高三数学总复习导数及其应用Word文档下载推荐.docx
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f′
(1),则f′(0)=________.
8.若曲线f(x)=ax3+lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a取值范围是.
三、解答题
9.如右图所示,已知A为抛物线C:
y=2x2上的点,直
线l1过点A,且与抛物线C相切,直线l2:
x=a交抛
物线C于点B,交直线l1于点D.
(1)求直线l1的方程;
(2)求△ABD的面积S1.
10.已知函数f=x++b,其中a,b∈R.
(1)若曲线y=f在点P处的切线方程为y=3x+1,求函数f的解析式;
(2)讨论函数f的单调性;
(3)若对于任意的a∈,不等式f≤10在上恒成立,求b的取值范围.
参考答案
1.C
2.解析:
本小题主要考查利用导数的几何意义求切线斜率问题.依题设切点P的横坐标为
x0,且y′=2x0+2=tanα(α为点P处切线的倾斜角),又∵α∈,
∴0≤2x0+2≤1,∴x0∈.答案:
A
3.C
4.解析:
y′=(ex)′=ex,曲线在点(2,e2)处的切线斜率为e2,因此切线方程为y-e2=
e2(x-2),则切线与坐标轴交点为A(1,0),B(0,-e2),所以:
S△AOB=×
1×
e2=.
答案:
D
5.解析:
设过(1,0)的直线与y=x3相切于点(x0,),所以切线方程为y-=3x(x-
x0)即y=3xx-2,又(1,0)在切线上,则x0=0或x0=,当x0=0时,由y=0与y
=ax2+x-9相切可得a=-,当x0=时,由y=x-与y=ax2+x-9相切可
得a=-1.答案:
6.解析:
V球=πR3,又(πR3)′=4πR2,故②式可填(πR3)′=4πR2,用语言叙述为“球
的体积函数的导数等于球的表面积函数.”
(πR3)′=4πR2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数
7.-4
8.解析:
由题意可知f′(x)=2ax2+,
又因为存在垂直于y轴的切线,
所以2ax2+=0⇒a=(x>0)⇒a∈(-∞,0).
(-∞,0)
9.解析:
(1)由条件知点A为直线l1与抛物线C的切点,
∵y′=4x,∴直线l1的斜率k=-4,
即直线l1的方程为y-2=-4(x+1), 即4x+y+2=0.
(2)点A的坐标为(-1,2),
由条件可求得点B的坐标为(a,2a2),
点D的坐标为(a,-4a-2),∴△ABD的面积S1为
S1=×
|2a2-(-4a-2)|×
|-1-a|
=|(a+1)3|=-(a+1)3.
10.解析:
(1)f′(x)=,由导数的几何意义得f′
(2)=3,于是a=-8.
由切点P(2,f
(2))在直线y=3x+1上可得-2+b=7,
解得b=9.所以函数f(x)的解析式为f(x)=x-+9.
(2)f′(x)=.
当a≤0时,显然f′(x)>
0(x≠0).这时f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上是增函数.
当a>
0时,令f′(x)=0,解得x=±
.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,-)
-
(-,0)
(0,)
(,+∞)
f′(x)
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
所以f(x)在(-∞,-),(,+∞)内是增函数,
在(-,0),(0,)内是减函数.
(3)由
(2)知,f(x)在上的最大值为与f
(1)的较大者,
对于任意的a∈,不等式f(x)≤10在上恒成立,
当且仅当,即,对任意的a∈成立.
从而得b≤,所以满足条件的b的取值范围是.
第二节导数在研究函数中的应用
1.设f、g是R上的可导函数,f′、g′分别为f、g的
导函数,且f′g+fg′<
0,则当a<
x<
b时,有( )
A.fg>
fgB.fg>
fg
C.fg>
fgD.fg>
4.设f′(x)是函数f(x)的导函数,将y=f(x)和y=f′(x)的图象画在同一个直角坐标系
中,不可能正确的是( )
5.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的导数为f′(x),f′(0)>
0,对于任意实数x都有f(x)
≥0,则的最小值为( )
A.3 B. C.2 D.
4.已知函数f(x)的定义域为[-2,4],且f(4)=f(-2)=1,f′(x)为f(x)的导函数,函数y=f′(x)的图象如下图所示.则平面区域所围成的面积是( )
A.2B.4C.5D.8
5.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(-∞,0)时不等式f(x)+xf′(x)<0成立,若a=30.3f(30.3),b=(logπ3)f(logπ3),c=,则a,b,c的大小关系是( )
A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.a>c>b
6.函数f(x)=x2-2lnx的单调减区间是________.
7.若f(x)=-x2+bln(x+2)在(-1,+∞)上是减函数,则b的取值范围是________.
8.有一个长度为5m的梯子贴靠在笔直的墙上,假设其下端沿地板以3m/s的速度离开墙
脚滑动,求当其下端离开墙脚1.4m时,梯子上端下滑的速度为________.
9.已知函数f(x)=x2+lnx-1.
(1)求函数f(x)在区间[1,e](e为自然对数的底)上的最大值和最小值;
(2)求证:
在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象在函数g(x)=x3的图象的下方.
(3)(理)求证:
[f′(x)]n-f′(xn)≥2n-2(n∈N*).
10.已知a为实数,f(x)=(x2-4)(x-a).
(1)若f′(-1)=0,求f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值;
(2)若f(x)在(-∞,-2]和[2,+∞)上都是递增的,求a的取值范围.
1.C 2.D
3.解析:
f′(x)=2ax+b,f′(0)=b>
0对于任意实数x都有f(x)≥0得a>
0,b2-4ac≤0,
∴b2≤4ac,
∴c>
0,==+1≥+1≥1+1=2,当取a=c时取等号.
C
4.B 5.C
首先考虑定义域(0,+∞),由f′(x)=2x-=≤0及x>
0知0<
x≤1.
(0,1]
7.解析:
由题意可知f′(x)=-x+<
0在x∈(-1,+∞)上恒成立,即b<
x(x+2)在
x∈(-1,+∞)上恒成立,由于x≠-1,所以b≤-1.答案:
(-∞,-1]
设经时间t秒梯子上端下滑s米,则s=,
当下端移开1.4m时,t0==,
又s′=-(25-9t2)-·
(-9·
2t)=,
所以s′(t0)=9×
·
=0.875(m/s).
0.875(m/s)
(1)∵f′(x)=x+,
当x∈[1,e]时,f′(x)>
0.∴函数f(x)在[1,e]上为增函数,
∴f(x)max=f(e)=e2,f(x)min=f
(1)=-.
(2)证明:
令F(x)=f(x)-g(x)=x2+lnx-1-x3
则F′(x)=x+-2x2==.
∵当x>
1时F′(x)<
0,∴函数F(x)在区间(1,+∞)上为减函数,
∴F(x)<
F
(1)=-1-<
0,
即在(1,+∞)上,f(x)<
g(x).
∴在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象在函数g(x)=x3的图象的下方.
(3)(理)证明:
∵f′(x)=x+,
当n=1时,不等式显然成立;
当n≥2时,
∵[f′(x)]n-f′(xn)=
=Cxn-2+Cxn-3+…+C,①
[f′(x)]n-f′(xn)=C+C+…+Cxn-2,②
①+②得[f′(x)]n-f′(xn)=≥
(当且仅当x=1时“=”成立).
∴当n≥2时,不等式成立.
综上所述得[f′(x)]n-f′(xn)≥2n-2(n∈N+).
(1)由原式得f(x)=x3-ax2-4x+4a,
∴f′(x)=3x2-2ax-4.
由f′(-1)=0得a=,
此时有f(x)=(x2-4),f′(x)=3x2-x-4.
由f′(x)=0得x=或x=-1,
当x在[-2,2]变化时,f′(x),f(x)的变化如下表:
(-2,-1)
-1
递增
递减
极小值-
∵f(x)极小==-,f(x)极大=f(-1)=,
又f(-2)=0,f
(2)=0,
所以f(x)在[-2,2]上的最大值为,最小值为-.
(2)法一:
f′(x)=3x2-2ax-4的图象为开口向上且过点(0,-4)的抛物线,
由条件得f′(-2)≥0,f′
(2)≥0,
即,∴-2≤a≤2.
所以a的取值范围为[-2,2].
法二:
令f′(x)=0即3x2-2ax-4=0,由求根公式得:
x1,2=(x1<
x2),
所以f′(x)=3x2-2ax-4在(-∞,x1)和(x2,+∞)上非负.
由题意可知,当x≤-2或x≥2时,f′(x)≥0,
从而x1≥-2,x2≤2,
即,解不等式组得:
-2≤a≤2.
即a的取值范围是[-2,2].
第三节定积分的概念,微积分基本定理及简单应用
1.曲线y=sinx(-π≤x≤2π)与x轴所围成的封闭区域的面积为( )
A.0 B.2 C.-2 D.6
解析:
三块区域的面积都是2,故总面积为6.
答案:
2.设f(x)的曲线是[a,b]上的连续曲线,n等分[a,b],在每个小区间上任取ξi,则f(x)dx是( )
A.(ξi) B.f(ξi)
C.if(ξi)D.(ξi-ξi-1)f(ξi)
由积分的定义易知.
B
3.下列式子中,正确的是( )
A.f(x)dx=f
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