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(3)
7.求下列已知曲线所围成的图形,按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积:
(1)
(3)
(4)xy=1和y=4x、x=2、y=0,绕。
(5)摆线
8.由y=x3,x=2,y=0所围成的图形,分别绕x轴及y轴旋转,计算所得两个旋转体的体积.
.
9.把星形线所围成的图形,绕x轴旋转,计算所得旋转体的体积.
10.
(1)证明由平面图形0≤a≤x≤b,0≤y≤f(x)绕y轴旋转所成的旋转体的体积为
.证明略。
(2)利用题
(1)结论,计算曲线y=sinx(0≤x≤π)和x轴所围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积.
11.计算底面是半径为R的圆,而垂直于底面上一条固定
直径的所有截面都是等边三角形的立体体积..
12.计算曲线上相应于的一段弧的弧长。
13.计算曲线上相应于的一段弧的弧长。
14.求星型线的全长。
6a
15.求曲线的周长。
8a
第三节定积分的应用
第四节
1.由实验知道,弹簧在拉伸过程中,需要的力F(单位:
N)与伸长量s(单位:
cm)成正比,即F=ks(k为比例常数).如果把弹簧由原长拉伸6cm,计算所作的功.18k(牛⋅厘米)
解将弹簧一端固定于A,另一端在自由长度时的点O为坐标原点,建立坐标系.功元素为dW=ksds,所求功为
k(牛⋅厘米).
2.直径为20cm、高80cm的圆柱体内充满压强为10N/cm2的蒸汽.设温度保持不变,要使蒸汽体积缩小一半,问需要作多少功?
(J).
解由玻-马定律知:
.
设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变,高度减小x厘米时压强为P(x)牛/厘米2,则
.
功元素为,
所求功为
(J).
3.设地球的质量为M,半径为R,现要将一个质量为m的物体从地球表面升高到h处,问需要做多少功(设引力系数为G)?
4.半径为R的圆柱体沿固定水平面做纯滚动,试分别求圆心C沿其轨迹移动的距离S时,作用于其上的静滑动摩擦力和滚动摩阻力偶的功
解圆柱体做平面运动,由运动学知,点B为圆柱体的速度瞬心,由式(11-16)知圆柱体沿固定面做纯滚动时,静滑动摩擦力的功为零。
滚动摩阻力偶的功可利用滚动摩阻力偶矩M=
来计算所以它的元功为
=-
如及R均为常量,滚动一段路程S后滚动摩阻力偶的功为
W=-=-
可见滚动摩阻力偶的功为负功,且其绝对值与圆柱半径成反比
5.设一锥形贮水池,深15m,口径20m,盛满水,今以唧筒将水吸尽,问要作多少功?
解在水深x处,水平截面半径为,功元素为
=1875(吨米)=57785.7(kJ).
6.有一闸门,它的形状和尺寸如图,水面超过门顶2m.求闸门上所受的水压力.205.8(kN).
解建立x轴,方向向下,原点在水面.
水压力元素为
闸门上所受的水压力为
(吨)=205.8(kN).
7.洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体,尺寸如图所示.当水箱装满水时,计算水箱的一个端面所受的压力.17.3(kN).
解建立坐标系如图,则椭圆的方程为
压力元素为
所求压力为
(吨)=17.3(kN).
(提示:
积分中所作的变换为)
8.有一等腰梯形闸门,它的两条底边各长10m和6m,高为20m.较长的底边与水面相齐.计算闸门的一侧所受的水压力.14388(千牛)
解建立坐标系如图.直线AB的方程为
(吨)=14388(千牛).
9.一底为8cm、高为6cm的等腰三角形片,铅直地沉没在水中,顶在上,底在下且与水面平行,而顶离水面3cm,试求它每面所受的压力.
解建立坐标系如图.
腰AC的方程为,压力元素为
(克)=1.65(牛).
10.设有一长度为l、线密度为μ的均匀细直棒,在与棒的一端垂直距离为a单位处有一质量为m的质点M,试求这细棒对质点M的引力.
解建立坐标系如图.在细直棒上取一小段dy,引力元素为
dF在x轴方向和y轴方向上的分力分别为
.
总复习题六
1.填空题:
(1)曲线与直线围成所界区域的面积为
(2)曲线与直线所界区域的面积为18
(3)曲线上相应于的一段弧长为4
(4)圆盘绕x=-b(b>
a>
0)旋转所成旋转体的体积.
(5)一圆盘的半径为,而密度为,其中为圆盘上一点到圆心的距离,则其质量M
(6)半径为的球沉入水中,它与水面相切,密度与水相同,若将球从水中取出,则做的功。
2.求抛物线与轴所围成图形的面积。
3.求抛物线与所围成图形的面积。
4.求圆的面积、圆周长。
5.求双纽线的面积。
6.求心脏线绕极轴旋转所成旋转体体积。
7.求摆线与轴围成图形的面积,弧长,绕轴旋转体体积。
8.求悬链线下的曲边梯形的面积,弧长,绕轴旋转体体积。
9.抛物线绕轴旋转所得旋转抛物面的体积。
10.证明曲线的一个周期的弧长等于椭圆的周长。
11.求椭球体的体积。
12.设有一半径为,长度为的圆柱体平放在深度为的水池中(圆柱体的侧面与水面相切)。
设圆柱体的比重为,现将圆柱体从水中移出水面,问需做多少功?
13.一块高为,底为的等腰三角形薄板,垂直地沉没在水中,顶在下,底与水面相齐,试计算薄板每面所受的压力。
14.用铁锤将一铁钉击入木板,设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比,在铁锤击第一次时能将铁钉击入木板内,如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等,问铁锤击第二次时,能将铁钉又击入多少?
答案:
2.解:
令得。
故抛物线与轴交点为及,所求图形为轴上半部分。
。
3.解:
两条抛物线交点为。
则。
4.解:
由对称性,只需考虑第一象限,
;
故圆面积为。
由圆的参数方程,求周长只需考虑第一象限,
圆周长。
5.解:
。
6.解:
7.解:
8.解:
9.解:
10.证:
曲线的一个周期的弧长为
对于椭圆,由于其参数方程为
故
;
可见。
11.解:
用垂直于轴的平面截椭球,交轴于,所得截面为椭圆
即
于是此椭圆的面积为,
从而椭球体的体积为。
12.解:
建立如图所示坐标系,把平放的圆柱
体从水中移出,相当把每一个水平薄板提高,
所做的功包括将薄板提升到水面提升力所做的功
答:
如蚂蚁、蝗虫、蚕蛾、蚜虫、蟋蟀、蝉、蝴蝶、蜜蜂、七星瓢虫等。
2、物质变化有快有慢,有些变化只改变了物质的形态、形状、大小,没有产生新的不同于原来的物质,我们把这类变化称为物理变化;
有些变化产生了新的物质,我们把有新物质生成的变化称为化学变化。
R+y
及从水面提高到高度提升力所做的功之和;
水下部分提升力,
所以
水上部分提升力,
6、化学变化伴随的现象有改变颜色、发光发热、产生气体、产生沉淀物。
故,
4、如何借助大熊座找到北极星?
(P58)因此。
13.解:
如图所示,取水平面上的底为轴,则直线的方程为
5、月球在圆缺变化过程中出现的各种形状叫作月相。
月相变化是由于月球公转而发生的。
它其实是人们从地球上看到的月球被太阳照亮的部分。
所以x
,
7、食盐、白糖、碱面、味精的颗粒都是有规则几何外形的固体,人们把这样的固体物质叫做晶体。
自然界中的大部分固体物质都是晶体或由晶体组成。
故此三角形板每面所受压力为
y
14.解:
设击入深度为,则,击第一次时所做的功为
,
设在第二次锤击时,铁钉击入木板内总深度H,则第二次锤击所做的功为,
一、填空:
由于所以
第二次击入的深度为。
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