精品第6章参数估计1文档格式.docx

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总体的数学期望为，，

二阶原点矩为。

，

得到，。

4，

（1）设总体未知，是来自的样本，是相应的样本值。

求的矩估计量，求的最大似然估计值。

（2）元素碳-14在半分钟内放射出到达计数器的粒子数，下面是的一个样本：

6496101163710

求的最大似然估计值。

（1）因为总体的数学期望为，所以矩估计量为。

似然函数为，相应的对数似然函数为

。

令对数似然函数对的一阶导数为零，得到的最大似然估计值为

（2）根据

（1）中结论，的最大似然估计值为。

5，

（1）设服从参数为的几何分布，其分布律为。

参数未知。

设是一个样本值

，求的最大似然估计值。

（2）一个运动员，投篮的命中率为，以表示他投篮直至投中为止所需的次数。

他共投篮5次得到的观察值为

51749

（1）似然函数为，相应的对数似然函数为

6，

（1）设总体，参数已知，未知，是来自一个样本值。

（2）设总体，参数已知，（>

0）未知，为一相应的样本值。

（2）似然函数为，相应的对数似然函数为

7，设是总体的一个样本，为一相应的样本值。

（1）总体的概率密度函数为，，求参数的最大似然估计量和估计值。

（2）总体的概率密度函数为，，求参数的最大似然估计值。

（3）设已知，未知，求的最大似然估计值。

（1）似然函数为

，相应的对数似然函数为

相应的最大似然估计量为。

（3）因为其分布律为

所以，似然函数为，相应的对数似然函数为

8，设总体具有分布律

123

其中参数未知。

已知取得样本值，试求的最大似然估计值。

根据题意，可写出似然函数为

相应的对数似然函数为

9，设总体，，未知，已知，和分别是总体和的样本，设两样本独立。

试求最大似然估计量。

根据题意，写出对应于总体和的似然函数分别为

令对数似然函数分别对和的一阶导数为零，得到

算出最大似然估计量分别为，。

10，

（1）验证均匀分布中的未知参数的矩估计量是无偏估计量。

（2）设某种小型计算机一星期中的故障次数，设是来自总体的样本。

①验证是的无偏估计量。

②设一星期中故障维修费用为，求。

（3）验证是的无偏估计量。

（1）均匀分布中的未知参数的矩估计量为

由于，所以是的无偏估计量。

（2）①因为，所以是的无偏估计量。

②。

（3）因为，

所以，是的无偏估计量。

11，已知是来自均值为的指数分布总体的样本，其中未知。

设有估计量

（1）指出中哪几个是的无偏估计量。

（2）在上述的无偏估计量中哪一个较为有效？

（1）因为

（2）根据简单随机样本的独立同分布性质，可以计算出

所以，是比更有效的无偏估计量。

12，以X表示某一工厂制造的某种器件的寿命（以小时计），设，今取得一容量为的样本，测得其样本均值为，求

（1）的置信水平为0.95的置信区间，

（2）的置信水平为0.90的置信区间。

解

：

这是一个方差已知的正态总体均值的区间估计问题。

根据标准的结论，的置信水平为的置信区间为。

（1）的置信水平为0.95的置信区间为

（2）的置信水平为0.90的置信区间为

13，以X表示某种小包装糖果的重量（以g计），设，今取得样本（容量为）：

55.95,56.54,57.58,55.13,57.48,56.06,59.93,58.30,52.57,58.46

（1）求的最大似然估计值。

（2）求的置信水平为0.95的置信区间。

（1）根据已知结论，正态分布均值的最大似然估计量和矩估计量相同：

所以的最大似然估计值为。

（2）的置信水平为0.95的置信区间为

14，一农场种植生产果冻的葡萄，以下数据是从30车葡萄中采样测得的糖含量（以某种单位计）

16.0,15.2,12.0,16.9,14.4,16.3,15.6,12.9,15.3,15.1

15.8,15.5,12.5,14.5,14.9,15.1,16.0,12.5,14.3,15.4

15.4,13.0,12.6,14.9,15.1,15.3,12.4,17.2,14.7,14.8

设样本来自正态总体，均未知。

（1）求的无偏估计值。

（2）求的置信水平为90%的置信区间。

（1）的无偏估计值为

，。

（2）的置信水平为90%的置信区间为

15，一油漆商希望知道某种新的内墙油漆的干燥时间。

在面积相同的12块内墙上做试验，记录干燥时间（以分计），得样本均值分，样本标准差分。

求干燥时间的数学期望的置信水平为0.95的置信区间。

这是一个方差未知的正态总体均值的区间估计问题。

根据已知结论，干燥时间的数学期望的置信水平为0.95的置信区间为

16，Macatawa湖（位于密歇根湖的东侧）分为东、西两个区域。

下面的数据是取自西区的水的样本，测得其中的钠含量（以ppm计）如下：

13.0,18.5,16.4,14.8,19.4,17.3,23.2,24.9,

20.8,19.3,18.8,23.1,15.2,19.9,19.1,18.1,

25.1,16.8,20.4,17.4,25.2,23.1,15.3,19.4,

16.0,21.7,15.2,21.3,21.5,16.8,15.6,17.6

求的置信水平为0.95的置信区间。

根据题中数据，计算可得样本均值，样本方差。

的置信水平为0.95的置信区间为

17，设X是春天捕到的某种鱼的长度（以cm计），设，均未知。

下面是X的一个容量为13的样本：

13.1,5.1,18.0,8.7,16.5,9.8,6.8,12.0,17.8,25.4,19.2,15.8,23.0

（1）求的无偏估计；

根据题中数据计算可得。

（1）方差的无偏估计即为样本方差。

所以的置信水平为0.95的置信区间为

18，为比较两个学校同一年级学生数学课程的成绩，随机地抽取学校A的9个学生，得分数的平均值为，方差为；

随机地抽取学校B的15个学生，得分数的平均值为，方差为。

设样本均来自正态总体且方差相等，参数均未知，两样本独立。

求均值差的置信水平为0.95的置信区间。

根据两个正态总体均值差的区间估计的标准结论，均值差的置信水平为0.95的置信区间为

19，设以X,Y分别表示有过滤嘴和无过滤嘴的香烟含煤焦油的量（以mg计），设，，均未知。

下面是两个样本

X:

0.9,1.1,0.1,0.7,0.3,0.9,0.8,1.0,0.4

Y:

1.5,0.9,1.6,0.5,1.4,1.9,1.0,1.2,1.3,1.6,2.1

两样本独立。

根据题中数据计算可得，。

（未完）根据两个正态总体方差比的区间估计的标准结论，的置信水平为0.95的置信区间为

20，设以X,Y分别表示健康人与怀疑有病的人的血液中铬的含量（以10亿份中的份数计），设，，均未知。

下面是分别来自X和Y的两个独立样本：

15,23,12,18,9,28,11,10

25,20,35,15,40,16,10,22,18,32

求的置信水平为0.95的单侧置信上限，以及的置信水平为0.95的单侧置信上限。

根据题中数据计算得到，。

的置信水平为0.95的单侧置信上限为

所以，的置信水平为0.95的单侧置信上限为

21，在第17题中求鱼长度的均值的置信水平为0.95的单侧置信下限。

根据单侧区间估计的结论，正态总体均值的置信水平为0.95的单侧置信下限为

22，在第18题中求的置信水平为0.90的单侧置信上限。

两个正态总体的均值差的置信水平为0.90的单侧置信上限为

（第6章习题解答完毕）