江苏专用高考数学一轮复习第七章数列推理与证明第38课直接证明与间接证明教师用书04140167Word格式文档下载.docx
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①反设——假设命题的结论不成立,即假定原结论的反面为真;
②归谬——从反设和已知条件出发,经过一系列正确的逻辑推理,得出矛盾结果;
③存真——由矛盾结果,断定反设不真,从而肯定原结论成立.
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)综合法的思维过程是由因导果,逐步寻找已知的必要条件.( )
(2)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条件.( )
(3)用反证法证明时,推出的矛盾不能与假设矛盾.( )
(4)在解决问题时,常常用分析法寻找解题的思路与方法,再用综合法展现解决问题的过程.( )
[答案]
(1)√
(2)×
(3)×
(4)√
2.用反证法证明命题:
“已知a,b为实数,则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是____________.
方程x2+ax+b=0没有实根 [“方程x2+ax+b=0至少有一个实根”的反面是“方程x2+ax+b=0没有实根”.]
3.要证明+<
2,可选择的方法有以下几种,其中最合理的是____________.(填序号)
①综合法;
②分析法;
③反证法;
④归纳法.
② [要证明+<
2成立,可采用分析法对不等式两边平方后再证明.]
4.已知a,b,x均为正数,且a>
b,则与的大小关系是__________.
>
[∵-=>
0,
∴>
.]
5.(教材改编)在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列,a,b,c成等比数列,则△ABC的形状为__________三角形.
等边 [由题意2B=A+C,
又A+B+C=π,∴B=,又b2=ac,
由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac,
∴a2+c2-2ac=0,即(a-c)2=0,∴a=c,
∴A=C,∴A=B=C=,∴△ABC为等边三角形.]
综合法
如图381所示,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=AD=.
(1)求证:
平面PAB⊥平面PCD;
(2)求三棱锥DPBC的体积.
图381
[解]
(1)因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,
又CD⊥AD,所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥PA.
因为PA=PD=AD,所以△PAD是等腰直角三角形,且∠APD=,即PA⊥PD.
又CD∩PD=D,所以PA⊥平面PCD
又PA⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PCD.
(2)取AD的中点O,连接OP,如图
因为PA=PD,所以PO⊥AD.
因为平面PAD⊥平面ABCD,平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,
所以PO⊥平面ABCD.
即PO为三棱锥PBCD的高,
由PA=PD=AD=,知OP=1.
因为底面ABCD是正方形,所以S△BCD=×
2×
2=2.所以V三棱锥DPBC=V三棱锥PBCD=PO·
S△BCD=×
1×
2=.
[规律方法] 综合法是“由因导果”的证明方法,其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法,常与分析法结合使用,用分析法探路,综合法书写,但要注意有关定理、性质、结论题设条件的正确运用.
[变式训练1] 已知函数f(x)=ln(1+x),g(x)=a+bx-x2+x3,函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线.
(1)求a,b的值;
(2)证明:
f(x)≤g(x).【导学号:
62172205】
[解]
(1)f′(x)=,g′(x)=b-x+x2,
由题意得
解得a=0,b=1.
令h(x)=f(x)-g(x)
=ln(x+1)-x3+x2-x(x>
-1).
h′(x)=-x2+x-1=.
所以h(x)在(-1,0)上为增函数,在(0,+∞)上为减函数.
h(x)max=h(0)=0,h(x)≤h(0)=0,即f(x)≤g(x).
分析法
已知a>
0,求证:
-≥a+-2.
[证明] 要证-≥a+-2,
只需要证+2≥a++.
因为a>
0,故只需要证2≥2,
即a2++4+4≥a2+2++2+2,
从而只需要证2≥,
只需要证4≥2,
即a2+≥2,而上述不等式显然成立,故原不等式成立.
[规律方法] 1.当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接,或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时,往往采用分析法,特别是含有根号、绝对值的等式或不等式,常考虑用分析法.
2.分析法的特点和思路是“执果索因”,逐步寻找结论成立的充分条件,即从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等,通常采用“欲证—只需证—已知”的格式,在表达中要注意叙述形式的规范性.
[变式训练2] 已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,A,B,C的对边分别为a,b,c.
求证:
+=.
[证明] 要证+=,
即证+=3,也就是+=1,
只需证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),
需证c2+a2=ac+b2,
又△ABC三内角A,B,C成等差数列,故B=60°
,
由余弦定理,得
b2=c2+a2-2accos60°
即b2=c2+a2-ac,故c2+a2=ac+b2成立.
于是原等式成立.
设{an}是公比为q的等比数列.
(1)推导{an}的前n项和公式;
(2)设q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列.
[解]
(1)设{an}的前n项和为Sn,
当q=1时,Sn=a1+a1+…+a1=na1;
当q≠1时,Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,①
qSn=a1q+a1q2+…+a1qn,②
①-②得,(1-q)Sn=a1-a1qn,
∴Sn=,∴Sn=
假设{an+1}是等比数列,则对任意的k∈N+,
(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1),
a+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1,
aq2k+2a1qk=a1qk-1·
a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1.
∵a1≠0,∴2qk=qk-1+qk+1.∵q≠0,∴q2-2q+1=0,
∴q=1,这与已知矛盾.
∴假设不成立,故{an+1}不是等比数列.
[规律方法] 用反证法证明问题的步骤:
(1)反设:
假定所要证的结论不成立,而设结论的反面成立;
(否定结论)
(2)归谬:
将“反设”作为条件,由此出发经过正确的推理,导出矛盾,矛盾可以是与已知条件、定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾;
(推导矛盾)
(3)立论:
因为推理正确,所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误.既然原命题结论的反面不成立,从而肯定了原命题成立.(命题成立)
[变式训练3] 已知a≥-1,求证三个方程:
x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根.【导学号:
62172206】
[证明] 假设三个方程都没有实数根,则
⇒
∴-<
a<
-1.
这与已知a≥-1矛盾,所以假设不成立,故原结论成立.
[思想与方法]
1.综合法与分析法的关系:
分析法与综合法相辅相成,对较复杂的问题,常常先从结论进行分析,寻求结论与条件的关系,找到解题思路,再运用综合法证明;
或两种方法交叉使用.
2.反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立.反证法证明的关键:
①准确反设;
②从否定的结论正确推理;
③得出矛盾.
[易错与防范]
1.用分析法证明数学问题时,要注意书写格式的规范性,常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论P,再说明所要证明的数学问题成立.
2.利用反证法证明数学问题时,没有用假设命题推理而推出矛盾结果,其推理过程是错误的.
课时分层训练(三十八)
A组 基础达标
(建议用时:
30分钟)
一、填空题
1.下列表述:
①综合法是由因导果法;
②综合法是顺推法;
③分析法是执果索因法;
④分析法是逆推法;
⑤反证法是间接证法.其中正确的个数有____________.(填序号)
①②③④⑤ [由分析法、综合法、反证法的定义知①②③④⑤都正确.]
若整数系数的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理实数根,则a,b,c中至少有一个是偶数.下列假设中正确的是____________.(填序号)
①假设a,b,c至多有一个是偶数;
②假设a,b,c至多有两个偶数;
③假设a,b,c都是偶数;
④假设a,b,c都不是偶数.
④ [“至少有一个”的否定为“一个都没有”,即假设a,b,c都不是偶数.]
3.若a,b,c为实数,且a<
b<
0,则下列命题正确的是____________.
【导学号:
62172207】
①ac2<
bc2;
②a2>
ab>
b2;
③<
;
④>
.
② [a2-ab=a(a-b),
∵a<
0,∴a-b<
∴a2-ab>
∴a2>
ab.
又ab-b2=b(a-b)>
0,∴ab>
b2,
即a2>
b2.]
4.分析法又称执果索因法,若用分析法证明:
“设a>
b>
c,且a+b+c=0,求证<
a”索的因应是________.(填序号)
①a-b>
0;
②a-c>
0;
③(a-b)(a-c)>
④(a-b)(a-c)<
0.
③ [由题意知<
a⇐b2-ac<
3a2
⇐(a+c)2-ac<
⇐a2+2ac+c2-ac-3a2<
⇐-2a2+ac+c2<
⇐2a2-ac-c2>
⇐(a-c)(2a+c)>
0⇐(a-c)(a-b)>
0.]
5.用反证法证明“若x2-1=0,则x=-1或x=1”时,应假设__________.
x≠-1且x≠1 [“x=-1或x=1”的否定是“x≠-1且x≠1”.]
6.设a>
0,m=-,n=,则m,n的大小关系是__________.
m<
n [法一(取特殊值法):
取a=2,b=1,得m<
n.
法二(分析法):
-<
⇐+>
⇐a<
b+2·
+a-b⇐2·
0,显然成立.]
7.下列条件:
①ab>
0,②ab<
0,③a>
0,b>
0,④a<
0,b<
0,其中能使+≥2成立的条件的个数是__________.
3 [要使+≥2,只要>
0,且>
0,即a,b不为0且同号即可,故有3个.]
8.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,若x1+x2>
0,则f(x1)+f(x2)____________0.(填“>
”“<
”或“=”)【导学号:
62172208】
<
[∵x1+x2>
0,∴x1>
-x2,
又f(x)是奇函数,且在[0,+∞)上单调递减,
故f(x)在R上单调递减,
故
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