解析几何中的定值和定点问题Word文档格式.docx

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⑵当时，求与的关系，并证明直线过定点．

⑴∵点到，的距离之和是，∴的轨迹是长轴为，焦点在轴上焦中为的椭圆，其方程为．

⑵将，代入曲线的方程，整理得，因为直线与曲线交于不同的两点和，所以①

设，，则，②

且，显然，曲线与轴的负半轴交于点，所以，．由，得．

将②、③代入上式，整理得．所以，即或．经检验，都符合条件①，当时，直线的方程为．显然，此时直线经过定点点．即直线经过点，与题意不符．当时，直线的方程为．

显然，此时直线经过定点点，且不过点．综上，与的关系是：

，且直线经过定点点．

【针对性练习2】在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。

设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m>

0,。

（1）设动点P满足,求点P的轨迹；

（2）设，求点T的坐标；

（3）设,求证：

直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。

【解析】本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。

考查运算求解能力和探究问题的能力。

（1）设点P（x，y），则：

F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。

由，得化简得。

故所求点P的轨迹为直线。

（2）将分别代入椭圆方程，以及得：

M（2，）、N（，）

直线MTA方程为：

，即，

直线NTB方程为：

，即。

联立方程组，解得：

所以点T的坐标为。

（3）点T的坐标为

分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，

解得：

、。

（方法一）当时，直线MN方程为：

令，解得：

。

此时必过点D（1，0）；

当时，直线MN方程为：

，与x轴交点为D（1，0）。

所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。

（方法二）若，则由及，得，

此时直线MN的方程为，过点D（1，0）。

若，则，直线MD的斜率，

直线ND的斜率，得，所以直线MN过D点。

因此，直线MN必过轴上的点（1，0）。

【针对性练习3】已知椭圆C中心在原点，焦点在轴上，焦距为，短轴长为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若直线：

与椭圆交于不同的两点（不是椭圆的左、右顶点），且以为直径的圆经过椭圆的右顶点．求证：

直线过定点，并求出定点的坐标．

解:

（Ⅰ）设椭圆的长半轴为，短半轴长为，半焦距为，则

解得∴椭圆C的标准方程为．……4分

（Ⅱ）由方程组消去，得

．……6分

由题意△，

整理得：

①………7分

设，则

，．………8分

由已知，，且椭圆的右顶点为，

∴　．　　……10分

即，

也即，

整理得．解得或，均满足①………11分

当时，直线的方程为，过定点，不符合题意舍去；

当时，直线的方程为，过定点，

二、定值问题

【例2】．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴的非负半轴上，点到短轴端点的距离是4，椭圆上的点到焦点距离的最大值是6.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程和离心率；

（Ⅱ）若为焦点关于直线的对称点，动点满足，问是否存在一个定点，使到点的距离为定值？

若存在，求出点的坐标及此定值；

若不存在，请说明理由.

（Ⅰ）设椭圆长半轴长及半焦距分别为，由已知得

.

所以椭圆的标准方程为.离心率

（Ⅱ）,设由得

化简得，即

故存在一个定点，使到点的距离为定值，其定值为

【例3】．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，P（2，0）为定点．

（Ⅰ）若点P为抛物线的焦点，求抛物线C的方程；

（Ⅱ）若动圆M过点P，且圆心M在抛物线C上运动，点A、B是圆M与轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线C，使|AB|为定值？

若存在，求这个定值；

若不存在，说明理由．

（Ⅰ）设抛物线方程为，则抛物线的焦点坐标为.由已知，，即，故抛物线C的方程是．

（Ⅱ）设圆心（），点A，B.因为圆过点P（2，0），则可设圆M的方程为.令，得.则，.所以.，设抛物线C的方程为，因为圆心M在抛物线C上，则.所以.由此可得，当时，为定值．故存在一条抛物线，使|AB|为定值4.

解析几何中的定值定点问题

（二）

1、已知椭圆C的离心率，长轴的左右端点分别为，。

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设直线与椭圆C交于P、Q两点，直线与交于点S。

试问：

当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？

若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；

若不是，请说明理由。

解法一：

（Ⅰ）设椭圆的方程为。

…………………1分

∵，，∴，。

………………4分

∴椭圆的方程为。

………………………………………5分

（Ⅱ）取得，直线的方程是

直线的方程是交点为…………7分,

若，由对称性可知交点为

若点在同一条直线上，则直线只能为。

…………………8分

以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上。

事实上，由得即，

记，则。

…………9分

设与交于点由得

设与交于点由得………10

，…

∴，即与重合，这说明，当变化时，点恒在定直线上。

13分

解法二：

（Ⅱ）取得，直线的方程是直线的方程是交点为…………………………………………7分

取得，直线的方程是直线的方程是交点为∴若交点在同一条直线上，则直线只能为。

……………8分

事实上，由得即，记，则。

………………9分

的方程是的方程是消去得…①以下用分析法证明时，①式恒成立。

要证明①式恒成立，只需证明即证即证………………②∵∴②式恒成立。

这说明，当变化时，点恒在定直线上。

解法三：

（Ⅱ）由得即。

……………6分

的方程是的方程是……7分

由得…………………9分

即

………………………………12分

………………13分

2、已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值

为，离心率为﹒

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点作直线交于、两点，试问：

在轴上是否存在一个定点，为定值？

若存在，求出这个定点的坐标；

若不存在，请说明理由﹒

（I）设椭圆E的方程为,由已知得：

。

2分

椭圆E的方程为。

3分

（Ⅱ）法一：

假设存在符合条件的点，又设，则：

5分

①当直线的斜率存在时，设直线的方程为：

，则

由得

7分

所以9分

对于任意的值，为定值，所以，得，

所以；

11分

②当直线的斜率不存在时，直线

由得综上述①②知，符合条件的点存在，起坐标为﹒13分

法二：

假设存在点，又设则：

=….5分

①当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，

由得7分

9分

设则

②当直线的斜率为0时，直线，由得：

综上述①②知，符合条件的点存在，其坐标为。

13分

3、已知椭圆的焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率，过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆于、两点。

（I）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设点是线段上的一个动点，且，求的取值范围；

（Ⅲ）设点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、、

三点共线？

若存在，求出定点的坐标，若不存在，请说明理由。

（I）设椭圆方程为，由题意知

故椭圆方程为

（Ⅱ）由（I）得，所以，设的方程为（）

代入，得设

则,

由，

当时，有成立。

（Ⅲ）在轴上存在定点，使得、、三点共线。

依题意知，直线BC的方程为，令，则

的方程为、在直线上，

在轴上存在定点，使得三点共线。

（Ⅱ）由（I）得，所以。

设的方程为

代入，得设则

当时，有成立。

（Ⅲ）在轴上存在定点，使得、、三点共线。

设存在使得、、三点共线，则，

，

即

，存在，使得三点共线。

4、已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。

（Ⅰ）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；

（Ⅱ）设过点F且不与坐标轴垂直交椭圆于A、B两点，线段

AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.

本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力。

（I）圆过点O、F，M在直线上。

设则圆半径

由得解得

所求圆的方程为

（II）设直线AB的方程为

代入整理得

直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根。

记中点则

的垂直平分线NG的方程为令得

点G横坐标的取值范围为