学年陕西省榆林市高二上学期期末数学文试题解析版Word文件下载.docx
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【点睛】本题考查运用正弦定理解三角形,属于基础题.
4.已知向量,不共线,,,若,则()
A.-12B.-9C.-6D.-3
【答案】D
【分析】根据,由,利用待定系数法求解.
【详解】已知向量,不共线,且,,
因为,
所以,
则,
解得,
D
【点睛】本题主要考查平面向量共线的应用,还考查了运算求解的能力,属于基础题.
5.已知,则()
【分析】直接利用指数函数和对数函数的单调性判断.
【详解】因为,
6.过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点,如果,则()
A.9B.6C.7D.8
【分析】根据抛物线的方程,算出焦点为,准线方程为,利用抛物线的定义求得弦长,即可求解.
【详解】由题意,抛物线的方程为,可得,
所以抛物线的焦点为,准线方程为,
根据抛物线的定义,可得,
又因为过抛物线的焦点,且,
所以,故选D.
【点睛】本题主要考查了抛物线的定义的应用,以及抛物线的焦点弦问题,其中解答中熟记抛物线的定义,合理利用焦点弦的性质求解是解答本题的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.
7.“”是“”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【分析】先解不等式,再由充分条件与必要条件的概念,即可得出结果.
【详解】解不等式得;
由能推出,由不能推出;
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选B
8.已知变量x,y满足约束条件,则的最大值为()
A.B.1C.2D.3
【分析】画出不等式组表示的平面区域,数形结合即可求出.
【详解】画出不等式组表示的平面区域,如图阴影部分,
将化为,
观察图形可得,当直线过点时,取得最大值为3.
D.
9.已知函数,若对任意,且,都有,则实数a的取值范围是()
【分析】由题可得在上单调递增,讨论和两种情况可求出.
【详解】对任意,且,都有,
在上单调递增,
的对称轴为,
当时,开口向下,在单调递减,不符合题意;
当时,开口向上,要在单调递增,则,解得,
综上,.
【点睛】本题考查利用函数的单调性求参数,解题的关键是判断出在上单调递增.
10.一个圆柱的底面直径与高都等于一个球的直径,则圆柱的全面积与球的表面积之比为()
【分析】设球的半径为,分别求出球和圆柱的表面积即可求解.
【详解】设球的半径为,则该圆柱的底面半径为,高为
所以圆柱的表面积为:
球的表面积为:
则圆柱的全面积与球的表面积之比为
故答案选B
【点睛】本题主要考查了圆柱和球的表面积,属于基础题.
11.已知命题,,命题,,则下列命题是真命题的是()
【分析】根据初等函数的性质,先判定命题都为假命题,再利用复合命题的真假判定方法,结合选项,即可求解.
【详解】例如:
当时,,所以命题“”为假命题,
由,所以,所以命题“,”为假命题,
则和都为真命题,
所以为假命题,为真命题,为假命题,为假命题.
12.已知是一个等差数列的前项和,对于函数,若数列的前项和为,则的值为()
【分析】首先根据题意求出,再利用裂项求和法即可求解.
【详解】是一个等差数列的前项和,则,解得,
所以的前项和为
,
则.
【点睛】本题考查了等差数列的前和公式的性质、裂项求和法,考查了计算求解能力,属于基础题.
二、填空题
13.若,则__________.
【答案】
【详解】
14.曲线在点处的切线方程为______.
【分析】求出曲线在处的导数值即切线斜率,即可得出方程.
【详解】,,
在点处的切线的斜率,
则切线方程为,即.
故答案为:
.
15.为了净化水质,向一游泳池加入某种药品,加药后,池水中该药品的浓度(单位:
)随时间(单位:
)的变化关系为,则池水中药品的浓度最大可达到________.
【答案】4
【分析】,然后利用对勾函数的知识可得答案.
【详解】因为,所以当时
4
16.已知双曲线的右焦点为F,O为坐标原点,以F为圆心,为半径的圆与x轴交于O,A两点,与双曲线C的一条渐近线交于O,B两点.若,则双曲线C的一条渐近线方程为______.
(或)
【分析】,可得,即,化简可得,即得渐近线方程.
【详解】由题可知,OA为圆F的直径,B为圆上一点,,
,,,
不妨设B在渐近线上,
则在直角三角形中,,
即,即,解得,即,
故双曲线C的一条渐近线方程为(或).
(或).
【点睛】本题考查双曲线渐近线的求解,解题的关键是得出,建立关于的齐次方程可求出.
三、解答题
17.在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,,.
(1)求的值;
(2)求的面积.
(1);
(2).
【分析】
(1)根据余弦定理求解;
(2)求解得,代入面积公式求解.
(1)∵,,,
∴.
(2)∵,,∴,
18.设等差数列的前项和为,,.
(1)求;
(2)设,证明数列是等比数列,并求其前项和.
(2)证明见解析;
(1)利用等差数列的求和公式和基本量运算得到;
(2)利用定理证明数列是等比数列,公式法求和即可.
(1)由题可知是等差数列.由,,
联立解得,,所以;
(2)由,,得数列是首项为,
公比为2的等比数列.数列的前项和.
【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式,考查学生计算能力,属于基础题.
19.如图,四棱锥的底面是直角梯形,,,侧面,是等边三角形,,E是线段的中点.
(1)求证:
平面;
(2)求三棱锥的体积.
(1)证明见解析;
(1)由题可得,,即可证明;
(2)由可求.
【详解】解:
(1)证明:
∵侧面,平面,∴,
∵是等边三角形,E是线段的中点,∴,
又,平面,平面,
∴平面.
(2)∵侧面,
∴是三棱锥的高,
∵是等边三角形,,∴,
20.为了更好地刺激经济复苏,增加就业岗位,多地政府出台支持“地摊经济”的举措.某市城管委对所在城市约个流动商贩进行调查统计,发现所售商品多为小吃、衣帽、果蔬、玩具、饰品等,各类商贩所占比例如图.
(1)该市城管委为了更好地服务百姓,打算从流动商贩经营点中随机抽取个进行政策问询.如果按照分层抽样的方法随机抽取,请问应抽取小吃类、果蔬类商贩各多少家?
(2)为了更好地了解商贩的收入情况,工作人员还对某果蔬经营点最近天的日收入(单位:
元)进行了统计,所得频率分布直方图如图.若从该果蔬经营点的日收入超过元的天数中机抽取两天,求这两天的日收入至少有一天超过元的概率.
(1)应抽取小吃类商贩(家),果蔬类商贩(家);
(1)求出小吃类、果蔬类商贩的占比,再乘以可得结果;
(2)计算可知该果蔬经营点的日收入超过元的天数为天,其中超过元的有天,记为、,其余天为、、、,列举出所有的基本事件,并确定事件“两天的日收入至少有一天超过元”所包含的基本事件,利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.
(1)由题意知,小吃类商贩所占比例为,
按照分层抽样的方法随机抽取,
应抽取小吃类商贩:
(家),果蔬类商贩:
(家).
(2)该果蔬经营点的日收入超过元的天数为天,其中超过元的有天,
记日收入超过元的天为、,其余天为、、、,
随机抽取两天的所有可能情况有:
、、、、、、、、、、、、、、,共种,
其中至少有一天超过元的所有可能情况有:
、、、,、、、、,共种.
所以,这两天的日收入至少有一天超过的概率为.
【点睛】方法点睛:
求解古典概型概率的方法如下:
(1)树状图法;
(2)列举法;
(3)列表法;
(4)排列组合数的应用.
21.已知椭圆的离心率为,焦距为.斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点,.
(1)求椭圆的方程
(2)若,求的最大值.
(1)
(2)当直线过原点时最大,为
(1)由椭圆离心率为,焦距为列方程组求解即可.
(2)设直线方程为:
,由直线与椭圆有两个不同的交点,得到的范围,联立直线与椭圆方程,整理,表示出,,从而表示出,转化成函数最大值问题求解.
(1)由题可得:
,解得:
所以椭圆的方程为:
.
,联立直线与椭圆方程得:
,整理得:
,所以,
直线与椭圆有两个不同的交点,,则:
解得:
所以=,
当且仅当时,等号成立.
所以的最大值为.
【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质,还考查了韦达定理、弦长公式及直线与椭圆相交知识,考查了转化思想及计算能力,属于基础题.
22.已知函数,常数a大于零.
(1)若,求的单调区间;
(2)若函数存在零点,求证:
(1)单调递减区间为,单调递增区间为;
(2)证明见解析.
(1)求出的导数,构造函数,可得单调递增,,即可得出的正负,判断出单调区间;
(2)可得,构造函数,通过导数判断的单调性,求出的值域即可.
(1)当时,,
令,
显然单调递增,且,
∴当时,,当时,,
∴的单调递减区间为,单调递增区间为.
(2)证明:
当时,由函数,得,
由单调递减,且,
得在上单调递增,在上单调递减,
故在处取最大值,最大值为,
∴,得.
已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:
(1)直接法:
直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;
(2)分离参数法:
先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;
(3)数形结合法:
先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解
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