七年级上数学知识点归纳整理Word文件下载.docx
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定义
规定了原点,正方向,单位长度的直线叫做数轴
注意点
①数轴是一条向两端无限延伸的直线
②原点、正方向、单位长度是数轴的三要素,三者缺一不可
③同一数轴上的单位长度要统一
④数轴的三要素都是根据实际需要规定的
数轴上的点与有理数的关系
①所有的有理数都可以用数轴上的点来表示,正有理数可用原点右边的点表示,负有理数可用原点左边的点表示,0用原点表示
②所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来,但数轴上的点不都表示有理数,也就是说,有理数与数轴上的点不是一一对应关系。
(如,数轴上的点π不是有理数)
(3)
利用数轴表示两数大小
①在数轴上数的大小比较,右边的数总比左边的数大
②正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数
③两个负数比较,距离原点远的数比距离原点近的数小
(4)
数轴上特殊的最大(小)数
①
最大的自然数是
无最大的自然数
②
最小的正整数是
1
③
最大的正整数是
无最大的正整数
最大的负整数是
-1
⑤
最小的负整数是
无最小的负整数
(5)
有理数大小的比较
①利用数轴比较两个数的大小:
数轴上的两个数相比较,左边的总比右边的小
②利用绝对值比较两个负数的大小:
两个负数比较大小,绝对值大的反而小;
异号两数比较大小,正数大于负数
(6)绝对值的化简
①当a≥0时,|a|=a
②当a≤0时,|a|=-a
3
相反数
符号不同绝对值相等的两个数叫做互为相反数,其中一个是另一个的相反数,0的相反数是0
①相反数是成对出现的
②相反数只有符号不同,若一个为正,则另一个为负
③0的相反数是它本身;
相反数为本身的数是0
相反数的性质与判定
①任何数都有相反数,且只有一个
②0的相反数是0
(3)
相反数的几何意义
在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数,是互为相反数;
互为相反数的两个数,在数轴上的对应点(0除外)在原点两旁,并且与原点的距离相等。
0的相反数对应原点;
原点表示0的相反数。
说明:
在数轴上,表示互为相反数的两个点关于原点对称
相反数的求法
①求一个数的相反数,只要在它的前面添上负号“-”即可求得(如:
5的相反数是-5)
②求多个数的和或差的相反数是,要用括号括起来再添“-”,然后化简(如;
5a﹢b的相反数是-(5a﹢b)。
化简得-5a-b)
③求前面带“-”的单个数,也应先用括号括起来再添“-”,然后化简(如:
-5的相反数是-(-5),化简得5)
相反数的表示方法
一般地,数a的相反数是-a,其中a是任意有理数,可以是正数、负数或0
当a>0时,-a<0(正数的相反数是负数)
当a<0时,-a>0(负数的相反数是正数)
当a=0时,-a=0,(0的相反数是0)
(6)
多重符号的化简
多重符号的化简规律:
“﹢”号的个数不影响化简的结果,可以直接省略;
“-”号的个数决定最后化简结果;
即:
“-”的个数是奇数时,结果为负,“-”的个数是偶数时,结果为正
5、有理数的加减法
有理数的加法法则
①同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加
②绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值
③互为相反数的两数相加,和为零
④一个数与零相加,仍得这个数
有理数加法的运算律
①加法交换律:
a﹢b=b﹢a
②加法结合律:
(a﹢b)﹢c=a﹢(b﹢c)
加法性质
一个数加正数后的和比原数大;
加负数后的和比原数小;
加0后的和等于原数。
⑴当b>0时,a﹢b>a⑵当b<0时,a﹢b<a⑶当b=0时,a﹢b=a
有理数减法法则
减去一个数,等于加上这个数的相反数。
用字母表示为:
a-b=a﹢(-b)
有理数加减法统一成加法的意义
在有理数加减法混合运算中,根据有理数减法法则,可以将减法转化成加法后,再按照加法法则进行计算
(6)有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧
把符号相同的加数相结合(同号结合法)
(-33)-(-18)﹢(-15)-(﹢1)﹢(﹢23)
原式=-33﹢(﹢18)﹢(-15)﹢(-1)﹢(﹢23)(将减法转换成加法)
=-33﹢18-15-1﹢23(省略加号和括号)
=(-33-15-1)﹢(18﹢23)(把符号相同的加数相结合)
=-49﹢41(运用加法法则一进行运算)
=-8(运用加法法则二进行运算)
把和为整数的加数相结合(凑整法)
(﹢6.6)﹢(-5.2)-(-3.8)﹢(-2.6)-(﹢4.8)
原式=(﹢6.6)﹢(-5.2)﹢(﹢3.8)﹢(-2.6)﹢(-4.8)(将减法转换成加法)
=6.6-5.2﹢3.8-2.6-4.8(省略加号和括号)
=(6.6-2.6)﹢(-5.2-4.8)﹢3.8(把和为整数的加数相结合)
=4-10﹢3.8(运用加法法则进行运算)
=7.8-10(把符号相同的加数相结合,并进行运算)
=-2.2(得出结论)
把分母相同或便于通分的加数相结合(同分母结合法)
--﹢-﹢-
原式=(--)﹢(-﹢)﹢(﹢-)
=-1﹢0-
=-1
既有小数又有分数的运算要统一后再结合(先统一后结合)
(﹢0.125)-(-3)﹢(-3)-(-10)-(﹢1.25)
原式=(﹢)﹢(﹢3)﹢(-3)﹢(﹢10)﹢(-1)
=﹢3-3﹢10-1
=(3-1)﹢(-3)﹢10
=2-3﹢10
=-3﹢13
=10
把带分数拆分后再结合(先拆分后结合)
-3﹢10-12﹢4
原式=(-3﹢10-12﹢4)﹢(-﹢)﹢(-)
=-1﹢﹢
-
⑥
分组结合
2-3-4﹢5﹢6-7-8﹢9…﹢66-67-68﹢69
原式=(2-3-4﹢5)﹢(6-7-8﹢9)﹢…﹢(66-67-68﹢69)
=0
6
有理数的乘法
法则
法则一:
两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;
(“同号得正,异号得负”专指“两数相乘”的情况,如果因数超过两个,就必须运用法则三)
法则二:
任何数同0相乘,都得0
法则三:
几个不是0的数相乘,负因数的个数是偶数时,积是正数;
负因数的个数是奇数时,积是负数
法则四:
几个数相乘,如果其中有因数为0,则积等于0
倒数
乘积是1的两个数互为倒数,其中一个数叫做另一个数的倒数,用式子表示为a·
=1(a≠0),就是说a和互为倒数,即a是的倒数,是a的倒数
①0没有倒数
②求假分数或真分数的倒数,只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可;
求带分数的倒数时,先把带分数化为假分数,再把分子、分母颠倒位置
③正数的倒数是正数,负数的倒数是负数。
(求一个数的倒数,不改变这个数的性质)
④倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0
有理数的乘法运算律
①乘法交换律:
一般地,有理数乘法中,两个数相乘,交换因数的位置,积相等。
即ab=ba
②乘法结合律:
三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等。
即(ab)c=a(bc)
③乘法分配律:
一般地,一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,在把积相加。
即a(b﹢c)=ab﹢ac
有理数的除法法则
①除以一个不等0的数,等于乘以这个数的倒数
②两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。
0除以任何一个不等于0的数,都得0
有理数的乘除混合运算
①乘除混合运算往往先将除法化成乘法,然后确定积的符号,最后求出结果
②有理数的加减乘除混合运算,如无括号指出先做什么运算,则按照‘先乘除,后加减’的顺序进行
(6)有理数的乘方
①概念
求n个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂。
在中,a叫做底数,n叫做指数
乘方的性质
负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂的正数
正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0
(7)有理数的混合运算
做有理数的混合运算时,应注意以下运算顺序
①先乘方,再乘除,最后加减
②同级运算,从左到右进行
③如有括号,先做括号的运算,按小括号,中括号,大括号依次进行
二、用字母表示数
代数式
用基本运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式,如n,-1,2n﹢500,abc。
单独的一个数或一个字母也是代数式
2
单项式
表示数与字母的乘积的代数式叫单项式。
单项式的系数
单项式中的数字因数
4
单项式的次数
一个单项式中,所有字母的指数和
5
多项式
几个单项式的和叫做多项式。
每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫做常数项。
多项式里次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数。
常数项的次数为0
整式
单项式和多项式统称为整式
注意
分母上含有字母的不是整式
7、代数式书写规
数与字母、字母与字母中的乘号可以省略不写或用“·
”表示,并把数字放到字母前
出现除式时,用分数表示
带分数与字母相乘时,带分数要化成假分数
若运算结果为加减的式子,当后面有单位时,要用括号把整个式子括起来
8、合并同类项
同类项
所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项
合并同类项的法则
同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数不变
同类项的步骤
①准确的找出同类项
②运用加法交换律,把同类项交换位置后结合在一起
③利用法则,把同类项的系数相加,字母和字母的指数不变
④写出合并后的结果
去括号的法则
①括号前面是“﹢”号,把括号和它前面的“﹢”号去掉,括号里各项的符号都不变
②括号前面是“—”号,把括号和它前面的“—”号去掉,括号里各项的符号都要改变
整式的加减
进行整式的加减运算时,如果有括号先去括号,再合并同类项
整式加减的步骤
(1)列出代数式;
(2)去括号;
(3)合并同类项
三、一元一次方程
概念
只含有一个未知数(元)且未知数的指数是1(次)的方程
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