项式定理各种题型解题技巧Word下载.docx
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4.常用的结论:
令a1,bx,(1x)nCnC:
xCnX2Lc;
xrLC;
xn(nN)
令a1,bx,(1x)nCOC:
xC'
x2LC;
xrL
(1)nC;
5.性质:
①二项式系数的对称性:
与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等,即
②二项式系数和:
令ab1,则二项式系数的和为
变形式cnC;
LcnLC:
2
③奇数项的二项式系数和二偶数项的二项式系数和:
在二项式定理中,令a1,b1,
④奇数项的系数和与偶数项的系数和:
n
式系数c2取得最大值。
如果二项式的幂指数n是奇数时,则中间两项的二项式
n1n1
系数cF,C王同时取得最大值
⑥系数的最大项:
求
C(abx)n展幵式中最大的项,般米用待定系数法。
设展
幵式中各项系数分别
从而解出r来
6.二项式定理的^一种考题的解法:
题型一:
二项式定理的逆用;
例:
cnCn6c362LCn6n1
解:
(16)nC0cn6C;
62C;
63LC:
6n与已知的有一些差距,
练:
Cn3C29C3L3n1Cn.
解:
设SnCn3C:
9C3L3n1C:
,贝y
3SnC:
3c232C;
33LC;
3nC0C:
3C^2C;
33LC:
3n1(13)n1
(13)n14n1
Sn
33
题型二:
利用通项公式求xn的系数;
在二项式(43F)n的展幵式中倒数第3项的系数为45,求含有x3的项的
系数?
由条件知C:
245,即C;
45,n;
n900,解得n9(舍去)或n10,
由
1210r2r
TriG0(x刁)10r(x;
)r,由题意-r3,解得r6,
43
贝y含有X3的项是第7项T61C10X3210x3,系数为210。
练:
求(x2丄)9展幵式中x9的系数?
2x
Tr1C9(x2)9r(丄)rC;
x182r(-)rxrC9(-)rx183r,令183r9,则r3
2x22
故x9的系数为C:
(片却。
22
题型三:
利用通项公式求常数项;
求二项式(2x丄)6的展幵式中的常数项?
Tr!
c;
(2x)6r
(1)r(丄)r
(1)rC626r(-)rx62r,令62r0,得r3,所以2x2
T4
(1)C620
若(x2[)n的二项展幵式中第5项为常数项,则n____.
x
T5c4(x2)n4』)4c4x2n12,令2n120,得n6.
题型四:
利用通项公式,再讨论而确定有理数项;
求二项式c.x3x)9展幵式中的有理项?
1127r
Tr1c9(x2)9r(x3)r
(1)rC9rx^,令辽丄Z,(0r9)得r3或r9,
6
所以当r3时,孔丄4,T4
(1)3C<
3x484x4,
27r3933
当r9时,3,T10
(1)C9xx。
题型五:
奇数项的二项式系数和二偶数项的二项式系数和;
令x1,则有a。
a1an
0,①,令x
1,则有
a°
a1a2a3
(1)nan
2n,②
将①-②得:
2(a1
a3a5
)2n,a1
2*1
有题意得,2n1
256
28,n90
若(#5右亍的展幵式中,所有的奇数项的系数和为1024,求它的中间
项。
QCn0CnCnC2rc:
CnLC2r12n1,2n11024,解得
n11
所以中间两个项分别为n6,n7,T51C;
(31)6(5!
)5462x4,
61
T61462x
题型六:
最大系数,最大项;
已知(丄2x)n,若展幵式中第5项,第6项与第7项的二项式系数成等差数
2
列,求展幵式中二项式系数最大项的系数是多少?
QC;
Cn2C5,n221n980,解出n7或n14,当n7时,展幵式中二
项式系数最大的项是T4和T5T4的系数C3
(1)423沒,
T5的系数C;
』)32470,当n14时,展幵式中二项式系数最大的项是T8,
1
T8的系数C;
4
(2)7273432。
在(ab)2n的展幵式中,二项式系数最大的项是多少?
二项式的幂指数是偶数2n,则中间一项的二项式系数最大,即
T2nTn1,也就是第n1项。
2-1
在(|3:
)n的展幵式中,只有第5项的二项式最大,则展幵式中的常数项
是多少?
只有第5项的二项式最大,则15,即n8,所以展幵式中常数项为第
七项等于C^g)27
写出在(ab)7的展幵式中,系数最大的项?
系数最小的项?
因为二项式的幂指数7是奇数,所以中间两项(第4,5项)的二项式系数相
等,且同时取得最大值,从而有T4C3a4b3的系数最小,TsC74a3b4系数
最大。
若展幵式前三项的二项式系数和等于79,求(12x)n的展幵式中系数最大
的项?
由Cn
cnCn79,解出n12,假设Tr1项最大,Q(12x)12(-)12(14x)12
Ar1
ACr4rCr14r1
r121211,化简得到9.4r10.4,又Q0r12,
Ar2CMC1^4r1
r10,展幵式中系数最大的项为昭有Tn加"
1016896x10
在(12x)10的展幵式中系数最大的项是多少?
假设Tr
1项最大,QTr1G;
2rxr
rrr1r1
ArC^C^21解得2(11r)r,化简得到
Ar2C;
2rc;
。
©
1,r12(10r)
6.3k
7.3,又Q0r10,r7,展幵式中系数最大的项为
T80702.715360X7.
题型七:
含有三项变两项;
求当(x23x2)5的展幵式中x的一次项的系数?
解法①:
(x23x2)5[(x22)3x]5,£
1C5(x22)5r(3x)r,当且仅当r1
时,Tr1的展幵式中才有x的一次项,此时Tr1T2C5(x22)43x,所以x得一次项为c5c:
243x
它的系数为C;
C:
243240。
解法②:
(x23x2)5(x1)5(x2)5(C°
x5C5x4Cf)(C5)x5C5x42C;
25)
故展幵式中含x的项为C;
xC;
25C:
x24240x,故展幵式中x的系数
为240.
Tr1C6
(1)r|x6r(l)r
(1)6C6|x62r,得62r0,r3,lxl
T31
(1)C620.
题型八:
两个二项式相乘;
例:
求(12x)(1x)展开式中x的系数.
Q(12x)3的展开式的通项是Cm(2x)mCm2mxm,
令mn2,则m0且n2,m1且n1,m2且n0,因此(12x)3(1x)4
的展开式中X2的系数等于C?
20C2
(1)2c321c4
(1)1C;
22C0
(1)06.
求(13x)6(1J二*展开式中的常数项.
vx
.mn4m3n
(13x)6(141)10展开式的通项为cjx3C:
0X4cmC10x12
时得展开式中的常数项为C;
C10C;
C;
0C;
C04246.
已知(1xx2)(x3)n的展开式中没有常数项,nN且2n8,则n.
(xA)n展开式的通项为cnxnrx3rcnxn4r,通项分别与前面的三项相乘可得
题型九:
奇数项的系数和与偶数项的系数和;
在(x72)2006的二项展开式中,含x的奇次幕的项之和为S,当x血时,S
设(x\2)2006=a0ax1a2x2a3x3La2006x2006①
题型十:
赋值法;
设二项式(33x1)n的展幵式的各项系数的和为p,所有二项式系数的和为
s,若
ps272,则n等于多少?
若(3皈-)na。
aixa?
x2anXn,有Pa。
aian,
0nn
SCnCn2
令x1得P4n,又ps272,即4n2n272(2n17)(2n16)0解得2n16或2n17(舍去),n4.
若3-x1的展幵式中各项系数之和为64,则展幵式的常数项为多
.x
少?
令x1,贝y3寂丄的展幵式中各项系数之和为2n64,所以n6,
dx
则展幵式的常数项为C:
(^x)3(
1)3540.
、、x
若(1
2009
2x)
12
a0a1xa2x
3
a3X
2009.
a2009x(X
R),则ai
a2
笋的值为
令x
可得a°
a〔a?
~~2
a2009
^2009
0,12
若(x
2)5a§
x5
4
a4X
32
a3Xa?
qx1a°
则a1
a2a3
0得a。
32,令x
1得a0a1
a2a3a4a5
1,
题型十一:
整除性;
证明:
32n28n
9(n
N*)能被64整除
a4
ao
a5
N*)能被64整除
证:
32n28n99n18n9(81)n18n9由于各项均能被64整除32n28n9(n
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