版高考数学北师大版理科一轮复习攻略 102 直线的交点坐标与距离公式Word文档下载推荐.docx

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（-2）,得m=2或m=-1,经验证,当m=-1时,直线l1与l2重合,舍去,所以“m=2”是“l1∥l2”的充要条件.

2.选A.由l1⊥l2得

2（m+1）（m-3）+2（m-3）=0,解得m=3或m=-2.

3.方法一:

当a=1时,l1:

x+2y+6=0,

l2:

x=0,l1不平行于l2;

当a=0时,l1:

y=-3,l2:

x-y-1=0,l1不平行于l2;

当a≠1且a≠0时,两直线方程可化为l1:

y=-x-3,l2:

y=x-（a+1）,由l1∥l2可得解得a=-1.

综上可知,a=-1.

方法二:

由l1∥l2知

即⇒⇒a=-1.

答案:

-1

4.方法一:

2y+6=0,l2:

x=1,l1与l2垂直,故a=0符合;

当a≠0时,l1:

y=-x-3,

y=-x-,

由l1⊥l2,得·

=≠-1,

所以此时不成立.

因为l1⊥l2,所以A1A2+B1B2=0,

即a+2a=0,得a=0.

1.解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”

2.在判断两直线的平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.

考点二　两条直线的相交、距离问题 

【典例】1.（2020·

北京模拟）已知点M（0,-1）,点N在直线x-y+1=0上,若直线MN垂直于直线x+2y-3=0,则点N的坐标是（　　）

A.（-2,-1）　　B.（2,3）　C.（2,1）　D.（-2,1）

2.已知点P（4,a）到直线4x-3y-1=0的距离不大于3,则a的取值范围是________. 

3.若两平行直线3x-2y-1=0,6x+ay+c=0之间的距离为,则c的值是________.世纪金榜导学号 

【解题导思】

序号

联想解题

1

由N为直线MN和直线x-y+1=0的交点,想到联立两直线方程求交点.

2

由点P到直线4x-3y-1=0的距离想到点到直线的距离公式解题.

3

由题意联想到两平行线间距离公式.

【解析】1.选B.因为点N在直线x-y+1=0上,

所以可设点N坐标为（x0,x0+1）.

根据经过两点的直线的斜率公式,得kMN==.

因为直线MN垂直于直线x+2y-3=0,直线x+2y-3=0的斜率k=-,

所以kMN×

=-1,即=2,解得x0=2.因此点N的坐标是（2,3）.

2.由题意得,点P到直线4x-3y-1=0的距离为=.

又≤3,即|15-3a|≤15,解之得0≤a≤10,所以a的取值范围是[0,10].

[0,10]

3.依题意知,=≠,解得a=-4,c≠-2,即直线6x+ay+c=0可化为3x-2y+=0,又两平行线之间的距离为,所以=,解得c=2或-6.

2或-6

1.求过两直线交点的直线方程的方法

求过两直线交点的直线方程,先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.

2.处理距离问题的两大策略

（1）点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求.

（2）动点到两定点距离相等,一般不直接利用两点间距离公式处理,而是转化为动点在以两定点为端点的线段的垂直平分线上,从而简化计算.

3.利用距离公式应注意:

（1）点P（x0,y0）到直线x=a的距离d=|x0-a|,到直线y=b的距离d=|y0-b|;

（2）两平行线间的距离公式要把两直线方程中x,y的系数分别化为相等.

1.求经过两条直线l1:

x+y-4=0和l2:

x-y+2=0的交点,且与直线2x-y-1=0垂直的直线方程为________. 

2.直线l过点P（-1,2）且到点A（2,3）和点B（-4,5）的距离相等,则直线l的方程为________. 

【解析】1.由得

所以l1与l2的交点坐标为（1,3）.

设与直线2x-y-1=0垂直的直线方程为x+2y+c=0,则1+2×

3+c=0,所以c=-7.

所以所求直线方程为x+2y-7=0.

x+2y-7=0

2.方法一:

当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k（x+1）,即kx-y+k+2=0.

由题意知=,

即|3k-1|=|-3k-3|,所以k=-,

所以直线l的方程为y-2=-（x+1）,

即x+3y-5=0.

当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,也符合题意.

当AB∥l时,有k=kAB=-,

直线l的方程为y-2=-（x+1）,即x+3y-5=0.

当l过AB中点时,AB的中点为（-1,4）,

所以直线l的方程为x=-1.

故所求直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1.

x+3y-5=0或x=-1

考点三　对称问题 

命

题

精

解

读

1.考什么:

（1）两直线的垂直关系;

（2）中点坐标公式.

2.怎么考:

1.直接求对称点或直线;

2.求解折线最短问题;

3.求三角形的角平分线的方程.

3.新趋势:

1.折线最短问题;

2.以点的对称为载体与圆、不等式等结合.

学

霸

好

方

法

两种对称问题的处理方法

（1）点关于直线的对称:

若两点P1（x1,y1）与P2（x2,y2）关于直线l:

Ax+By+C=0对称,则线段P1P2的中点在l上,而且连接P1P2的直线垂直于l,列出方程组,可得到点P1关于l对称的点P2的坐标（x2,y2）（其中B≠0,x1≠x2）.

（2）直线关于直线的对称:

此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况:

一是已知直线与对称轴相交;

二是已知直线与对称轴平行.

点关于点的对称

【典例】过点P（0,1）作直线l使它被直线l1:

2x+y-8=0和l2:

x-3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为________. 

【解析】设l1与l的交点为A（a,8-2a）,则由题意知,点A关于点P的对称点B（-a,2a-6）在l2上,代入l2的方程得-a-3（2a-6）+10=0,解得a=4,即点A（4,0）在直线l上,所以直线l的方程为x+4y-4=0.

x+4y-4=0

点P与直线l与直线l1,l2的交点有何关系?

提示:

点P是直线l与直线l1,l2的交点所连接线段的中点.

点关于直线的对称

【典例】

（2020·

淮安模拟）已知入射光线经过点M（-3,4）,被直线l:

x-y+3=0反射,反射光线经过点N（2,6）,则反射光线所在直线的方程为________.世纪金榜导学号 

【解析】设点M（-3,4）关于直线l:

x-y+3=0的对称点为M′（a,b）,则反射光线所在直线过点M′,

所以

解得a=1,b=0.

又反射光线经过点N（2,6）.

所求直线的方程为=,即6x-y-6=0.

6x-y-6=0

点M和它的对称点M′的连线段MM′与直线l有什么关系?

垂直

直线关于直线对称

（2019·

郑州模拟）直线2x-y+3=0关于直线x-y+2=0对称的直线方程是世纪金榜导学号（　　）

A.x-2y+3=0　B.x-2y-3=0

C.x+2y+1=0　D.x+2y-1=0

【解析】选A.设所求直线上任意一点P（x,y）,则P关于x-y+2=0的对称点为P′（x0,y0）,

因为PP′的中点在直线x-y+2=0上,

又因为kPP′×

1=-1,

所以由　得

由点P′（x0,y0）在直线2x-y+3=0上,

所以2（y-2）-（x+2）+3=0,即x-2y+3=0.

是否可以在直线2x-y+3=0上取一个特殊点求解?

可以取直线2x-y+3=0上两点并求出其关于直线x-y+2=0的对称点,根据两对称点求直线方程.

1.（2020·

岳阳模拟）直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是（　　）

A.x+2y-1=0　B.2x+y-1=0

C.2x+y-3=0　D.x+2y-3=0

【解析】选D.方法一:

设所求直线上任一点为（x,y）,则它关于x=1的对称点（2-x,y）在直线x-2y+1=0上,所以2-x-2y+1=0,化简得x+2y-3=0.

根据直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线斜率是互为相反数得答案A或D,再根据两直线交点在直线x=1上知选D.

2.从点（2,3）射出的光线沿与向量a=（8,4）平行的直线射到y轴上,则反射光线所在的直线方程为（　　）

A.x+2y-4=0B.2x+y-1=0

C.x+6y-16=0D.6x+y-8=0

【解析】选A.由直线与向量a=（8,4）平行知,过点（2,3）的直线的斜率k=,所以直线的方程为y-3=（x-2）,其与y轴的交点坐标为（0,2）,又点（2,3）关于y轴的对称点为（-2,3）,所以反射光线过点（-2,3）与（0,2）,由两点式知A正确.

1.已知直线l:

x-2y+8=0和两点A（2,0）,B（-2,-4）.在直线l上求一点P,使|PA|+|PB|最小.

【解析】设A关于直线l的对称点为A′（m,n）,

则解得

故A′（-2,8）.P为直线l上的一点,

则|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|≥|A′B|,

当且仅当B,P,A′三点共线时,|PA|+|PB|取得最小值,为|A′B|,点P即是直线

A′B与直线l的交点,解方程组得

故所求的点P的坐标为（-2,3）.

2.已知直线l:

3x-y+3=0,求:

（1）点P（4,5）关于l的对称点.

（2）直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程.

（3）直线l关于（1,2）的对称直线.

【解析】

（1）设P（x,y）关于直线l:

3x-y+3=0的对称点为P′（x′,y′）,因为

kPP′·

kl=-1,即×

3=-1.①

又PP′的中点在直线3x-y+3=0上,

所以3×

-+3=0.②由①②得

把x=4,y=5代入③④得x′=-2,y′=7,

所以点P（4,5）关于直线l的对称点P′的坐标为（-2,7）.

（2）用

（1）中的③④分别代换x-y-2=0中的x,y,

得关于l对称的直线方程为--2=0,化简得7x+y+22=0.

（3）在直线l:

3x-y+3=0上取点M（0,3）,

关于（1,2）的对称点M′（x′,y′）,

所以=1,x′=2,=2,y′=1,

所以M′（2,1）.l关于（1,2）的对称直线平行于l,

所以k=3,所以对称直线方程为y-1=3×

（x-2）,

即3x-y-5=0.

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