第学高考理科数学通用版二轮复习 一部分层级三30分的拉分题因人而定酌情自选Word格式文档下载.docx
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函数图象的应用
导数的几何意义、直线方程
计数原理与组合知识、新定义问题
2015
函数的概念、不等式的解法
正、余弦定理解三角形
函数的单调性与奇偶性、导数在研究函数中的应用、不等式解法等
数列的递推关系式、等差数列的定义与通项
审题探寻实质
[典例] (2016·
四川高考)在平面直角坐标系中,当P(x,y)不是原点时,定义P的“伴随点”为P′,;
当P是原点时,定义P的“伴随点”为它自身.现有下列命题:
①若点A的“伴随点”是点A′,则点A′的“伴随点”是点A;
②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上;
③若两点关于x轴对称,则它们的“伴随点”关于y轴对称;
④若三点在同一条直线上,则它们的“伴随点”一定共线.
其中的真命题是________(写出所有真命题的序号).
[解析] 对于①,特殊值法.取A(1,1),则A′,A′的“伴随点”为点(-1,-1).故①为假命题.
对于②,单位圆的方程为x2+y2=1,设其上任意一点(x,y)的“伴随点”为(x′,y′),
则
∴y2+(-x)2=y2+x2=1.故②为真命题.
③设A(x,y),B(x,-y),则它们的伴随点分别为A′,B′,A′与B′关于y轴对称,故③为真命题.
④设共线的三点A(-1,0),B(0,1),C(1,2),则它们的伴随点分别为A′(0,1),B′(1,0),C′,此三点不共线,故④为假命题.
故真命题为②③.
[答案] ②③
[题后悟通]
1.解答此题应理解“伴随点”的含义,即P(x,y)→P′,问题即可解决.
2.解答新定义问题要仔细观察,认真阅读,在彻底领悟、准确辨析的基础上,进行归纳、类比,将新定义问题转化为已有知识的问题解决.
[针对训练]
1.(2018届高三·
湘中高三联考)对于数列{an},定义Hn=为{an}的“优值”,现在已知某数列{an}的“优值”Hn=2n+1,记数列{an-kn}的前n项和为Sn,若Sn≤S5对任意的n∈N*恒成立,则实数k的取值范围为________.
解析:
由Hn=2n+1,
得n·
2n+1=a1+2a2+…+2n-1an,①
则当n≥2时,(n-1)·
2n=a1+2a2+…+2n-2an-1,②
①-②,得2n-1an=n·
2n+1-(n-1)·
2n,
所以an=2n+2,令bn=an-kn=(2-k)n+2,
又Sn≤S5对任意的n∈N*恒成立,所以
即解得≤k≤.
答案:
运算善用技巧
全国卷Ⅱ)若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=________.
[解析] 求得(lnx+2)′=,[ln(x+1)]′=.
设曲线y=lnx+2上的切点为(x1,y1),曲线y=ln(x+1)上的切点为(x2,y2),
则k==,所以x2+1=x1.
又y1=lnx1+2,y2=ln(x2+1)=lnx1,
所以k==2,
所以x1==,y1=ln+2=2-ln2,
所以b=y1-kx1=2-ln2-1=1-ln2.
[答案] 1-ln2
解答本题体现了运算技巧,在求解中,巧妙地利用斜率k得出x1=x2+1,利用斜率公式可求得k的值,再代入直线方程,求出b的值.解答此类问题应注意整体代换、变形代换的思想.
[针对训练]
2.(2017·
郑州质检)设正实数x,y满足x>
,y>
1,不等式+≥a恒成立,则a的最大值为( )
A.2 B.4
C.8D.16
选C 法一:
依题意得,2x-1>
0,y-1>
0,+=+≥+≥4×
2=8,即+≥8,当且仅当即时,取等号,因此+的最小值是8,即a≤8,故a的最大值是8.
法二:
令m=2x-1,n=y-1,
则m>
0,n>
0,x=,y=n+1,
+=+
=+≥+≥2=8,
当且仅当m=1且n=1,即x=1,y=2时取等号,
即+≥8,
故a≤8,所以a的最大值是8.
排除简化过程
[典例] (2017·
天津高考)已知函数f(x)=设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立,则a的取值范围是( )
A.[-2,2]B.[-2,2]
C.[-2,2]D.[-2,2]
[解析] 选A 法一:
作出f(x)的图象如图所示.
当y=的图象经过点(0,2)时,可知a=±
2.
当y=+a的图象与y=x+的图象相切时,
由+a=x+,得x2-2ax+4=0,由Δ=0,
并结合图象可得a=2.
要使f(x)≥恒成立,
当a≤0时,需满足-a≤2,即-2≤a≤0,
当a>0时,需满足a≤2,即0<a≤2,
综上可知,-2≤a≤2.
∵f(x)≥在R上恒成立,
∴-f(x)-≤a≤f(x)-在R上恒成立.
①令g(x)=-f(x)-.
当0≤x<1时,f(x)=x+2,
g(x)=-x-2-=-x-2≤-2,
即g(x)max=-2.
当x<0时,f(x)=-x+2,g(x)=x-2-=-2,
即g(x)<-2.
当x≥1时,
f(x)=x+,g(x)=-x--=-x-≤-2,
∴a≥-2.
②令h(x)=f(x)-.
当0≤x<1时,
f(x)=x+2,h(x)=x+2-=+2≥2,
即h(x)min=2.
当x<0时,
f(x)=-x+2,h(x)=-x+2-=-x+2>2,
即h(x)>2.
f(x)=x+,h(x)=x+-=+≥2,
∴a≤2.
法三:
若a=2,则当x=0时,f(0)=2,
而=2,不等式不成立,故排除选项C,D.
若a=-2,则当x=0时,f(0)=2,而=2,不等式不成立,故排除选项B.故选A.
此题直接求解难度较大,但也有一定的技巧可取,通过比较四个选项,只需判断a=2,-2是否满足条件即可,这种策略在做选择题时经常用到.
3.(2017·
东北四市高考模拟)已知函数f(x)=,若对∀a,b,c∈R,f(a),f(b),f(c)都为某个三角形的三边长,则实数m的取值范围是( )
A.B.
C.D.
选C f(x)==1+,
令t=cosx+2,由于-1≤cosx≤1,因此1≤t≤3,
设g(t)=1+(1≤t≤3).
法一:
若对∀a,b,c∈R,f(a),f(b),f(c)都为某个三角形的三边长,不妨设a<
c,b<
c,则只需满足f(a)+f(b)>
f(c)恒成立,故只需2f(x)min>
f(x)max即可,即2g(t)min>
g(t)max.当m=2时,f(a)=f(b)=f(c)=1,成立,故m=2符合题意;
当m<
2时,g(t)=1+在[1,3]上单调递增,则解得<
m<
2;
当m>
2时,g(t)=1+在[1,3]上单调递减,则解得2<
5.综上,<
5.
令m=5,则g(t)=1+(1≤t≤3),∴2≤g(t)≤4.取f(a)=f(b)=2,f(c)=4.不合题意,排除A、B;
取m=,则g(t)=1-(1≤t≤3),∴≤g(t)≤,取f(a)=,f(b)=,f(c)=,不合题意,排除D,故选C.
破解巧取特殊
全国卷Ⅱ)已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则(xi+yi)=( )
A.0B.m
C.2mD.4m
[解析] 法一:
因为f(-x)=2-f(x),所以f(-x)+f(x)=2.因为=0,=1,所以函数y=f(x)的图象关于点(0,1)对称.函数y==1+,故其图象也关于点(0,1)对称.所以函数y=与y=f(x)图象的交点(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym)成对出现,且每一对均关于点(0,1)对称,所以i=0,i=2×
=m,所以(xi+yi)=m.
因为f(-x)=2-f(x),所以f(-x)+f(x)=2.因为=0,=1,所以函数y=f(x)的图象关于点(0,1)对称.可设y=f(x)=x+1,由得交点(-1,0),(1,2),则x1+y1+x2+y2=2,结合选项,应选B.
[答案] B
1.解答此题的思路是由条件f(-x)=2-f(x)知y=f(x)的图象关于点(0,1)对称,从而构造特殊函数y=x+1,解出与y=的交点坐标,代入、验证.
2.处理此类问题经常根据题中所给出的条件巧妙选择特殊函数、特殊图形、特殊位置等进行求解.
4.(2017·
沈阳质检)已知P是双曲线-y2=1上任意一点,过点P分别作双曲线的两条渐近线的垂线,垂足分别为A,B,则·
的值是( )
A.-B.
C.-D.
选A 法一:
令点P(x0,y0),因为该双曲线的渐近线分别是-y=0,+y=0,所以可取|PA|=,|PB|=,又cos∠APB=-cos∠AOB=-cos2∠AOx=-cos=-,所以·
=||·
||·
cos∠APB=·
=×
=-.
如图,由题意知,双曲线的渐近线方程为y=±
x,
∴∠AOB=60°
,
∴∠APB=120°
∴·
<
0.
取P点为双曲线右顶点.
则|PA|=|PB|=|OP|=,
一、选择题
1.设a1,a2,a3,…,an∈R,n≥3.若p:
a1,a2,a3,…,an成等比数列;
q:
(a+a+…+a)(a+a+…+a)=(a1a2+a2a3+…+an-1an)2,则( )
A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件
B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件
C.p是q的充分必要条件
D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件
选A (特殊数列)取大家最熟悉的等比数列an=2n,代入q命题(不妨取n=3)满足,再取an=3n代入q命题(不妨取n=3)也满足,反之取a1=a2=a3=…=an=0时,满足q命题,但不满足p命题,故p是q的充分条件,但不是q的必要条件.
全国卷Ⅲ)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=( )
A.- B.
C.D.1
由f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),得f(2-x)=(2-x)2-2(2-x)+a[e2-x-1+e-(2-x)+1]=x2-4x+4-4+2x+a(e1-x+ex-1)=x2-2x+a(ex-
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