人教版高中数学必修⑤25《等比数列的前n项和》教学设计Word下载.docx
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通过有关内容在实际生活中的应用,使学生再一次感受数学源于生活,又服务于生活的实用性,引导学生要善于观察生活,从生活中发现问题,并运用数学知识和方法科学地解决问题.
(3)培养学生分析问题、解决问题的能力及钻研精神,培养学生的运算能力、严谨的思维习惯以及解题的规范性。
(4)通过公式的推导过程,展现数学中的对称美;
3、情态与价值观
(1)通过对数列知识的进一步学习,不断培养自主学习、合作交流、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神,提高参与意识和合作精神;
(2)通过生动具体的现实问题,激发学生探究的兴趣和欲望,树立学生求真的勇气和自信心,产生热爱数学的情感,形成学数学、用数学的思维和意识,培养学好数学的信心,体验在学习中获得成功的成就感,为远大的志向而不懈奋斗。
教学重点:
等比数列前项和公式的推导和应用
教学难点:
公式推导的思路及综合运用
教具:
多媒体、实物投影仪
教学方法:
合作探究、分层推进教学法
教学过程:
一、双基回眸科学导入:
★前面,我们学习了等比数列的概念、通项公式及其有关性质,并运用这些知识解决了许多的实际问题,请同学们回顾一下学过的等比数列基本知识和性质:
1等比数列定义:
即(n≥2)
②由三个数a,G,b组成的等比数列可以看成最简单的等比数列,这时,G叫做a与b的等比中项。
③等比数列通项公式:
(n≥1)
④
⑤在等比数列中,若m+n=p+q则
前面,我们学习了等差数列的前n项和,那么等比数列的前n项和有公式吗?
等比数列的前n项和在实际中应用广泛吗?
利用课本P55“国王对国际象棋的发明者的奖励”引发学生探求问题的积极性:
如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列,我们可以得到一个等比数列,它的首项是1,公比是2,求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和。
这需要等比数列的前n项和公式。
怎样推导呢?
这就是我们今天探索的问题。
二、创设情境合作探究:
●等比数列的前n项和公式推导:
【方法一】
一般地,设等比数列它的前n项和是
【引领学生合作探究、推导】
由等比数列的通项公式,上式可以写成
Sn=a1+a1q+a1q2+...+a1qn-1①
1式两边同乘以公比q得
qSn=a1q+a1q2+...+a1qn-1+a1qn②
①,②的右边有很多相同的项,用①的两边分别减去②的两边,得
(1-q)Sn=a1-a1qn
当q≠1时,
Sn=(q≠1)
又an=a1qn-1所以上式也可写成
Sn=(q≠1)
有了等比数列的前n项和公式,就可以解决刚才的问题:
由可得
==。
这个数很大,超过了。
国王不能实现他的诺言。
【点评】
①当q=1时,等比数列的前n项和公式为Sn=na1
2公式可变形为Sn==(思考q>
1和q<
1时分别使用哪个方便)
3如果已知a1,an,q,n,Sn五个量中的任意三个就可以求出其余两个
根据学生情况一起探索下列方法:
【方法二】
有等比数列的定义,
根据等比的性质,有
即
∴当时,①或②
当q=1时,
围绕基本概念,从等比数列的定义出发,运用等比定理,导出了公式.
【方法三】
=
==
(结论同上)
【小试牛刀】
1.根据下列各题的条件,求相应的等比数列{an}的前n项和。
2.(2009浙江理)设等比数列的公比,前项和为,则.
3.(2007重庆)在等比数列{an}中,a2=8,a5=64,,则公比q为( )
A.2B.3C.4D.8
三、互动达标巩固所学:
问题.1求下列等比数列的前8项和:
【分析】求出公比,直接运用公式计算即可:
【解析】
(1)因为所以,当n=8时,
(2)又题意可得:
又由q<
0,可得
于是
【点评】评注:
第
(2)题已知a1=27,n=8,还缺少一个已知条件,由题意显然可以通过解方程求得公比q,题设中要求q<
0,一方面是为了简化计算,另一方面是想提醒学生q既可以为正数,又可以为负数.
问题.2某商场第一年销售计算机5000台,如果平均每年的销售量比上一年增加10%,那么从第一年起,约几年内可使总销售量达到30000台(保留到个位)?
【分析】根据题意,每年销售量比上一年增加的百分率相同,所以,从今年起,每年的销售量组成一个等比数列。
【解析】由题意,从第1年起,每年的销售量组成一个等比数列
【点评】先根据题意将实际问题转化为一个等比数列的前n项和问题,然后利用等比数列的前n项公式列方程,再用对数的知识解方程,体现了数学实际问题的解决思想和运算能力的培养。
问题.3为了估计函数在第一象限的图像与x轴、y轴围成的区域的面积X,把x轴上的区间[0,3]分成n等份,从各个分点作y轴的平行线与函数图像相交,再从各交点向左作x轴的平行线,构成(n-1)个矩形,下面的程序用来计算(n-1)个矩形的面积的和s.
SUM=0
K=1
INPUTN
WHILEk<
=N-1
AN=(9-(9*3/N)^2)*3/N
SUM=SUM+AN
PRINTk,AN,SUM
k=k+1
WEND
END
阅读程序,回答下面的问题:
(1)程序中的AN,SUM分别表示什么,为什么?
(2)请根据程序计算当n=6,11,16时,各个矩形的面积的和(不必在计算机上运行).
【分析】首先应根据所给的程序,结合图形,搞清AN=(9-(9*3/N)^2)*3/N的含义,SUM的含义也就随之而知了……
【解析】经过分析,知:
AN表示第k个矩形的面积;
SUM表示前k个矩形的面积的和(祥见课本第58页)
【点评】此题的出现,为后面学习导数知识做好了铺垫。
四、思悟小结:
知识线:
(1)等比数列前项和的定义;
(2)等比数列前项和公式;
(3)相关的等比数列的性质。
思想方法线:
(1)公式法及错位相减法;
(2)方程思想;
(3)整体思想;
(4)函数思想。
题目线:
(1)利用等比数列的通项公式、前项和公式解决关于前项和的基本问题;
(2)利用等比数列的通项公式、前项和公式解决上述问题的逆向问题;
(3)实际问题;
(4)相关的综合问题。
五、针对训练巩固提高:
1.(2007湖南)在等比数列中,若,,则该数列的前10项和为( )
A.B.C.D.
2.(2009北京文)若数列满足:
,则;
前8项的和.(用数字作答)
4.求和:
5.已知f(x)=kx+b是一次函数,且f
(2),f(5),f(4)成等比数列,f(8)=15,求
6.利用等比数列的前n项公式证明:
如果a≠b,且a,b都不为0,则
其中n∈N*,a,b是不为0的常数,且a≠b.
【作业】课本61页A组2、3、4
(1)题
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