第12章运筹学课件 对策论PPT推荐.pptx
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千金),对策问题举例及对策的分类,三、对策问题举例及对策的分类,例1市场购买力争夺问题据预测,某乡镇下一年的饮食品购买力将有4000万元。
乡镇企业和中心城市企业饮食品的生产情况是:
乡镇企业有特色饮食品和低档饮食品两类,中心城市企业有高档饮食品和低档饮食品两类产品。
它们争夺这一部分购买力的结局见下表(单位:
万元)。
问题是乡镇企业和中心城市企业应如何选择对自己最有利的产品策略。
对策问题举例及对策的分类,例2销售竞争问题假定企业,均能向市场出售某一产品,不妨假定他们可于时间区间0,1内任一时点出售。
设企业在时刻x出售,企业在时刻y出售,则企业的收益(赢得)函数为:
若xy,若x=y,若xy,问这两个企业各选择什么时机出售对自己最有利?
在这个例子中,企业,可选择的策略均有无穷多个。
对策问题举例及对策的分类,例3费用分摊问题假设沿某一河流有相邻的3个城市A,B,C,各城市可单独建立水厂,也可合作兴建一个大水厂。
经估算,合建一个大水厂,加上敷设管道的费用,要比单独建3个小水厂的总费用少。
但合建大厂的方案能否实施,显然要看总的建设费用分摊得是否合理。
如果某个城市分摊到的费用比它单独建设水厂的费用还多的话,它显然不会接受合作的方案。
问题是应如何合理地分摊费用,使合作兴建大水厂的方案得以实现?
对策问题举例及对策的分类,例4拍卖问题最常见的一种拍卖形式是先由拍卖商把拍卖品描述一番,然后提出第一个报价。
接下来由买者报价,每一次报价都要比前一次高,最后谁出的价最高,拍卖品即归谁所有。
假设有n个买主给出的报价分别为p1,pn,且不妨设pnpn-1p1,则买主n只要报价略高于pn-1,就能买到拍卖品,即拍卖品实际上是在次高价格上卖出的。
现在的问题是,各买主之间可能知道他人的估价,也可能不知道他人的估价,每人应如何报价对自己能以较低的价格得到拍卖品最为有利?
最后的结果又会怎样?
对策问题举例及对策的分类,例5囚犯难题设有两个嫌疑犯因涉嫌某一大案被警官拘留,警官分别对两人进行审讯。
根据法律,如果两个人都承认此案是他们干的,则每人各判刑7年;
如果两人都不承认,则由于证据不足,两人各判刑1年;
如果只有一人承认,则承认者予以宽大释放,而不承认者将判刑9年。
因此,对两个囚犯来说,面临着一个在“承认”和“不承认”这两个策略间进行选择的难题。
对策问题举例及对策的分类,对策论中将问题根据不同方式进行分类:
根据局中人的个数,分为二人对策和多人对策;
根据各局中人的赢得函数的代数和是否为零,分为零和对策与非零和对策;
根据各局中人间是否允许合作,分为合作对策和非合作对策;
根据局中人的策略集中的策略个数,分为有限对策和无限对策。
此外,还有许多其他的分类方式,例如根据策略的选择是否与时间有关,可分为静态对策和动态对策;
根据对策模型的数学特征,可分为矩阵对策、连续对策、微分对策、阵地对策、凸对策、随机对策等。
对策论,引言矩阵对策的基本理论矩阵对策的解法其他类型对策简介冲突分析简介,矩阵对策的基本理论,二人有限零和对策:
(又称矩阵策略)局中人为2;
每局中人的策略集中策略权目有限;
在任一局势下,两个局中人的赢得之和总等于零,即一个局中人的所得值恰好等于另一局中人的所失值,双方的利益是完全对抗的。
记矩阵对策为:
G=S1,S2;
A,的策略集,的赢得矩阵,的策略集,“齐王赛马”即是一个矩阵策略。
矩阵对策的纯策略,矩阵对策的纯策略,例6,设有一矩阵对策G=S1,S2;
A,其中,:
采取1至少得益-8,2,2,3,-10,4,-3,1,:
采取最多损失9,2,2,6,取大则取,2,maxminaij=2ij,取小则取2minmaxaij=2ji,平衡局势(2,2),这个局势就是双方均可接受的,且对双,22,方来说都是一个最稳3妥的结果。
因此,和应分别是局,中人和的最优纯策略。
矩阵对策的纯策略,成立,记其值为VG,则称VG为对策的值,称使其成立的,ij,纯局势(*,*)为G在纯策略意义下的解(或平衡局势),,ij,称*和*分别为局中人和的最优纯策略。
定义1设G=S1,S2;
A为一矩阵对策,其中S1=1,m,S2=1,n,A=(aij)mn。
若,矩阵对策的纯策略,定理1中式子的对策意义是:
一个平衡局势(i,j)应具有这*,样的性质:
当局中人选择了纯策略*后,局中人为了使其,i所失最少,只能选择纯策略*,否则就可能失的更多;
反之,,j当局中人选择了纯策略*后,局中人为了得到最大的赢得,*,j也只能选择纯策略i,否则就会赢的更少,双方的竞争在局势,(i,j)下达到了一个平衡状态。
*,矩阵对策G=S1,S2;
A在纯策略意义下有解的充要条件是:
存在纯局势(i,j),使得对任意i和j,有aijaij,*,*aij,定理1,矩阵对策的纯策略,例7,设有矩阵对策G=S1,S2;
A,其中,解,有,i*=1,3j*=2,4故(1,2),(1,4),(3,2),(3,4)都是对策的解,且VG=8,矩阵对策的纯策略,aij=aij,1122,若(i1,j1)和(i2,j2)是对策G的两个解,则(i1,j2)和(i2,j1)也是对策G的解。
矩阵对策的值是惟一的,即当一个局中人选择了最优纯策略后,他的赢得值不依赖于对方的纯策略。
一般对策的解可以是不惟一的,当解不惟一时,解之间的关系具有下面两条性质:
性质1(无差别性)若(i1,j1)和(i2,j2)是对策G的两个解,则,性质2(可交换性),矩阵对策的混合策略,设矩阵对策G=S1,S2,A当maxminaijminmaxaij时,ij,j,i,不存在最优纯策略求解混合策略。
二、矩阵对策的混合策略,矩阵对策的混合策略,记,则分别称S1和S2为局中人和的混合策略集(或策略集);
*,12,对xS*和yS*,称x和y为混合策略(或策略),(x,y)为,混合局势(或局势)。
局中人的赢得函数记成,称G*=S1,S2;
E为对策G的混合扩充。
*,定义2设有矩阵对策G=S1,S2;
A,其中,矩阵对策的混合策略,记其值为VG,则称VG为对策G的值,称使上式成立的混合局势(x*,y*)为G在混合策略意义下的解(或平衡局势),称x*和y*分别为局中人和的最优混合策略。
定义3设G*=S1,S2;
E是矩阵对策G=S1,S2;
A的混合扩充。
如果*,定理2矩阵对策G在混合策略意义下有解的充要条件是:
存在x*S1,yS2,使得对任意xS1和yS2,有*E(x,y*)E(x*,y*)E(x*,y),矩阵对策的混合策略,例8,考虑矩阵对策G=S1,S2;
A,其中,已知G在纯策略意义下无解,故设x=(x1,x2)和y=(y1,y2)分别为局中人和的混合策略,则,局中人的赢得的期望是,矩阵对策的混合策略,取x*=(1/4,3/4),y*=(1/2,1/2),则E(x*,y*)=9/2,E(x*,y)=E(x,y*)=9/2,即有E(x,y*)E(x*,y*)E(x*,y)故x*=(1/4,3/4)和y*=(1/2,1/2)分别为局中人和的最优策略,对策的值(局中人的赢得的期望值)为VG=9/2。
矩阵对策的基本定理,12,设x*S*,y*S*,则(x*,y*)为对策G的解的充要条件是:
12,设x*S*,yS*,则(x*,y*)为G的解的充要条件是:
存在数v,使得x*和y*分别是下列不等式组的解,且v=VG。
j=1,2,.,n,i=1,2,.,m,i=1,2,.,m,j=1,2,.,n,三、矩阵对策的基本定理定理3,对任意i=1,m和j=1,n,有E(i,y*)E(x*,y*)E(x*,j)定理4,矩阵对策的基本定理,设(x*,y*)是矩阵对策G的解,v=VG,则,*,
(1)若xi0,则,*,
(2)若yj0,则,(3)若,*,则xi=0,(4)若,则y*j=0,定理5对任一矩阵对策G=S1,S2;
A,一定存在混合策略意义下的解。
定理6,矩阵对策的基本定理,设G1=S1,S2,A为一矩阵对策,且A=-AT为斜对称矩阵(亦称这种对策为对称对策),则
(1)VG=0
(2)T1(G)=T2(G)其中,T1(G)和T2(G)分别为局中人和的最优策略集。
定理7设有两个矩阵对策G1=S1,S2,A1,G2=S1,S2,A2,其中A1=(aij),A2=(aij+L),L为一任意常数,则
(1)VG2=VG1+L
(2)T(G1)=T(G2)定理8,设有两个矩阵对策G1=S1,S2,A,G2=S1,S2,A,其中0,为一任意常数,则
(1)VG2=VG1
(2)T(G1)=T(G2)定理9,对策论,引言矩阵对策的基本理论矩阵对策的解法其他类型对策简介冲突分析简介,矩阵对策的解法,一、图解法例9用图解法求解矩阵对策G=S1,S2,A,其中,解,设局中人的混合策略为(x,1-x)T,x0,1。
0,2,5,7,1x,1,3,2,A,B,B1,B2,B3,图解法,解得x=3/11,VG=49/11。
所以,局中人的最优策略为x*=(3/11,8/11)T下面求局中人的最优策略:
局中人的最优混合策略只由2和3组成设y*=(y1,y2,y3)T为局中人的最优混合策略,则由*E(x*,1)=23/11+78/11=62/1149/11=VG,根据定理6,,112,必有y*=0。
又因x*=3/110,x*=8/110,再根据定理6,可,由,求得y2=9/11,y3=2/11。
所以,局中人的最优混合策略*为y*=0,9/11,2/11T,方程组法,二、方程组法例10求解矩阵对策G=S1,S2;
A,其中A为12345,方程组法,12345,4严格优于1,所以划去1同理,划去第二行,第三列,第四列和第五列,剩下的矩阵中第一行优于第三行,所以划去第三行,易知A1没有鞍点,由定理12.6求出方程组,和,的非负解方程组法于是,以矩阵A为赢得矩阵的对策的一个解就是:
线性规划法,三、线性规划法例11利用线性规划方法求解下述矩阵对策,其赢得矩阵为:
由定理5可知,可将其化成两个互为对偶的线性规划,解问题:
线性规划法,解上述线性规划,得,因此对策问题的解为:
对策论,引言矩阵对策的基本理论矩阵对策的解法其他类型对策简介冲突分析简介,二人无限零和对策,一、二人无限零和对策表示方法:
G=S1,S2;
H其中S1和S2中至少有一个是无限集合,H为局中人的赢得函数。
局中人的至少赢得:
局中人的至多所失:
二人无限零和对策,ij,设G=S1,S2;
H为二人无限零和对策。
若存在*S1,*S2,使得,*,记其值为VG,则称VG为对策G的值,称使该式成立的(i,jij,*)为G在纯策略意义下的解,*,*分别称为局中人和,的最优纯策略。
ij12,(*,*)为G=S,S;
H在纯策略意义下的解的充要条件,是:
对任意iS1,jS2,有H(i,
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