浅谈高中数学教学中的变式教学文档格式.docx
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但若对变式的“度”把握不准确,不能因材施教,单纯地为变而变,就会给学生造成过重的学习和心理负担,使学生产生逆反心理,“高投入、低产出”,事倍而功半。
由此笔者认为在变式教学中必须把握五个“性”!
1、变式教学要有参与性
传统讲课法中,教师把公式、定理的结论、推导过程、适用条件、适用题型原原本本地讲给学生听,激不起学生的兴趣。
再加上听不懂,上课睡觉就成了经常发生的现象。
变式教学主要是由教师提出问题后,其结果怎样、或如何解决都要学生做出回答,对学生具有挑战性,所以学生的学习兴趣大,人人都能动手,所以学习的积极性非常高。
同时,对于学生在变式中获得的成功,哪怕只是一丁点儿,教师也要加以肯定表扬,只有这样,才能调动学生学习的参与性,点燃学生思维的火花,提高学生参与创新的意识,从而让他们感受到“变式”的乐趣,各种能力也在不知不觉中得到很好的提升。
案例1:
一位同事在高三函数复习课上曾出过这样一个题:
已知函数y=f(x),满足f(x+1)=f(x-1),问y=f(x)具备什么性质?
学生对原式简单变形可得f(x+2)=f(x),由周期性的定义可知,y=f(x)的周期t=2。
在此题的基础上我让学生充分发挥自己的聪明才智,加入到“变式”的行列中,让他们来自变题目,自己
解答,解决不了,求助同学和教师。
数分钟后,有反应了。
变式1已知函数y=f(x),满足f(x+1)=f(1-x),则y=f(x)具备什么性质?
变式2已知函数y=f(x),满足f(x+1)=-f(1-x),则y=f(x)具备什么性质?
变式3已知函数y=f(x),满足f(2x+1)=f(1-2x),则y=f(x)具备什么性质?
在这一组变式中,学生充分展示了自己的聪明才智,积极思维,让课堂真正属于他们自己,不再是“拿来主义”,不再被教师牵着鼻子走,而是主动的学习,在亲自参与中展示知识的发展过程,在知识的运用过程中体验到解决问题的快乐,从而进一步激发起学数学的参与性,在主动思考,积极探索中发现问题、抓住本质解决问题。
2、变式教学要有梯度性
心理学家维果茨基关于“最近发展区”的理论认为,学生有两种发展水平:
一种是现有发展水平(已经达到的发展水平),表现为学生能够独立地、自主地完成教师提出的智力任务;
另一种是潜在发展水平(可能达到的发展水平),表现为学生还不能独立地完成教师提出的智力任务,但是在教师的指导下,通过自己的努力才能完成的智力任务.在现有发展水平与潜在发展水平之间存在一个“最近发展区”,教学要在“最近发展区”围绕数学的概念、例(习)题,变换同类事物的非本公质特征,让学生经历适当的困难,体验探究的过程,帮助学生达到更高的潜在水平.变式要循序渐进,应限制在学生水平的“最近发展区”,要符合学生的认知规律,有较强的梯度性,逐步深入,让学生跳一跳能摘到果子,切不可搞“一步到位”,否则会使学生产生畏难情绪,影响问题的解决,降低学习的效率。
案例2:
在学习完等差、等比数列,求数列的通项公式中,可以先进行复习巩固再进行变式探索
当数列{an}中满足a1=2,an+1=an+3(n1),求数列通项公式
当数列{an}中满足a1=2,an+1=3an(n1),求数列通项公式
变式1数列{an}满足a1=2,an+1=2an+3(n∈n*),求通项公式
思考:
数列{an}满足:
首项为a1,an+1=pan+q(n∈n*,p,q为非零常数),求通项公式
变式2、数列{an}满足a1=2,an+1=2an+2n,(n∈n*),求通项公式
数列{an}满足a1=2,an+1=3an+2n,(n∈n*),求通项公式
以上题目直观看,都是由递推公式求通项公式的问题,实际上难度是逐级增加的,有较强的梯度,练习中的两道基础题直接判断数列为等差等比数列,代入通项公式,或利用叠加、叠乘求通项公式。
变式1启发学生等式两边配一个常数,设an+1+λ=2(an+λ),构造出一个新的等比数列,进而解出通项an,并思考此类型的递推关系求通项所配凑的常数与p,q的关系。
变式2再转化为变式1的类型即可。
3、变式教学要有对比性
变式教学要有可比性,在新知识教学中,精心设计铺垫性变式题组,既体现在知识、思维上的铺垫,又展示知识的发生过程,在新旧知识的比较中找准新知识的生长点,让学生利用已有的知识结构来同化新知识,实现知识的迁移。
利用可比性变式教学展示知识的发生过程,促进知识的迁移!
案例3双曲线概念教学中的变式设计新授课上,学生学习了双曲线定义后,引导学生mf1-mf2=2a(2a02、x-3x+1>
03、x-3x+104、x-3x+1>
1
通过解以上不等式总结解分式不等式的基本步骤:
1.当分母可以确定正负时,直接去分母
2.当分母不能确定正负时,通过移项通分化为f(x)g(x)>
0或f(x)g(x)≥0形式
3.转化为不等式f(x)·
g(x)>
0或f(x)·
g(x)≥0g(x)≠0
4.解整式不等式或不等式组即可
巩固提升变式训练:
不等式3x2+2x+2x2+x+1m,对于任意实数x均成立,求m的范围。
这组变式题组是围绕解分式不等式教学目标,可比性很强,学生在审题过程中观察、比较、由易到难、由旧知到新知逐步过渡,还有为“学有余力”的学生专门设置的综合提升题,以解决他们“吃不饱”的问题。
解分式不等式时有些同学总是讨论分母的正负,从而进行分类讨论,转化为不等式组,作为教师要尽可能的尊重学生的理解方法,学生谈出自己的观点后,教师再进行综合。
给学生思考的空间,要营造适用学生发展的环境,为他们创设发展的空间,提供发挥他们创造潜能的机会。
在这种宽松氛围下大家的参与是积极的,思维是活跃的,不同的人会获得不同的发展。
4、变式教学要有联系性
利用变式教学沟通知识的内在联系,促进知识网络的形成。
在巩固练习和阶段复习时,精心设计一些有坡度、有联系的题组,沟通知识间的联系,有利于扩展学生原有认知结构,形成知识网络。
案例5:
做二次函数在闭区间上的最值的专题复习时,设计如下变式题型:
1、设f(x)=x2-x+2,x∈-1,1,求f(x)的最值
变式1、已知x1,x2是是方程2x2-4mx+(5m2-9m-12)=0的两个实数根,求y=x21+x22的最值。
变式2、已知f(x)=x2-2x+2,若f(x)在区间t,t+1.(t∈r)上的最小值记为g(t),求g(t)的表达式。
变式3求f(x)=-x2+2ax+1(a∈r)在区间0,2上的最大值
变式4、设函数f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值为g(a)(a∈r)
(1)求g(a)
(2)当g(a)=12时,求a的值,并求此时f(x)的最大值
变式设计:
第1题直接利用图象或二次函数的单调性求出最值
变式1、根据韦达定理可得y=-m2+9m+12,又由δ≥0可得-1≤m≤4
变式2、变式3分别为定轴动区间和定、区间动轴的问题,需要分三类进行讨论
变式4、属于深化提升能力型题目
这组变式题目的设置,除了解决单个的数学问题外,通过几个问题的前后联系以及解决这些问题的方法的变化,形成一种更高层次的思维方法,以达到对问题本质的了解、问题规律的掌握、知识技能的巩固、思维的拓展与迁移等目的.这种题组并不是几个独立数学问题的简单组合,而是注重题目之间的内在联系,它们的解决能启示一种客观规律,能引导与启发学生掌握这种规律。
5、变式教学要有强化性
利用变式教学强化定理公式的条件和适用范围,培养严谨思维。
在学习定理公式的教学过程中,运用变式教学可以明确公式定理的条件,结论和适用范围,注意事项等关键之处,让学生深入理解定理公式的本质,从而培养学生严密的逻辑推理能力和正确演算能力。
案例6:
判断下列函数的奇偶性,并说明理由:
(1)①f(x)=-3x,x∈r,且x≠0
②f(x)=-3x,x∈[-1,0)∪(0,1]
③f(x)=-3x,x∈[-1,0)∪(0,1)
④f(x)=-3x,x∈(0,+∞)
(2)①f(x)=x-1x2x-1②f(x)=lg(1-x2)x+3-3学生易错为第
(2)组:
①∵f(x)=x-1x2x-1=x2∴f(-x)=(-x)2=x2=f(x)∴f(x)为偶函数
②∵f(-x)=lg1-x2-x+3-3∴f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x)∴f(x)为非奇非偶函数
事实上,要先考虑函数的定义域,根据函数的定义域将函数进行化简后再判断函数的奇偶性。
正确解法为:
①由x-1≠0得x≠1(定义域不关于原点对称)∴f(x)为非奇非偶函数
②由1-x2>
0x+3-3≠0得x∈-1,0∪0,1此时,f(x)=lg1-x2x+3-3=lg1-x2x
∴f(-x)=lg1-x2-x=-f(x)∴f(x)为奇函数
均值这组变式题,通过引发学生头脑中固有思维模式的冲突,使学生加强了对“定义域关于原点对称”的必要性的理解。
案例7:
新授定理a,b∈r+,则则a+b2≥ab(当且仅当时取“=”)时,强调定理使用的条件是“一正、二定、三相等”,通过如下课本习题进行变式练习。
原题(人教a版必修五p100练习1)x>
0,当x取什么值,求x+1x的值最小?
最小指是多少?
变式1、当x5,函数y=4x+9x-5的最小值。
变式4、当x>
3时,函数y=x+1x的最小值为2吗?
变式5、函数y=x2+2+1x2+2的最小值为2吗?
为什么?
均值不等式是高中数学的一个重要知识点,但学生在使用时,很容易疏忽定理使用的条件“一正二定三相等”。
因此在教学中由课.后习题出发,利用条件特殊化即将原题中一
般条件,改为具有特定性的条件,使题目具有特殊性.设计三个变式练习的解答,强化了对定理成立的三个条件“一正、二定、三相等”的理解与掌握,为定理的正确使用打下了较坚实的基础.
著名的教学教育家波利亚曾形象地指出:
“好问题同某种蘑茹有些相像,它们都成堆地生长,找到一个以后,你应当在周围找找,很可能附近就有好几个。
”
由此看出,在数学教学中,若教师能有意识地引导学生研究课本中的一些典型问题,由一个基本问题出发,运用类比、联想、特殊化和一般化的思维方法,探索问题的发展变化,就能使我们发现问题的本质,并能深入挖掘出其潜在的数学思想方法,揭示其丰富的内涵。
恰当合理的变式能营造
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