浙教版九年级下册数学期末高效复习专题5解直角三角形解析版语文Word文档格式.docx

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·

cos30°

；

（2）sin230°

＋sin45°

tan30°

.

解：

（1）原式＝1－×

＝1－＝；

（2）原式＝×

＋×

＝.

3．2cos30°

－tan45°

－＝__0__．

4．计算：

cos45°

tan45°

＋·

－2cos60°

sin45°

原式＝×

1＋×

－2×

×

＝＋1－＝1.

题型三　解直角三角形

例3　如图2，在△ABC中，∠B＝60°

，AB＝2，BC＝1＋，则∠C的度数为__45°

__．

图2　　例3答图

【解析】如答图，作AH⊥BC，在Rt△ABH中，∵cosB＝，∴BH＝2cos60°

＝1，∴AH＝＝，∵BC＝1＋，∴CH＝BC－BH＝1＋－1＝，在Rt△ACH中，∵tanC＝＝＝1，∴∠C＝45°

【点悟】　在一个三角形中，如果已知角度或者角的三角函数值求线段的长度，通常可考虑解直角三角形知识求解．如果没有直角三角形，可通过作辅助线构造直角三角形．

5．[2019·

天河区校级一模]如图3，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°

，AC＝6，D是AC上一点，过D作DE⊥BC于点E，若tan∠DBA＝，则CE的长为____．

图3

【解析】在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°

，AC＝6，∴AB＝AC＝6，∠C＝∠ABC＝45°

，∵tan∠DBA＝，∴AD＝，∴CD＝，∵DE⊥BC，∴CE＝CD＝.

题型四　利用直角三角形测量物体的高度

例4　[2019·

张家界]位于张家界核心景区的贺龙铜像是我国近百年来最大的铜像，铜像由像体AD和底座CD两部分组成，如图4，在Rt△ABC中，∠ABC＝70.5°

，在Rt△DBC中，∠DBC＝45°

，且CD＝2.3m，求像体AD的高度．（最后结果精确到0.1m，参考数据：

sin70.5°

≈0.943，cos70.5°

≈0.334，tan70.5°

≈2.824）

图4

在Rt△BCD中，∠DBC＝45°

，

∴BC＝CD＝2.3，在Rt△ABC中，

tan∠ABC＝，tan70.5°

＝＝，

∴AD≈4.2（m）．

答：

像体AD的高度约为4.2m.

6．[2019·

东营]一数学兴趣小组来到某公园，准备测量一座塔的高度．如图5，在A处测得塔顶的仰角为α，在B处测得塔顶的仰角为β，又测量出A，B两点的距离为sm，则塔高为·

sm.

图5

【解析】在Rt△CBD中，BD＝，∴AD＝＋s，在Rt△CAD中，CD＝ADtanα＝·

tanα，化简得CD＝·

s.

7．[2019·

鄂州]如图6，小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出发，向前走3m到达A处，测得树顶端E的仰角为30°

，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60°

，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°

.已知A点离地面的高度AB＝2m，∠BCA＝30°

，且B，C，D三点在同一直线上．

（1）求树DE的高度；

（2）求食堂MN的高度．

图6　　第7题答图

（1）由题意，得AF∥BC，

∴∠FAC＝∠BCA＝30°

∴∠EAC＝∠EAF＋∠CAF＝30°

＋30°

＝60°

∵∠ACE＝180°

－∠BCA－∠DCE＝180°

－30°

－60°

＝90°

∴∠AEC＝180°

－∠EAC－∠ACE＝180°

－90°

＝30°

在△ABC中，∵∠BCA＝30°

，AB＝2，

∴AC＝2AB＝4.

在△ACE中，∵∠AEC＝30°

，AC＝4，

∴EC＝AC＝4.

在△CDE中，∵sin∠ECD＝，∠ECD＝60°

，EC＝4，∴sin60°

＝，

∴ED＝4sin60°

＝4×

＝6（m）．

树DE的高度为6m；

（2）如答图，延长NM交BC于点G，则GB＝MA＝3.

在△ABC中，∵AB＝2，AC＝4，

∴BC＝＝＝2.

在△CDE中，∵CE＝4，DE＝6，

∴CD＝＝＝2.

∴GD＝GB＋BC＋CD＝3＋2＋2＝3＋4.

在△GDN中，∵∠NDG＝45°

∴NG＝GD＝3＋4.

∴MN＝NG－MG＝NG－AB＝3＋4－2＝（1＋4）m.

食堂MN的高度为（1＋4）m.

题型五　利用直角三角形解决航海问题

例5　[2019·

天水]如图7，一艘轮船位于灯塔P南偏西60°

方向的A处，它向东航行20海里到达灯塔P南偏西45°

方向上的B处，若轮船继续沿正东方向航行，求轮船航行途中与灯塔P的最短距离．（结果保留根号）

图7　　例5答图

如答图，过P作PM⊥AB的延长线于点M，设PM＝x，则BM＝x，AB＝20.

tan∠PAM＝＝＝，解得x＝10＋10，

根据题意可知，最短距离为PM＝（10＋10）海里．

8．[2019·

大庆]如图8，已知一条东西走向的河流，在河流对岸有一点A，小明在岸边点B处测得点A在点B的北偏东30°

方向上，小明沿河岸向东走80m后到达点C，测得点A在点C的北偏西60°

方向上，则点A到河岸BC的距离为__20__m.

图8　　第8题答图

【解析】如答图，过点A作AD⊥BC于点D.根据题意，得∠ABC＝90°

，∠ACD＝30°

，在Rt△ABD中，tan∠ABD＝，∴BD＝.同理，在Rt△ACD中，CD＝，∵BD＋CD＝BC＝80，∴＋＝80，解得AD＝20，即点A到河岸BC的距离为20m.

9．[2019·

天津]如图9，一艘海轮位于灯塔P的北偏东64°

方向，距离灯塔120海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°

方向上的B处．求BP和BA的长．（结果取整数，参考数据：

sin64°

≈0.90，cos64°

≈0.44，tan64°

≈2.05，≈1.414）

图9　　第9题答图

如答图，过点P作PM⊥AB于M，由题意可知，∠A＝64°

，∠B＝45°

，PA＝120.

Rt△APM中，PM＝PA·

sinA＝PA·

≈108，

AM＝PA·

cosA＝PA·

cos64°

≈52.8.

在Rt△BPM中，∵∠B＝45°

∴BM＝PM≈108，PB＝PM≈153，

∴BA＝BM＋AM≈108＋52.8≈161.

BP长约为153海里，BA长约为161海里．

题型六　利用直角三角形解决坡度问题

例6　[2019·

杭州期中]如图10，水库大坝截面的迎水坡坡比（DE与AE的长度之比）为1∶0.6，背水坡坡比为1∶2，大坝高DE＝30m，坝顶宽CD＝10m，求大坝的截面的周长和面积．

图10

∵迎水坡坡比（DE与AE的长度之比）为1∶0.6，DE＝30m，∴AE＝18m，

在Rt△ADE中，AD＝＝6m，

∵背水坡坡比为1∶2，∴BF＝60m，

在Rt△BCF中，BC＝＝30m，

∴周长＝DC＋AD＋AE＋EF＋BF＋BC＝6＋10＋30＋88＝（6＋30＋98）m，

面积＝（10＋18＋10＋60）×

30÷

2＝1470（m2）．

故大坝的截面的周长是（6＋30＋98）m，面积是1470m2.

【点悟】　坡度坡角问题关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形．在两个直角三角形有公共直角边时，先求出公共边的长是解答此类题的基本思路．

10．[2019·

重庆]如图11，已知点C与某建筑物底端B相距306m（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195m至坡顶D处．斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1∶2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯角为20°

，则建筑物AB的高度约为（精确到0.1m，参考数据：

sin20°

≈0.342，cos20°

≈0.940，tan20°

≈0.364）（　A　）

A．29.1mB．31.9m

C．45.9mD．95.9m

图11　第10题答图

【解析】如答图，过点D作DE⊥BC，垂足为E，解Rt△CDE得DE＝75m，CE＝180m，根据BC＝306m可求得BE＝126m，过A作AF⊥DE，∴AF＝BE＝126m，∵∠DAF＝20°

，而tan20°

≈0.364，即＝，∴DF≈45.864m，∴AB＝DE－DF≈29.1m．

过关训练

1．[2019·

洪泽]Rt△ABC中，∠C＝90°

，cosA＝，AC＝6cm，那么BC等于（　A　）

A．8cmB.cm

C.cmD.cm

【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°

，cosA＝＝，AC＝6cm，∴AB＝10cm，BC＝＝8（cm）．

益阳]小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图1，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α（B′C为水平线），测角仪的高度为1m，则旗杆PA的高度为（　A　）

图1

C.D.

【解析】设PA＝PB＝PB′＝x，在Rt△PCB′中，sinα＝，∴＝sinα，∴x＝.

3．计算：

（1）sin260°

－tan30°

＋tan45°

（2）－cos60°

（1）原式＝－×

＋1

＝－＋1＝；

（2）原式＝－×

＝－＝－＝－.

4．[2019·

安徽]如图2，游客在点A处坐缆车出发，沿A－B－D的路线可至山顶D处，假设AB和BD都是直线段，且AB＝BD＝600m，α＝75°

，β＝45°

，求DE的长．（参考数据：

sin75°

≈0.97，cos75°

≈0.26，≈1.41）

图2

在Rt△ABC中，∵cosα＝，

∴BC＝AB·

cosα≈156（m）．

在Rt△BDF中，∵sinβ＝，

∴DF＝BD·

sinβ＝600×

＝300≈423（m）．

又∵EF＝BC，

∴DE＝DF＋EF≈579（m）．

临沂]一般地，当α，β为任意角时，sin（α＋β）与sin（α—β）的值可以用下面的公式求得：

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ；

sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ.

例如sin90°

＝sin（60°

）＝sin60°

＋cos60°

sin30°

＝×

＝1.

类似地，可以求得sin15°

的值是____．

贵港]如图3，点P在等边三角形ABC的内部，且PC＝6，PA＝8，PB＝10，将线段PC绕点C顺时针旋转60°

得到P′C，连结AP′，则sin∠PAP′的值为____．

图3　　　第6题答图

【解析】如答图，连结PP′，

∵线段PC绕点C顺时针旋转60°

得到P′C，

∴CP＝CP′＝6，∠PCP′＝60°