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三、典型例题
例1.(数形结合思想)已知a、b、c在数轴上位置如图:
则代数式|a|+|a+b|+|c-a|-|b-c|的值等于()
A.-3aB.2c-aC.2a-2bD.b
解:
|a|+|a+b|+|c-a|-|b-c|=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a
分析:
解绝对值的问题时,往往需要脱去绝对值符号,化成一般的有理数计算。
脱去绝对值的符
号时,必须先确定绝对值符号内各个数的正负性,再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。
这
道例题运用了数形结合的数学思想,由a、b、c在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号,
从而去掉绝对值符号,完成化简。
例2.已知:
zx0,0xy,且xzy,那么yxzyzx
的值()
A.是正数B.是负数C.是零D.不能确定符号
由题意,x、y、z在数轴上的位置如图所示:
所以
数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。
这道例题中三个看似复杂的不等关系借
助数轴直观、轻松的找到了x、y、z三个数的大小关系,为我们顺利化简铺平了道路。
虽然例题
中没有给出数轴,但我们应该有数形结合解决问题的意识。
例3.(分类讨论的思想)已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍,且在数轴上表示这两数的点位
于原点的两侧,两点之间的距离为8,求这两个数;
若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢?
从题目中寻找关键的解题信息,“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数
符号相反,即一正一负。
那么究竟谁是正数谁是负数,我们应该用分类讨论的数学思想解决这一
问题。
设甲数为x,乙数为y由题意得:
yx3,
(1)数轴上表示这两数的点位于原点两侧:
若x在原点左侧,y在原点右侧,即x0,则4y=8,所以y=2,x=-6
若x在原点右侧,y在原点左侧,即x>
0,y0,y>
0,则2y=8,所以y=4,x=12
例4.(整体的思想)方程xx20082008的解的个数是()
A.1个B.2个C.3个D.无穷多个
这道题我们用整体的思想解决。
将x-2008看成一个整体,问题即转化为求方程aa的
)()(
yxzyzx
2
1)1(xx
20102008
1
86
64
42
解,利用绝对值的代数意义我们不难得到,负数和零的绝对值等于它的相反数,所以零和任意负
数都是方程的解,即本题的答案为D。
例5.(非负性)已知|ab-2|与|a-1|互为相互数,试求下式的值.
1111
112220072007abababab
利用绝对值的非负性,我们可以得到:
|ab-2|=|a-1|=0,解得:
a=1,b=2
于是
2009
2008
4
3
2
20092008
43
32
在上述分数连加求和的过程中,我们采用了裂项的方法,巧妙得出了最终的结果.同学们可以再
深入思考,
如果题目变成求值,你有办法求解吗?
有兴趣的同学可
以在课下继续探究。
例6.(距离问题)观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与2,3与5,2与6,4
与3.并回答下列各题:
(1)你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗?
答:
____.
(2)若数轴上的点A表示的数为x,点B表示的数为―1,则A与B两点间的距离
可以表示为.
点B表示的数为―1,所以我们可以在数轴上找到点B所在的位置。
那么点A呢?
因为x
可以表示任意有理数,所以点A可以位于数轴上的任意位置。
那么,如何求出A与B两点
间的距离呢?
结合数轴,我们发现应分以下三种情况进行讨论。
当x0,距离为x+1
综上,我们得到A与B两点间的距离可以表示为1x
(3)结合数轴求得23xx的最小值为,取得最小值时x的取值范围为______.
2x即x与2的差的绝对值,它可以表示数轴上x与2之间的距离。
)3(3xx即x与-3的差的绝对值,它也可以表示数轴上x与-3之间的距离。
如图,x在数轴上的位置有三种可能:
图1图2图3
图2符合题意
(4)满足341xx的x的取值范围为
同理1x表示数轴上x与-1之间的距离,4x表示数轴上x与-4之间的距离。
本题
即求,当x是什么数时x与-1之间的距离加上x与-4之间的距离会大于3。
借助数轴,我们
可以得到正确答案:
x-1。
借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题,反之,有关数轴上的距
离问题也可以转化为绝对值问题。
这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便。
事实上,
BA表示的几何意义就是在数轴上表示数A与数B的点之间的距离。
这是一个很有用的结论,
我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了(3)、(4)这两道难题。
四、小结
1.理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性
2.体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用
3
20071
2007
20072
223
23
aaa
20072)1(
22
第二讲:
代数式的化简求值问题
一、知识链接
1.“代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。
它包括整式、分式、二
次根式等内容,是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一。
2.用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值,叫做这个代数式的值。
注:
一般来说,代数式的值随着字母的取值的变化而变化
3.求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处,为以后学习方程、函数等知识打下
基础。
二、典型例题
例1.若多项式xyxxxmx537852
222
的值与x无关,
求mmmm452
的值.
多项式的值与x无关,即含x的项系数均为零
因为8382537852
2222
yxmxyxxxmx
所以m=4
将m=4代人,44161644452
mmmmmm
利用“整体思想”求代数式的值
例2.x=-2时,代数式6
35
cxbxax的值为8,求当x=2时,代数式6
cxbxax的值。
因为86
cxbxax
当x=-2时,86222
cba得到86222
cba,
所以1468222
cba
当x=2时,6
cxbxax=206)14(6222
例3.当代数式53
xx的值为7时,求代数式293
xx的值.
观察两个代数式的系数
由753
xx得23
xx,利用方程同解原理,得693
xx
整体代人,4293
代数式的求值问题是中考中的热点问题,它的运算技巧、解决问题的方法需要我们灵活掌握,整
体代人的方法就是其中之一。
例4.已知01
aa,求20072
aa的值.
解法一(整体代人):
由01
aa得0
aaa
所以:
解法二(降次):
方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型,还具有降次的功能。
aa,得aa1
,
解法三(降次、消元):
1
aa(消元、、减项)
2008
20071
2007
2007)(
20072
aaaa
例5.(实际应用)A和B两家公司都准备向社会招聘人才,两家公司招聘条件基本相同,只有工
资待遇有如下差异:
A公司,年薪一万元,每年加工龄工资200元;
B公司,半年薪五千元,每半
年加工龄工资50元。
从收入的角度考虑,选择哪家公司有利?
分别列出第一年、第二年、第n年的实际收入(元)
第一年:
A公司10000;
B公司5000+5050=10050
4
第二年:
A公司10200;
B公司5100+5150=10250
第n年:
A公司10000+200(n-1);
B公司:
[5000+100(n-1)]+[5000+100(n-1)+50]
=10050+200(n-1)
由上可以看出B公司的年收入永远比A公司多50元,如不细心考察很可能选错。
例6.三个数a、b、c的积为负数,和为正数,且
bc
ac
ab
c
b
a
x,
则1
cxbxax的值是_______。
因为abc0,所以a、b、c中只有一个是负数。
不妨设a0,c>
0
则ab0
所以x=-1+1+1-1-1+1=0将x=0代入要求的代数式,得到结果为1。
同理,当b0时,即x>
5
,5x-2=3,5x=5,x=1
因为x=1符合大前提x>
,所以此时方
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