第20炼 一元不等式的证明Word格式文档下载.docx
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4、若在证明中,解析式可分解为几个因式的乘积,则可对每个因式的符号进行讨论,进而简化所构造函数的复杂度。
5、合理的利用换元简化所分析的解析式。
6、判断解析式符号的方法:
(1)对解析式进行因式分解,将复杂的式子拆分为一个个简单的式子,判断出每个式子的符号即可得到解析式的符号
(2)将解析式视为一个函数,利用其零点(可猜出)与单调性(利用导数)可判断其符号
(3)将解析式中的项合理分组,达到分成若干正项的和或者若干负项的和的结果,进而判断出解析式符号
二、典型例题:
例1:
求证:
思路:
移项构造函数求解即可
所证不等式等价于:
令则只需证明:
令解得:
↗
↘
即所证不等式成立
小炼有话说:
(1)此题的解法为证明一元不等式的基本方法,即将含的项移至不等号的一侧,构造函数解决。
(2)一些常见不等关系可记下来以备使用:
①②③
例2:
设函数,证明:
当时,
本题依然考虑构造函数解决不等式,但如果仅仅是移项,则所证不等式为,令,其导函数比较复杂(也可解决此题),所以考虑先对不等式进行等价变形,转变为形式较为简单的不等式,再构造函数进行证明
,所以所证不等式等价于
设只需证即可
令
在单调递减,在单调递增
故不等式得证
本题在证明时采取先化简再证明的策略,这也是我们解决数学问题常用的方法之一,先把问题简单化再进行处理。
在利用导数证明不等式的问题中,所谓的“简化”的标准就是构造的函数是否易于分析单调性。
例3:
已知函数,证明:
若化简不等式左边,则所证不等式等价于,若将左边构造为函数,则函数的单调性难于分析,此法不可取。
考虑原不等式为乘积式,且与0进行比较,所以考虑也可分别判断各因式符号,只需让与同号即可。
而的正负一眼便可得出,的符号也不难分析,故采取分别判断符号的方法解决。
解:
在单调递减,在单调递增
为增函数
时,
时,
综上所述,成立
与0比较大小也可看做是判断一侧式子的符号,当不等式的一侧可化为几个因式的乘积时,可分别判断每一个因式的符号(判断相对简单),再决定乘积的符号。
例4:
已知,其中常数
(1)当时,求函数的极值
(2)求证:
(1)当时,
,
在单调递增
时,,,
的极小值为,无极大值
(2)思路:
本题如果直接构将左侧构造函数,则导数过于复杂,不易进行分析,所以考虑将所证不等式进行变形成“”的形式。
由第
(1)问可得:
,即,则所证不等式两边同时除以,即证:
,而,所以只需构造函数证明即可
由
(1)得
所证不等式:
设
令可解得:
在单调递增,在单调递减
即
例5:
已知
(1)当时,求在的最值
(1)
的单调区间为
①
②时,
所证不等式,若都移到左边构造函数,则函数很难分析单调性,进而无法求出最值。
本题考虑在两边分别求出最值,再比较大小即可
所证不等式等价于
设
令在单调递减,在单调递增
所证不等式成立
例6:
设为常数),曲线与直线在(0,0)点相切.
(1)求的值.
(2)证明:
当时,.
(1)过点
所证不等式等价于,若将的表达式挪至不等号一侧,则所构造的函数中,求导后结构比较复杂。
观察到对数与根式均含有,进而考虑换元化简不等式。
另一方面,当时,,而是所证的临界值,进而会对导数值的符号有所影响。
所证不等式等价于:
令则不等式转化为:
(若不去分母,导函数比较复杂,不易分析)
令
只需证即可
观察
进而考虑的单调性(尽管复杂,但有零点在,就能够帮助继续分析,坚持往下进行)
单调递增,
单调递减(是的零点,从而引发连锁反应)
单调递减即所证不等式成立
本题有以下两个亮点
(1)利用换元简化所证不等式
(2)零点的关键作用:
对于化简后的函数而言,形式依然比较复杂,其导函数也很难直接因式分解判断符号,但是由于寻找到这个零点,从而对导函数的符号判断指引了方向,又因为发现也是导函数的零点,于是才决定在对导函数求一次导,在二次导函数中判断了符号,进而引发连锁反应,最终证明不等式。
可以说,本题能坚持对进行分析的一个重要原因就是这个零点。
例7:
(2015,福建,20)已知函数
(1)求证:
当时,存在,使得对任意的,恒有
(1)思路:
所证不等式为:
,只需将含的项移植不等号一侧,构造函数即可证明
,设
在单调递减时,
即得证
本题的目标是要找到与相关的,因为函数形式较为简单,所以可以考虑移至不等号一侧:
,设,,因为,所以只需在单增即可。
可对进行和分类讨论。
设则且
令,即
①当时,解得恒成立
在单调递增可取任意正数
②当时,,当,,故可取任意正数
③当时,解得,而
,均有,只需取即可
综上所述:
存在,使得对任意的,恒有
例8:
已知函数(为常数,,是自然对数的底数),曲线在处的切线与轴平行
(1)求的值
(2)设,其中为的导函数。
对
处的切线与轴平行
:
(2)所证不等式等价于:
令
若要证,只需证
设,令解得:
在单调递增
,即原不等式得证
例9:
已知函数,函数的导函数,且,其中为自然对数的底数.
(1)求的极值;
(2)当时,对于,求证:
.
(1)函数的定义域为,.
当时,,在上为增函数,没有极值;
当时,令
在单调增,在单调递减
有极大值,无极小值
(2)当时,,令,即
,则在上为增函数
在上为增函数
时,时,
,由可知
例10:
设函数.
(1)证明:
时,函数在上单调递增;
(2)证明:
.
(1)只需证即可
在单调递增
即函数在上单调递增
对所证不等式,若直接将左侧构造函数,则无法求出单调区间和最值。
(导函数中含有无法进一步运算),所以考虑将左侧的一部分挪至不等号另一侧,构造两个函数进行比较。
(右边,考虑能否恒大于4,,在处单调减,在单调递增,故为增函数,但无法求的最小值。
无法用证明。
考虑其他思路。
所证不等式也可变为,在第一问中令可得,只需证明即可)
即由
(1)问可得:
原不等式得证
(1)前两种尝试是最容易想到的,但是尝试后为什么放弃?
第一种尝试是因为导函数中项结构复杂,无法判断单调区间。
而第二种尝试局限性较大,即必须左端最小大于右端最大才可,尽管新的函数单调性能够分析,但是无法确定其最小值,所以放弃。
在构造函数证不等式时,一要看构造的函数能否进行分析(即单调性,最值),二要看是否吻合预期的结果。
否则便要考虑从其他角度入手。
(2)对于第二种尝试,求单调区间比较麻烦。
有能力的同学可以尝试特殊值法来排除,比如令,那么显然左边要小于4。
(3)本题的解法有几个亮点:
①提取一个后,左端构造的函数更易分析性质
②利用第一问过程中产生的结论:
,这也是一个常见的不等式。
③所用的不等式性质为:
(注意必须均为正项)。
由此性质也可推广出一条判断函数增减性的方法:
已知在区间恒大于零,若均在区间单调递增,则在区间也单调递增。
例如在是单调递增的。
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