18年高考数学二轮复习专题19排列组合二项式定理教学案理Word文件下载.docx

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（2）二项式定理

（a＋b）n＝Can＋Can－1b1＋Can－2b2＋…＋Can－k·

bk＋…＋Cbn，其中通项Tr＋1＝Can－rbr.

（3）二项式系数的性质

①C＝C，C＝C，…，C＝C；

②C＋C＋C＋…＋C＝2n；

③C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.

考点一排列与组合

例1．【2017课标II，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）

A．12种B．18种C．24种D．36种

【答案】D

【变式探究】【2016年高考四川理数】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为

（A）24（B）48（C）60（D）72

【解析】由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有种排法，所以奇数的个数为，故选D.

【变式探究】

（2015·

四川，6）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）

A．144个B．120个C．96个D．72个

解析由题意，首位数字只能是4，5，若万位是5，则有3×

A＝72个；

若万位是4，则有2×

A个＝48个，故40000大的偶数共有72＋48＝120个．选B.

答案B

考点二排列组合中的创新问题

例2．用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球．由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1＋a）（1＋b）的展开式1＋a＋b＋ab表示出来，如：

“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（）

A．（1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5）（1＋b5）（1＋c）5

B．（1＋a5）（1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5）（1＋c）5

C．（1＋a）5（1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5）（1＋c5）

D．（1＋a5）（1＋b）5（1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5）

解析分三步：

第一步，5个无区别的红球可能取出0个，1个，…，5个，则有（1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5）种不同的取法；

第二步，5个无区别的蓝球都取出或都不取出，则有（1＋b5）种不同取法；

第三步，5个有区别的黑球看作5个不同色，从5个不同色的黑球中任取0个，1个，…，5个，有（1＋c）5种不同的取法，所以所求的取法种数为（1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5）（1＋b5）（1＋c）5，故选A.

答案A

【变式探究】设集合A＝{（x1，x2，x3，x4，x5）|xi∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为（）

A．60B．90C．120D．130

答案D

考点三二项展开式中项的系数

例3．【2016年高考北京理数】在的展开式中，的系数为__________________.（用数字作答）

【答案】60.

【解析】根据二项展开的通项公式可知，的系数为。

【变式探究】

新课标全国Ⅰ，10）（x2＋x＋y）5的展开式中，x5y2的系数为（）

A．10B．20C．30D．60

解析Tk＋1＝C（x2＋x）5－kyk，∴k＝2.

∴C（x2＋x）3y2的第r＋1项为CCx2（3－r）xry2，∴2（3－r）＋r＝5，解得r＝1，∴x5y2的系数为CC＝30.

答案C

考点四二项展开式中的常数项

例4．【2016年高考四川理数】设i为虚数单位，则的展开式中含x4的项为

（A）－15x4（B）15x4（C）－20ix4（D）20ix4

【答案】A

【解析】二项式展开的通项，令，得，则展开式中含的项为，故选A.

湖南，6）已知的展开式中含x的项的系数为30，则a＝（）

A.B．－C．6D．－6

解析的展开式通项Tr＋1＝Cx（－1）rar·

x－＝（－1）rarCx－r，令－r＝，则r＝1，

∴T2＝－aCx，∴－aC＝30，∴a＝－6，故选D.

考点五二项式定理的综合应用

例5．【2017课标1，理6】展开式中的系数为

A．15B．20C．30D．35

【答案】C

【变式探究】【2016高考山东理数】若（ax2+）5的展开式中x5的系数是—80，则实数a=_______.

【答案】－2

【解析】因为，所以由，因此

陕西，4）二项式（x＋1）n（n∈N＋）的展开式中x2的系数为15，则n＝（）

A．4B．5C．6D．7

解析由题意易得：

C＝15，C＝C＝15，即＝15，解得n＝6.

1.【2017课标1，理6】展开式中的系数为

【解析】因为，则展开式中含的项为，展开式中含的项为，故前系数为，选C.

2.【2017课标II，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）

3.【2017天津，理14】用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）

【答案】1080

【解析】

4.【2017山东，理11】已知的展开式中含有项的系数是，则.

【答案】4

【解析】由二项式定理的通项公式，令得：

，解得．

1.【2016高考新课标2理数】如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）

（A）24（B）18（C）12（D）9

【答案】B

【解析】由题意，小明从街道的E处出发到F处最短路径的条数为6，再从F处到G处最短路径的条数为3，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为，故选B.

2.【2016年高考四川理数】设i为虚数单位，则的展开式中含x4的项为

3.【2016年高考四川理数】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为

4.【2016高考新课标3理数】定义“规范01数列”如下：

共有项，其中项为0，项

为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若，则不同的“规范01数列”共有

（）

（A）18个（B）16个（C）14个（D）12个

【答案】C

【解析】由题意，得必有，，则具体的排法列表如下：

1

5.【2016年高考北京理数】在的展开式中，的系数为__________________.（用数字作答）

6.【2016高考新课标1卷】的展开式中,x3的系数是.（用数字填写答案）

【答案】10

7.【2016高考天津理数】的展开式中x2的系数为__________.（用数字作答）

【答案】－56

【解析】展开式通项为，令，，所以的．故答案为－56．

8.【2016高考山东理数】若（ax2+）5的展开式中x5的系数是—80，则实数a=_______.

9.【2016高考江苏卷】

（本小题满分10分）

（1）求的值；

（2）设m，nN*，n≥m，求证：

（m+1）+（m+2）+（m+3）+…+n+（n+1）=（m+1）.

【答案】

（1）0

（2）详见解析

1．（2015·

广东，12）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言（用数字作答）．

解析依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A＝40×

39＝1560条毕业留言．

答案1560

2．（2015·

北京，9）在（2＋x）5的展开式中，x3的系数为________（用数字作答）．

解析展开式通项为：

Tr＋1＝C25－rxr，∴当r＝3时，系数为C·

25－3＝40.

答案40

3．（2015·

天津，12）在的展开式中，x2的系数为________．

解析的展开式的通项Tr＋1＝Cx6－r＝Cx6－2r；

当6－2r＝2时，r＝2，所以x2的系数为

C＝.

答案

1.【2014高考广东卷理第8题】设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为（）

A.B.C.D.

【考点定位】计数原理

2.【2014高考湖北卷理第2题】若二项式的展开式中的系数是84，则实数（）

A.2B.C.1D.

【解析】因为，令，得，

所以，解得，故选C.

【考点定位】二项式定理的通项公式

3.【2014高考湖南卷第4题】的展开式中的系数是（）

A.B.C.5D.20

【解析】根据二项式定理可得第项展开式为,则时,

所以的系数为,故选A.

【考点定位】二项式定理

4.【2014大纲高考理第5题】有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）

A．60种B．70种C．75种D．150种

【答案】C．

【解析】由已知可得不同的选法共有，故选C．

【考点定位】排列组合．

5.【2014大纲高考理第13题】的展开式中的系数为.

【答案】70.

【解析】设的展开式中含的项为第项，则由通项知

．令，解得，

∴的展开式中的系数为．

【考点定位】二项式定理．

6.【2014高考北京卷理第13题】把5件不同产品摆成一排，若产品与产品相邻，且产品与产品不相邻，则不同的摆法有种.

【答案】36

【考点定位】排列组合

7.【2014高考安徽卷理第13题】设是大于1的自然数