学习实践XX年八年级数学上第十五章分式教案人教版.docx
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学习实践XX年八年级数学上第十五章分式教案人教版
XX年八年级数学上第十五章分式教案(人教版)
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第十五章 分式
5.1 分 式
5.1.1 从分数到分式
.以描述实际问题中的数量关系为背景抽象出分式的概念,建立数学模型,并理解分式的概念.
2.能够通过分式的定义理解和掌握分式有意义的条件.
重点
理解分式有意义的条件及分式的值为零的条件.
难点
能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件.
一、复习引入
.什么是整式?
什么是单项式?
什么是多项式?
2.判断下列各式中,哪些是整式?
哪些不是整式?
①8m+n3;②1+x+y2;③a2b+ab23;④a+b2;⑤2x2+2x+1;⑥3a2+b2;⑦3x2-42x.
二、探究新知
.分式的定义
学生看教材的问题:
一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间,与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等,江水的流速为多少?
分析:
设江水的流速为v千米/时.
轮船顺流航行90千米所用的时间为9030+v小时,逆流航行60千米所用时间为6030-v小时,所以9030+v=6030-v.
学生完成教材第127页“思考”中的题.
观察:
以上的式子9030+v,6030-v,Sa,Vs,有什么共同点?
它们与分数有什么相同点和不同点?
可以发现,这些式子都像分数一样都是AB的形式.分数的分子A与分母B都是整数,而这些式子中的A,B都是整式,并且B中都含有字母.
归纳:
一般地,如果A,B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子AB叫做分式.
巩固练习:
教材第129页练习第2题.
2.自学教材第128页思考:
要使分式有意义,分式中的分母应满足什么条件?
分式的分母表示除数,由于除数不能为0,所以分式的分母不能为0,即当B≠0时,分式AB才有意义.
学生自学例1.
例1 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义?
23x;xx-1;15-3b;x+yx-y.
解:
要使分式23x有意义,则分母3x≠0,即x≠0;
要使分式xx-1有意义,则分母x-1≠0,即x≠1;
要使分式15-3b有意义,则分母5-3b≠0,即b≠53;
要使分式x+yx-y有意义,则分母x-y≠0,即x≠y.
思考:
如果题目为:
当x为何值时,分式无意义.你知道怎么解题吗?
巩固练习:
教材第129页练习第3题.
3.补充例题:
当m为何值时,分式的值为0?
mm-1;m-2m+3;m2-1m+1.
思考:
当分式为0时,分式的分子、分母各满足什么条件?
分析:
分式的值为0时,必须同时满足两个条件:
分母不能为零;分子为零.
答案:
m=0;m=2;m=1.
三、归纳总结
.分式的概念.
2.分式的分母不为0时,分式有意义;分式的分母为0时,分式无意义.
3.分式的值为零的条件:
分母不能为零;分子为零.
四、布置作业
教材第133页习题15.1第2,3题.
在引入分式这个概念之前先复习分数的概念,通过类比来自主探究分式的概念,分式有意义的条件,分式值为零的条件,从而更好更快地掌握这些知识点,同时也培养学生利用类比转化的数学思想方法解决问题的能力.
5.1.2 分式的基本性质
第1课时 分式的基本性质
.了解分式的基本性质,灵活运用分式的基本性质进行分式的变形.
2.会用分式的基本性质求分式变形中的符号法则.
重点
理解并掌握分式的基本性质.
难点
灵活运用分式的基本性质进行分式变形.
一、类比引新
.计算:
56×215;45÷815.
思考:
在运算过程中运用了什么性质?
教师出示问题.学生独立计算后回答:
运用了分数的基本性质.
2.你能说出分数的基本性质吗?
分数的分子与分母都乘同一个不为零的数,分数的值不变.
3.尝试用字母表示分数的基本性质:
小组讨论交流如何用字母表示分数的基本性质,然后写出分数的基本性质的字母表达式.
ab=a•cb•c,ab=a÷cb÷c.
二、探究新知
.分式与分数也有类似的性质,你能说出分式的基本性质吗?
分式的基本性质:
分式的分子与分母乘同一个不为零的整式,分式的值不变.
你能用式子表示这个性质吗?
AB=A•cB•c,AB=A÷cB÷c.
如x2x=12,ba=aba2,你还能举几个例子吗?
回顾分数的基本性质,让学生类比写出分式的基本性质,这是从具体到抽象的过程.
学生尝试着用式子表示分式的性质,加强对学生的抽象表达能力的培养.
2.想一想
下列等式成立吗?
为什么?
-a-b=ab;-ab=a-b=-ab.
教师出示问题.学生小组讨论、交流、总结.
例1 不改变分式的值,使下列分式的分子与分母都不含“-”号:
-2a-3a;-3x2y;--x2y.
例2 不改变分式的值,使下列分式的分子与分母的最高次项的系数都化为正数:
x+1-2x-1;2-x-x2+3;-x-1x+1.
引导学生在完成习题的基础上进行归纳,使学生掌握分式的变号法则.
例3 填空:
x3xy=( )y,3x2+3xy6x2=x+y( );
1ab=( )a2b,2a-ba2=( )a2b.
解:
因为x3xy的分母xy除以x才能化为y,为保证分式的值不变,根据分式的基本性质,分子也需除以x,即
x3xy=x3÷xxy÷x=x2y.
同样地,因为3x2+3xy6x2的分子3x2+3xy除以3x才能化为x+y,所以分母也需除以3x,即
3x2+3xy6x2=(3x2+3xy)÷(3x)6x2÷(3x)=x+y2x.
所以,括号中应分别填入x2和2x.
因为1ab的分母ab乘a才能化为a2b,为保证分式的值不变,根据分式的基本性质,分子也需乘a,即
ab=1•aab•a=aa2b.
同样地,因为2a-ba2的分母a2乘b才能化为a2b,所以分子也需乘b,即
2a-ba2=(2a-b)•ba2•b=2ab-b2a2b.
所以,括号中应分别填a和2ab-b2.
在解决例题1,2的第小题时,教师可以引导学生观察等式两边的分母发生的变化,再思考分式的分子如何变化;在解决例2的第小题时,教师引导学生观察等式两边的分子发生的变化,再思考分式的分母随之应该如何变化.
三、课堂小结
.分式的基本性质是什么?
2.分式的变号法则是什么?
3.如何利用分式的基本性质进行分式的变形?
学生在教师的引导下整理知识、理顺思维.
四、布置作业
教材第133页习题15.1第4,5题.
通过算数中分数的基本性质,用类比的方法给出分式的基本性质,学生接受起来并不感到困难,但要重点强调分子分母同乘的整式不能为零,让学生养成严谨的态度和习惯.
第2课时 分式的约分、通分
.类比分数的约分、通分,理解分式约分、通分的意义,理解最简公分母的概念.
2.类比分数的约分、通分,掌握分式约分、通分的方法与步骤.
重点
运用分式的基本性质正确地进行分式的约分与通分.
难点
通分时最简分分母的确定;运用通分法则将分式进行变形.
一、类比引新
.在计算56×215时,我们采用了“约分”的方法,分数的约分约去的是什么?
分式a2+aba2b,a+bab相等吗?
为什么?
利用分式的基本性质,分式a2+aba2b约去分子与分母的公因式a,并不改变分式的值,可以得到a+bab.
教师点拨:
分式a2+aba2b可以化为a+bab,我们把这样的分式变形叫做__分式的约分__.
2.怎样计算45+67?
怎样把45,67通分?
类似的,你能把分式ab,cd变成同分母的分式吗?
利用分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,我们把这样的分式变形叫做__分式的通分__.
二、探究新知
.约分:
-25a2bc315ab2c;x2-9x2+6x+9;
6x2-12xy+6y23x-3y.
分析:
为约分,要先找出分子和分母的公因式.
解:
-25a2bc315ab2c=-5abc•5ac25abc•3b=-5ac23b;
x2-9x2+6x+9=(x+3)(x-3)(x+3)2=x-3x+3;
6x2-12xy+6y23x-3y=6(x-y)23(x-y)=2.
若分子和分母都是多项式,则往往需要把分子、分母分解因式,然后才能进行约分.约分后,分子与分母没有公因式,我们把这样的分式称为__最简分式__.
2.练习:
约分:
2ax2y3axy2;-2a(a+b)3b(a+b);(a-x)2(x-a)3;x2-4xy+2y;m2-3m9-m2;992-198.
学生先独立完成,再小组交流,集体订正.
3.讨论:
分式12x3y2z,14x2y3,16xy4的最简公分母是什么?
提出最简公分母概念.
一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母,它叫做最简公分母.
学生讨论、小组交流、总结得出求最简公分母的步骤:
系数取各分式的分母中系数最小公倍数;
各分式的分母中所有字母或因式都要取到;
相同字母的幂取指数最大的;
所得的系数的最小公倍数与各字母的最高次幂的积即为最简公分母.
4.通分:
32a2b与a-bab2c;2xx-5与3xx+5.
分析:
为通分,要先确定各分式的公分母.
解:
最简公分母是2a2b2c.
32a2b=3•bc2a2b•bc=3bc2a2b2c,
a-bab2c=(a-b)•2aab2c•2a=2a2-2ab2a2b2c.
最简公分母是.
2xx-5=2x(x+5)(x-5)(x+5)=2x2+10xx2-25,
3xx+5=3x(x-5)(x+5)(x-5)=3x2-15xx2-25.
5.练习:
通分:
13x2与512xy;1x2+x与1x2-x;1(2-x)2与xx2-4.
教师引导:
通分的关键是先确定最简公分母;如果分式的分母是多项式则应先将分母分解因式,再按上述的方法确定分式的最简公分母.
学生板演并互批及时纠错.
6.思考:
分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点?
这些做法的根据是什么?
教师让学生讨论、交流,师生共同作以小结.
三、课堂小结
1.什么是分式的约分?
怎样进行分式的约分?
什么是最简分式?
2.什么是分式的通分?
怎样进行分式的通分?
什么是最简公分母?
3.本节课你还有哪些疑惑?
四、布置作业
教材第133页习题15.1第6,7题.
本节课是在学习了分式的基本性质后学的,重点是运用分式的基本性质正确的约分和通分,约分时要注意一定要约成最简分式,熟练运用因式分解;通分时要将分式变形后再确定最简公分母.
15.2 分式的运算
5.2.1 分式的乘除
第1课时 分式的乘除法
.理解并掌握分式的乘除法则.
2.运用法则进行运算,能解决一些与分式有关的实际问题.
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