届人教A版文科数学 空间向量及其应用 单元测试Word格式.docx
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(-1)=2,解得x=5.
4.(2017阳山县校级一模)已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量与的夹角为( ).
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
【解析】因为A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),所以=(0,3,3),=(-1,1,0),所以·
=0×
(-1)+3×
1+3×
0=3,并且||=3,||=,所以cos<
>
===,故与的夹角为60°
.
【答案】C
5.(2017荔湾区期末)如图,在空间四边形OABC中,=a,=b,=c,点M在线段OA上,且OM=2MA,N为BC的中点,则=( ).
A.-a+b+c
B.a-b+c
C.a+b-c
D.a+b-c
【解析】=++
=+-+
=-++-
=-++.
∵=a,=b,=c,
∴=-a+b+c.
6.(2017玉山县校级期中)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点.若=a,=b,=c,则下列向量中与相等的是( ).
A.-a+b+cB.a+b+c
C.a-b+cD.-a-b+c
【解析】∵在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点,=a,=b,=c,
∴=+
=+(+)
=(+)+
=a+b+c.
7.(2016朝阳期末)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1),则PA与底面ABCD的夹角是( ).
A.60°
B.90°
C.30°
D.45°
【解析】∵=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1),
∴·
=(-1)×
2+2×
(-1)+(-1)×
(-4)=0,同理可得·
=0,
∴⊥,⊥,
即AP⊥AB且AP⊥AD.
又∵AB∩AD=A,
∴AP与平面ABCD的夹角是90°
8.(2016西城区期末)在空间直角坐标系O-xy中,已知点A(1,0,2),B(0,2,1),点C,D分别在x轴,y轴上,且AD⊥BC,那么||的最小值是( ).
A.B.C.D.
【解析】设C(x,0,0),D(0,y,0),
∵A(1,0,2),B(0,2,1),
∴=(-1,y,-2),=(x,-2,-1).
∵AD⊥BC,
=-x-2y+2=0,
即x+2y=2.
∵=(-x,y,0),
∴||=
=
≥.
9.(2017济宁期末)已知向量a=(2,-3,1),b=(-4,2,x),且a⊥b,则x的值为( ).
A.12B.10C.-14D.14
【解析】因为向量a=(2,-3,1),b=(-4,2,x),且a⊥b,所以a·
b=-8-6+x=0,解得x=14.故选D.
【答案】D
10.(2017孝感期中)已知a=(2,t,t),b=(1-t,2t-1,0),则|b-a|的最小值是( ).
【解析】b-a=(-1-t,t-1,-t),∴|b-a|==≥,当且仅当t=0时取等号.∴|b-a|的最小值是.
11.(2017南通模拟)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,设AD=1,D1D=λ(λ>
0),若棱C1C上存在唯一的点P满足A1P⊥PB,求实数λ的值.
【解析】如图,以点D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,轴建立空间直角坐标系D-xy,
则D(0,0,0),B(1,1,0),A1(1,0,λ).
设P(0,1,x),其中x∈[0,λ,
因为A1P⊥PB,所以·
即(-1,1,x-λ)·
(-1,0,x)=0,
化简得x2-λx+1=0,x∈[0,λ,
由点P(0,1,x)的唯一性知方程x2-λx+1=0有唯一解,
所以判别式Δ=λ2-4=0,且λ>
0,
解得λ=2.
12.(2016安次区校级月考)如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,=a,=b,=c,E为A1D1的中点,F为BC1与B1C的交点.
(1)用基底{a,b,c}表示向量,,;
(2)在图中画出++化简后的向量.
【解析】
(1)=+=+-=a-b+c,
=++=-a+b+c,
=+=a+(b+c)=a+b+c.
(2)++=+(+)=+=+=.
连接DA1,则即为所求.
13.(2016利津县校级月考)已知向量a=(x,2,2),b=(2,y,-2),c=(3,1,),a∥b,b⊥c.
(1)求向量a,b,c;
(2)求向量(a+c)与(b+c)所成角的余弦值.
(1)向量a=(x,2,2),b=(2,y,-2),且a∥b,
∴x≠0,y≠0,
∴==,
解得x=-2,y=-2.
∴a=(-2,2,2),b=(2,-2,-2).
又∵c=(3,1,),b⊥c,
∴b·
c=0,
即6-2-2=0,
解得=2,
∴c=(3,1,2).
(2)由
(1)得a+c=(1,3,4),
b+c=(5,-1,0),
∴(a+c)·
(b+c)=1×
5+3×
(-1)+4×
0=2,
|a+c|==.
|b+c|==.
设a+c与b+c所成的角为θ,
∴cosθ===.
14.(2016隆化县校级期中)正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1,E,F,G,H分别是正四面体ABCD中四条棱的中点,设=a,=b,=c,试采用向量法解决下列问题.
(1)求的模长;
(2)求,的夹角.
(1)正四面体ABCD的棱长为1,E,F,G,H分别是正四面体ABCD中棱BC,AD,AB,CD的中点,
=a,=b,=c,
∴==(-)=(b-a),
==c,
∴=++=-(b-a)-a+c=(c-a-b),
=.
(2)正四面体ABCD中,=(c-a-b),||=,
同理,=(b+c-a),||=,
∴cos<
=[(c-a)2-b2
=(c2+a2-2c·
a-b2)
=×
(1+1-2×
1×
cos60°
-1)
∴与的夹角为90°
14.2 空间向量在立体几何中的应用
一
空间中平行、垂直的向量表示
设直线l,m的方向向量分别为a,b,平面α,β的法向量分别为u,v,则有以下结论:
1.线线平行:
l∥m⇔a∥b⇔a=kb,k∈R.
线面平行:
.
面面平行:
α∥β⇔u∥v⇔u=kv,k∈R.
2.线线垂直:
l⊥m⇔a⊥b⇔a·
b=0.
线面垂直:
面面垂直:
二
空间角
1.异面直线l,m的方向向量分别为a,b,则l与m所成的角θ满足cosθ=.
2.设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为a和u,则直线l与平面α所成的角θ满足sinθ= .
3.二面角:
平面α,β的夹角为θ(0≤θ≤π),α和β的法向量分别为u和v,当θ为锐角时,cosθ=;
当θ为钝角时,cosθ= .
三
点面距离
点A在平面α内,点B在平面α外,n为平面α的法向量,则点B到平面α的距离为d= .
☞左右考
1两个不重合平面的法向量分别为v1=(1,0,-1),v2=(-2,0,2),则这两个平面的位置关系是( ).
A.平行
B.相交但不垂直
C.垂直
D.以上都不对
2已知两个平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则这两个平面所成的夹角为 .
3已知A(2,0,2),平面α的一个法向量为n=(1,1,-1),A1(0,0,2)是平面α上一点,则点A到平面α的距离为( ).
A.B.
C.D.
4平面α的一个法向量为n=(1,-,0),则y轴与平面α所成的角的大小为( ).
知识清单
一、1.l∥α⇒a⊥u⇔a·
u=0
2.l⊥α⇔a∥u⇔a=ku,k∈R α⊥β⇔u⊥v⇔u·
v=0
二、2. 3.-
三、
基础训练
1.【解析】因为v1与v2共线,所以两个平面平行.
2.【解析】因为cos<
m,n>
==,所以两个平面所成的夹角为.
【答案】
3.【解析】因为A(2,0,2),A1(0,0,2),平面α的法向量n=(1,1,-1),所以由点到面的距离公式得d===.所以点A到平面α的距离为.故选D.
4.【解析】y轴的方向向量为m=(0,1,0),设y轴与平面α所成的角为θ,则sinθ=|cos<
|,∵cos<
===-,∴sinθ=,∴θ=.
题型一
利用空间向量证明平行或垂直
【例1】如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4.
(1)求证:
AC⊥BC1.
(2)在AB上是否存在点D,使得AC1∥平面CDB1?
若存在,确定D点位置;
若不存在,说明理由.
(本题请用向量法解答)
(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,可知AC,BC,CC1两两垂直,以C为坐标原点,直线CA,CB,CC1分别为x轴,y轴,轴建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4).
∵=(-3,0,0),=(0,-4,4),∴·
=0,即⊥,
∴AC⊥BC1.
(2)假设在AB上存在点D,使得AC1∥平面CDB1,则=λ=(-3λ,4λ,0),其中0≤λ≤1,则D(3-3λ,4λ,0),=(3-3λ,4λ-4,-4),
又=(0,-4,-4),=(-3,0,4),AC1∥平面CDB1,∴存在实数m,n,使=m+n成立,
∴m(3-3λ)=-3,m(4λ-4)-4n=0,-4m-4n=4,
∴λ=,∴在AB上存在点D,使得AC1∥平面CDB1,且D为AB的中点.
利用空间向量证明线
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