高考数学总复习 95 线面面面垂直的判定与性质但因为测试 新人教B版Word下载.docx
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(理)(2011·
青岛模拟)设两个平面α,β,直线l,下列三个条件:
①l⊥α;
②l∥β;
③α⊥β.若以其中两个作为前提,另一个作为结论,则可构成三个命题,这三个命题中正确命题的个数为( )
A.3 B.2
C.1 D.0
[解析] ⇒α⊥β;
l∥β,此时可能l⊂β,l⊥α,此时l与α还可能平行、斜交,故选C.
3.(文)(2011·
东莞模拟)若l为一条直线,α、β、γ为三个互不重合的平面,给出下面三个命题:
①α⊥γ,β⊥γ⇒α⊥β;
②α⊥γ,β∥γ⇒α⊥β;
③l∥α,l⊥β⇒α⊥β.
其中的真命题有( )
A.0个B.1个
C.2个D.3个
[解析] ①中α与β可能平行,故①错,②③正确.
北京市朝阳区模拟)设α,β,γ是三个不重合的平面,l是直线,给出下列命题
①若α⊥β,β⊥γ,则α⊥γ;
②若l上两点到α的距离相等,则l∥α;
③若l⊥α,l∥β,则α⊥β;
④若α∥β,l⊄β,且l∥α,则l∥β.
其中正确的命题是( )
A.①②B.②③
C.②④D.③④
[解析] 对于①:
若α⊥β,β⊥γ,则可能α⊥γ,也可能α∥γ.对于②:
若l上两点到α的距离相等,则l∥α,显然错误.当l⊥α,l∩α=A时,l上到A距离相等的两点到α的距离相等.③④显然正确.
4.(2011·
安徽省皖南八校联考)设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是( )
A.若l⊥m,m⊂α,则l⊥α
B.若l⊥α,m⊂α,则l⊥m
C.若l∥α,l∥m,则m∥α
D.若l∥α,m∥α,则l∥m
[答案] B
[解析] 直线垂直于平面中两条相交直线,才能垂直于平面,故A错;
C中m可能包含在平面α中;
D中两条直线可能平行、相交或异面.
5.(2011·
广东省深圳市高三调研)如下图,在立体图形D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列结论正确的是( )
A.平面ABC⊥平面ABD
B.平面ABD⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDE
D.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE
[解析] 要判断两个平面的垂直关系,就需找一个平面内的一条直线与另一个平面垂直.因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC,同理有DE⊥AC,于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内,所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE.所以选C.
6.(文)(2011·
济宁三模)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=2,AA1=1,则点A到平面A1BC的距离为( )
A.B.
C.D.
[解析] 解法1:
取BC中点E,连接AE、A1E,过点A作AF⊥A1E,垂足为F.
∵A1A⊥平面ABC,∴A1A⊥BC,
∵AB=AC.∴AE⊥BC.
∴BC⊥平面AEA1.
∴BC⊥AF,又AF⊥A1E,
∴AF⊥平面A1BC.
∴AF的长即为所求点A到平面A1BC的距离.
∵AA1=1,AE=,∴AF=.
解法2:
VA1-ABC=S△ABC·
AA1=×
×
1=.
又∵A1B=A1C=,
在△A1BE中,A1E==2.
∴S△A1BC=×
2×
2=2.
∴VA-A1BC=×
S△A1BC·
h=h.
∴h=,∴h=.∴点A到平面A1BC距离为.
海淀检测)若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1,AB1与底面ABCD成60°
角,则A1C1到底面ABCD的距离为( )
A.B.1
[解析] 依题可知∠B1AB=60°
,平面A1B1C1D1∥平面ABCD,A1C1⊂平面A1B1C1D1,
∴B1B即为所求距离,在△ABB1中得,
B1B=.故选D.
7.(文)(2011·
扬州模拟)已知直线l,m,n,平面α,m⊂α,n⊂α,则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的________条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一)
[答案] 充分不必要
[解析] 若l⊥α,则l垂直于平面α内的任意直线,故l⊥m且l⊥n,但若l⊥m且l⊥n,不能得出l⊥α.
揭阳模拟)设x、y、z是空间不同的直线或平面,对下列四种情形:
①x、y、z均为直线;
②x、y是直线,z是平面;
③z是直线,x、y是平面;
④x、y、z均为平面,其中使“x⊥z且y⊥z⇒x∥y”为真命题的序号是________.
[答案] ②③
[解析] 当x、y为直线,z为平面时,有x⊥z,y⊥z⇒x∥y;
当x、y为平面,z为直线时,有x⊥z,y⊥z⇒x∥y,故②③正确.
[点评] 由正方体交于同一个顶点的三条棱和三个面知①④均使命题为假命题.
8.(2011·
苏州模拟)已知m,n是两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,下列四个命题:
①若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β;
②若m∥α,n∥β,m⊥n,则α∥β;
③若m⊥α,n∥β,m⊥n,则α∥β;
④若m⊥α,n⊥β,α⊥β,则m⊥n.
其中正确的命题是(填上所有正确命题的序号)________.
[答案] ①④
⇒α⊥β;
②如下图,m为B1C1,n为A1B1,α为平面ADD1A1,β为平面ABCD,满足②的条件,故②错;
③在上图中,将A1B1、B1C1改为m、n,满足m⊥α,n⊥β,m⊥n,故③错;
⇒m⊥n.
9.如下图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足________时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
[答案] DM⊥PC
[解析] ∵ABCD为正方形,∴BD⊥AC,
∵PA⊥平面ABCD,∴BD⊥PA,
∵PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC,∴BD⊥PC,
故当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,有PC⊥平面MBD,
从而有平面PCD⊥平面MBD.
10.(文)(2010·
山东临沂)在直平行六面体AC1中,四边形ABCD是菱形,∠DAB=60°
,AC∩BD=O,AB=AA1.
(1)求证:
C1O∥平面AB1D1;
(2)求证:
平面AB1D1⊥平面ACC1A1.
[证明]
(1)连接A1C1交B1D1于O1,连接AO1.
在平行四边形AA1C1C中,C1O1∥AO,C1O1=AO,
∴四边形AOC1O1为平行四边形,∴C1O∥AO1.
∵C1O⊄平面AB1D1,AO1⊂平面AB1D1,
∴C1O∥平面AB1D1.
(2)在直平行六面体AC1中,
A1A⊥平面A1B1C1D1,∴A1A⊥B1D1.
∵四边形A1B1C1D1为菱形,∴B1D1⊥A1C1.
∵A1C1∩AA1=A1,A1C1⊂平面ACC1A1,AA1⊂平面ACC1A1,∴B1D1⊥平面ACC1A1.
∵B1D1⊂平面AB1D1,∴平面AB1D1⊥平面ACC1A1.
广东省广州市调研)如下图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等边三角形,已知BD=2AD=4,AB=2DC=2.
BD⊥平面PAD;
(2)求三棱锥A-PCD的体积.
[解析]
(1)证明:
在△ABD中,由于AD=2,BD=4,AB=2,∴AD2+BD2=AB2.∴AD⊥BD.
又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BD⊂平面ABCD,∴BD⊥平面PAD.
(2)解:
过P作PO⊥AD交AD于O.又平面PAD⊥平面ABCD,∴PO⊥平面ABCD.
∵△PAD是边长为2的等边三角形,∴PO=.
由
(1)知,AD⊥BD,在Rt△ABD中,
斜边AB边上的高为h==.
∵AB∥DC,∴S△ACD=CD×
h=×
=2.
∴VA-PCD=VP-ACD=S△ACD×
PO=×
=.
11.(2011·
广东广州一模)已知l,m是不同的两条直线,α,β是不重合的两个平面,则下列命题中为真命题的是( )
A.若l⊥α,α⊥β,则l∥β
B.若l∥α,α⊥β,则l∥β
C.若l⊥m,α∥β,m⊂β,则l⊥α
D.若l⊥α,α∥β,m⊂β,则l⊥m
[解析] ⇒l⊥m.
12.(文)设m、n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,考察下列命题,其中正确的命题是( )
A.m⊥α,n⊂β,m⊥n⇒α⊥β
B.α∥β,m⊥α,n∥β⇒m⊥n
C.α⊥β,m⊥α,n∥β⇒m⊥n
D.α⊥β,α∩β=m,n⊥m⇒n⊥β
[解析] 如下图
(1)满足m⊥α,n⊂β,m⊥n,但β∥α,故A错;
⇒m⊥n,故B对;
如图
(2)满足α⊥β,m⊥α,n∥β,但m∥n,故C错;
如图(3)α⊥β,α∩β=m,
AB⊥m于B,BC⊥m于B,直线AC为直线n,显然满足D的条件,但不能得出n⊥β.故D错.∴选B.
(理)如下图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,A1D与BC1所成的角为,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( )
A.B.
[解析] 连接B1C,∴B1C∥A1D,
∵A1D与BC1所成的角为,∴B1C⊥BC1,
∴长方体ABCD-A1B1C1D1为正方体,取B1D1的中点M,连接C1M,BM,∴C1M⊥平面BB1D1D,∴∠C1BM为BC1与平面BB1D1D所成的角,
∵AB=BC=2,∴C1M=,BC1=2,
∴sin∠C1BM==,故选B.
13.(文)(2010·
河北唐山)如下图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,∠ADC=90°
,且AA1=AD=DC=2,M∈平面ABCD,当D1M⊥平面A1C1D时,DM=________.
[答案] 2
[解析] ∵DA=DC=DD1且DA、DC、DD1两两垂直,故当点M使四边形ADCM为正方形时,D1M⊥平面A1C1D,∴DM=2.
西安模拟)在三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D是侧面BB1C1C的中心,则AD与平面BB1C1C所成角的大小是________.
[答案] 60°
[解析]
如上图,取BC中点E,连结DE、AE、AD,依题意知三棱柱为正三棱柱,易得AE⊥平面BB1C1C,故∠ADE为AD与平面BB1C1C所成的角.设各棱长为1,则AE=,DE=,
tan∠ADE===,∴∠ADE=60°
.
14.(文)如下图,已知在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,
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