河北省衡水中学届高三数学上学期七调考试试题理Word文件下载.docx
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A.B.C.D.
7.函数的图像大致为()
A.B.
C.D.
8.更相减损术是中国古代数学专著《九章算术》中的一种算法,其内容如下:
“可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也,以等数约之.”下图是该算法的程序框图,若输入,,则输出的值是()
A.68B.17C.34D.36
9.已知为自然对数的底数,若对任意的,总存在唯一的,使得成立,则实数的取值范围是()
10.电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示:
电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时长不多于,广告的总播放时长不少于,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍,分别用,表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数,要使总收视人次最多,则电视台每周播出甲、乙两套连续剧的次数分别为()
A.6,3B.5,2C.4,5D.2,7
11.已知在正四面体中,是棱的中点,是点在底面内的射影,则异面直线与所成角的余弦值为()
A.B.C.D.
12.已知,,其中,若函数在区间内没有零点,则的取值范围是()
A.B.C.D.
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.如图,在半径为2的扇形中,,为弧上的一点,若,则的值为.
14.若从区间(为自然对数的底数,)内随机选取两个数,则这两个数之积小于的概率为.
15.已知在中,角,,的对边分别为,,,则下列四个论断中正确的是.(把你认为是正确论断的序号都写上)
①若,则;
②若,,,则满足条件的三角形共有两个;
③若,,成等差数列,,,成等比数列,则为正三角形;
④若,,的面积,则.
16.设椭圆的两个焦点是,,过点的直线与椭圆交于,两点,若,且,则椭圆的离心率为.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知数列的前项和满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前项和.
18.如图,在四棱柱中,底面是梯形,,侧面为菱形,.
(1)求证:
.
(2)若,,在平面内的射影恰为线段的中点,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
19.某保险公司针对企业职工推出一款意外保险产品,每年每人只要交少量保费,发生意外后可一次性获赔50万元.保险公司把职工从事的所有岗位共分为,,三类工种,根据历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表(并以此估计赔付概率).
(1)根据规定,该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的,试分别确定各类工种每份保单保费的上限;
(2)某企业共有职工20000人,从事三类工种的人数分布比例如图所示,老板准备为全体职工购买此种保险,并以
(1)中计算的各类保险上限购买,试估计保险公司在这宗交易中的期望利润.
20.如图,已知椭圆的离心率为,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点,为顶点的三角形的周长为.一双曲线的顶点是该椭圆的焦点,且双曲线的实轴长等于虚轴长,设为该双曲线上异于顶点的任意一点,直线和与椭圆的交点分别为,和,,且点在轴的同一侧.
(1)求椭圆和双曲线的标准方程;
(2)是否存在题设中的点,使得?
若存在,求出点的坐标;
若不存在,请说明理由.
21.已知函数,函数,.
(1)求函数的单调区间;
(2)若不等式在区间内恒成立,求实数的取值范围;
(3)若,求证不等式成立.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:
坐标系与参数方程
以平面直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点的直角坐标为,若直线的极坐标方程为,曲线的参数方程是,(为参数).
(1)求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程;
(2)设直线与曲线交于两点,求.
23.选修4-5:
不等式选讲
已知函数,.
(1)求不等式的解集;
(2)若,,使得不等式成立,求实数的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5:
CBABB6-10:
BBCBA11、12:
BD
二、填空题
13.14.15.①③16.
三、解答题
17.解:
(1)当时,,所以;
当时,,则,
即.又因为,所以数列是以1为首项,3为公比的等比数列,
所以.
(2)由
(1)得,所以,①
,②
②①,得,
18.
(1)证明:
如图,连接,,,设交于点,连接.
由,,,得,所以.
又是线段的中点,所以,又根据菱形的性质得,且,
所以平面,从而.
(2)解:
由题意知平面,又,即,所以,,两两垂直.以,,所在直线为轴建立空间直角坐标系,如图所示.
设,由,可知,,
所以,从而,,,.
所以.由,得,所以.
设平面的法向量为,
由,得,
令,则,,所以.
又平面的一个法向量为,
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
19.解:
(1)设工种的每份保单保费为元,保险公司每单的收益为随机变量元,则的分布列为
保险公司的期望收益为(元).
由题意得,解得(元).
设工种的每份保单保费为元,赔付金期望值为(元),
则保险公司的期望利润为元.由题意得,解得(元).
综上,工种的每份保单保费的上限分别为6.25元,12.5元,62.5元.
(2)购买类产品的份数为(份),
购买类产品的份数为(份),
企业支付的总保费为(元),
保险公司在这宗交易中的期望利润为(元).
20.解:
(1)由题意知,椭圆离心率,即,又,
所以,,所以,
所以椭圆的标准方程为.
所以椭圆的焦点坐标为,又双曲线为等轴双曲线,且顶点是该圆的焦点,
所以该双曲线的标准方程为.
(2)设,则,,
因为点在双曲线上,所以.
设,,直线的方程为,
所以直线的方程为,
联立,得,
所以,,
同理可得.
由题知,
即.
因为,
即,
又因为,所以,所以,.
即存在满足题意的点,且点的坐标为.
21.
(1)解:
函数的定义域为,
因为,,所以.
当时,在区间内恒成立,
所以函数的单调递增区间为,无单调递减区间;
当时,令,得,令,得,
所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为.
在区间内恒成立,
即在区间内恒成立.
设,则,
在区间内单调递增,所以.
当时,,在区间内为增函数,所以恒成立;
当时,,因为在区间内单调递增,所以,在区间内,有,所以在区间内单调递减,所以,这时不合题意.
综上所述,实数的取值范围为.
(3)证明:
要证明在区间内,,只需证明,
由
(2)知,当时,在区间内,有恒成立.
令,在区间内,,
所以函数在区间内单调递增,所以,即.
所以,所以原不等式成立.
22.解:
(1)由,得,
令,,得.
因为,消去得,
所以直线的直角坐标方程为,曲线的普通方程为.
(2)点的直角坐标为,点在直线上.
设直线的参数方程为,(为参数),代入,得.
设点对应的参数分别为,,则,,
23.解:
(1),即,此不等式等价于或或,解得或,所以的解集为或.
(2)因为,,使得成立,
所以.又,所以.
当,即时,,解得,所以;
当,即时,,解得或,
所以或.综上,实数的取值范围为.
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