O,Q重合,故选B.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上)
13.(2013·
江苏高考)双曲线-=1的两条渐近线的方程为________.
【解析】 由双曲线方程可知a=4,b=3,
所以两条渐近线方程为y=±
【答案】 y=±
14.(2016·
东城高二检测)已知F1,F2为椭圆+=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点.若F2A+F2B=12,则AB=________.
15460058】
【解析】 由题意,知(AF1+AF2)+(BF1+BF2)=AB+AF2+BF2=2a+2a,又由a=5,可得AB+(BF2+AF2)=20,即AB=8.
【答案】 8
15.如图2所示,已知抛物线C:
y2=8x的焦点为F,准线l与x轴的交点为K,点A在抛物线C上,且在x轴的上方,过点A作AB⊥l于B,AK=AF,则△AFK的面积为________.
图2
【解析】 由题意知抛物线的焦点为F(2,0),准线l为x=-2,∴K(-2,0),设A(x0,y0)(y0>0),∵过点A作AB⊥l于B,
∴B(-2,y0),∴AF=AB=x0-(-2)=x0+2,
BK2=AK2-AB2,∴x0=2,
∴y0=4,即A(2,4),∴△AFK的面积为KF·
y0=×
4×
4=8.
16.设F为抛物线C:
y2=4x的焦点,过点P(-1,0)的直线l交抛物线C于A,B两点,点Q为线段AB的中点,若FQ=2,则直线l的斜率等于________.
【解析】 设直线l的方程为
y=k(x+1),A(x1,y1),B(x2,y2).
由联立得k2x2+2(k2-2)x+k2=0,
∴x1+x2=-,
∴=-=-1+,
=,
即Q.
又FQ=2,F(1,0),
∴2+2=4,解得k=±
1.
【答案】 ±
1
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知椭圆C:
+=1(a>b>0)的离心率为,短轴的一个端点到右焦点的距离为.求椭圆C的方程.
【解】 设椭圆的半焦距为c,依题意,
得a=且e==,
∴a=,c=,
从而b2=a2-c2=1,
因此所求椭圆的方程为+y2=1.
18.(本小题满分12分)已知F1,F2分别为椭圆+=1(0<b<10)的左、右焦点,P是椭圆上一点.
(1)求PF1·
PF2的最大值;
(2)若∠F1PF2=60°
,且△F1PF2的面积为,求b的值.
【解】
(1)PF1·
PF2≤2=100(当且仅当PF1=PF2时取等号),
∴PF1·
PF2的最大值为100.
(2)S△F1PF2=PF1·
PF2sin60°
PF2=,①
由题意知:
∴3PF1·
PF2=400-4c2.②
由①②得c=6,∴b=8.
19.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在x轴上,半径为4的圆C位于y轴右侧,且与y轴相切.
(1)求圆C的方程;
(2)若椭圆+=1的离心率为,且左、右焦点为F1,F2.试探究在圆C上是否存在点P,使得△PF1F2为直角三角形?
若存在,请指出共有几个这样的点?
并说明理由.
【解】
(1)依题意,设圆的方程为(x-a)2+y2=16(a>
0).
∵圆与y轴相切,∴a=4,
∴圆的方程为(x-4)2+y2=16.
(2)∵椭圆+=1的离心率为,
∴e===,解得b2=9.
∴c==4,
∴F1(-4,0),F2(4,0),
∴F2(4,0)恰为圆心C,
(ⅰ)过F2作x轴的垂线,交圆于点P1,P2,则∠P1F2F1=∠P2F2F1=90°
,符合题意;
(ⅱ)过F1可作圆的两条切线,分别与圆相切于点P3,P4,
连接CP3,CP4,则∠F1P3F2=∠F1P4F2=90°
,符合题意.
综上,圆C上存在4个点P,使得△PF1F2为直角三角形.
20.(本小题满分12分)(2016·
江南十校联考)已知双曲线的中心在原点,焦点F1、F2在坐标轴上,离心率为,且过点P(4,-).
(1)求双曲线的方程;
(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:
·
=0;
(3)求△F1MF2的面积.
【解】
(1)∵e=,
∴可设双曲线方程为x2-y2=λ.
∵过点P(4,-),
∴16-10=λ,即λ=6.
∴双曲线方程为x2-y2=6.
(2)法一 由
(1)可知,双曲线中a=b=,
∴c=2,
∴F1(-2,0),F2(2,0),
∴kMF1=,kMF2=,
kMF1·
kMF2==-.
∵点(3,m)在双曲线上,
∴9-m2=6,m2=3,
故kMF1·
kMF2=-1,∴MF1⊥MF2.
∴·
=0.
法二 ∵=(-2-3,-m),=(2-3,-m),
=(3+2)×
(3-2)+m2=-3+m2,
∵M点在双曲线上,
∴9-m2=6,即m2-3=0,
(3)△F1MF2的底边|F1F2|=4,
△F1MF2的高h=|m|=,
∴S△F1MF2=6.
21.(本小题满分12分)(2013·
北京高考)已知A,B,C是椭圆W:
+y2=1上的三个点,O是坐标原点.
(1)当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积;
(2)当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由.
【解】
(1)椭圆W:
+y2=1的右顶点B的坐标为(2,0).因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB相互垂直平分.所以可设A(1,m),代入椭圆方程得+m2=1,即m=±
.
所以菱形OABC的面积是
|OB|·
|AC|=×
2×
2|m|=.
(2)四边形OABC不可能为菱形.理由如下:
假设四边形OABC为菱形.
因为点B不是W的顶点,且直线AC不过原点,所以可设AC的方程为y=kx+m(k≠0,m≠0).
由消去y并整理得
(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.
设A(x1,y1),C(x2,y2),
则=-,
=k·
+m=.
所以AC的中点为M.
因为M为AC和OB的交点,所以直线OB的斜率为-.
因为k·
≠-1,
所以AC与OB不垂直.
所以OABC不是菱形,与假设矛盾.
所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形.
22.(本小题满分12分)已知椭圆C:
+=1(a>
0)的离心率为,以原点O为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+=0相切.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若直线l:
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