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令为一复信号,我们在第三章已定义
(4.2.1)
为的瞬时自相关函数,并定义相对的傅立叶变换
(4.2.2)
为的WVD。
除去特别说明,该式及以下各式中的积分均是从。
的对称模糊函数定义为相对变量的傅立叶逆变换[17,46,47],即:
(4.2.3)
对比(4.2.2)和(4.2.3)两式可以看到,和之间似应有某种联系,起码在形式上有一种对称联系。
由(4.2.3)式,有
(4.2.4)
对该式两边取相对变量的傅立叶变换,立即可得
(4.2.5)
该式说明,信号的WVD是其AF的二维傅立叶变换。
WVD和AF是信号的两个不同的表示形式,其关系即是(4.2.5)式。
有关WVD的含义我们已在第三章作了详细讨论。
现对模糊函数的含义在此稍作解释。
令为一复信号,定义,分别是作正、负移位和正、负频率调制所得到的新信号,即:
(4.2.6a)
(4.2.6b)
式中为时移,为频移,显然
(4.2.7)
即模糊函数可理解为信号在作时移和频率调制后的内积。
我们知道,当将信号发射出去并由一固定目标作无失真反射回来时,反射信号应是。
通过估计时间可知道从信号发射点到目标的距离。
若目标是移动的,由多普勒效应,还将产生频移,即接受到的信号应是。
因此,模糊函数在雷达理论中具有重要的作用。
读者可自行证明,模糊函数具有如下性质:
1.若,则 (4.2.8)
2.若,则 (4.2.9)
3.的最大值始终在平面的原点,且该最大值即是信号的能量,即:
(4.2.10)
如果我们再定义
(4.2.11)
为的“瞬时”谱自相关,式中为的FT,则:
(4.2.12)
(4.2.13)
且 (4.2.14)
以上各式给出了同一信号的WVD和AF的不同表示形式及内在联系,但WVD和AF有着如下本质的区别:
1.不论是实信号还是复信号,其WVD始终是实信号,但其模糊函数一般为复
函数。
两个信号,的互WVD满足
(4.2.15a)
而其互AF不存在上述关系,即
(4.2.15b)
2.WVD和AF分别处在不同的“域”:
在(4.1.1)及(4.2.1)~(4.2.15)各式中,我们遇到了五个变量,即,,,和。
显然,是时间,是频率,由(4.2.6)式,应是时移,应是频移,是积分变量。
前四个变量的不同组合形成了不同的“域”,即:
:
时-频域,对应
瞬时自相关域,对应
“瞬时”谱自相关域,对应
模糊函数域,对应
由此可以看出,我们之所以称为“模糊函数”,是因为和分别对应了频域的“频移”和时域的“时移”。
这几个二维函数的关系如图4.2.1所示。
图中表示对变量作FT,表示相对作傅立叶反变换,其它含符号类似。
至此,读者不难发现,(4.1.1)式中的窗函数也在处在模糊域。
我们使用它的目的是为了抑制WVD中的交叉项。
这一抑制一般是在模糊域中进行的。
这就是在讨论时-频分布的同时要讨论模糊函数的原因。
3.现举例说明和在和平面上的位置的不同。
图4.2.1 WVD和AF的关系
例4.2.1 令
(4.2.16)
我们在例3.3.5中已求出其WVD是
(4.2.17)
同样可求出其模糊函数是
(4.2.18)
分析这样一结果,可以看出:
(1)是实函数,而是复函数;
(2)的中心在在处,它是一高斯型函数,时域、频域的扩展受的控制;
的中心在处,其幅值也是高斯型函数,且受到一复正弦的调制。
该复正弦在和轴方向上的震荡频率由和所控制。
这就是说,和并不影响的中心位置,影响的只是其震荡速度。
例4.2.2 令
(4.2.19)
这是我们在例3.5.4已遇到的信号,其WVD已由(3.5.2)式给出。
可以求出,其模糊函数是[13]
(4.2.20)
式中,分别是的自项,它们已由(4.2.18)式给出。
它们的中心都位于平面的原点。
及是的AF的互项,其中:
(4.2.21)
式中 ,
为两个自项中心位置在时、频方向上的几何中心。
而
,
是其距离。
这样,的中心在处,同理,的中心在处,它们都是远离原点的。
显然,和,和相差越大,则它们离开原点的距离越大。
的AF如图4.2.2所示。
图中的下图为两个时-频“原子”的时-频分布图。
由该图可以看出,二者的时-频中心分别在(32,0.4)和(96,0.15)。
上图是二者的联合模糊函数。
4.2.2 的模糊函数与时-频分布,(a)模糊函数,(b)时-频分布
现将(3.5.2)式中的WVD的互项及(4.2.21)式均写成极坐标的形式,即:
(4.2.22a)
(4.2.22b)
由(4.2.21)式,有, (4.2.23a)
由(3.5.2)式,有, (4.2.23b)
该式结果表明,WVD互项的相位对和的偏导数分别对应于该信号模糊函数的互项的中
心坐标,即。
通常,相位的导数意味着是频率,所以,AF中互项的位置直接反映了WVD中交叉项的震荡状况。
WVD中交叉项震荡越厉害,那么,AF中互项的中心距平面的原点越远,反之,我们由AF互项的中心位置又可大致判断WVD互项的震荡程度。
WVD和AF各自互项与自项的位置及它们互项间的关系为我们抑制WVD中的交叉项提供了一个有效途径,即:
(1)首先对求模糊函数,由于的自项始终在平面的原点处,而互项远离原点,因此,我们可设计一个平面的低通滤波器对滤波,从而有效地抑制了中的交叉项;
(2)对滤波后的AF按(4.2.5)式作二维傅立叶变换,得到。
这时的已是被抑制了交叉项的新WVD。
实际上,(4.1.1)式中的即是实现这一目的平面上的二维低通滤波器。
它的作用是对原含有交叉项的WVD作平均。
我们知道,震荡频率越高的项,平均后变的越
小。
这就是说,AF中越是远离原点的交叉项,在的作用下,抑制的效果越明显。
图4.2.3给出了同一信号AF及WVD互项与自项的位置示意图[13]。
图4.2.3同一信号AF及WVD互项与自项的位置示意图
4.3Cohen类时-频分布
我们在(4.1.1)式给出了Cohen类分布的统一表示形式,并在4.2节简单地说明了核函数的作用,即给定不同的核函数,就可以得到不同形式的时-频分布。
例如,令,有:
(4.3.1)
这一结果表明,当核函数取最简单的形式,即时,Cohen类分布变为Wigner分布。
也就是说,Wigner分布是Cohen类的成员,且是最简单的一种。
,这意味着该核函数是平面的二维全通函数。
由上节的讨论及图4.2.3所示,平面模糊函数的自项对应WVD的互项(即交叉项),且AF的互项远离平面的原点。
由于Wigner分布的是全通函数,它对AF的互项无抑制作用,因此,其WVD也就存在着较大的交叉项。
这就是WVD中存在较严重的交叉项干扰的原因。
自然,应该选择平面上的二维低通函数来作为。
近二十年来,人们提出的时-频分布的形式不下十多种。
除了我们已讨论过的谱图及Wigner分布外,还有:
Rihaczec分布
Page分布
Choi-Willams分布
Born-Jordan分布
读者自然会想到,的选取将对时-频分布的性质产生重要的影响。
关于这一点,我们将在下一节详细讨论。
现在讨论除了(4.1.1)式外,Cohen类分布的其它表示形式。
(1)、用的频谱表示,即
(4.3.2)
(2)、用模糊函数表示。
对比(4.2.1)、(4.2.3)及(4.1.1)式,有
(4.3.3)
上式说明,可由AF乘上后作傅立叶变换得到。
(3)、用WVD表示。
在(4.3.3)式中,和在域相乘,其结果对应的是二者各自的变换在域做卷积。
由(4.2.5)式,的傅立叶变换是,令是的傅立叶变换,那么:
(4.3.4)
该式有两重含义,一是任意信号的都可以由该信号的WVD和加权函数作2-D线性卷积而得到。
前已述及,已知的其余所有时-频分布都可以由Cohen的统一表示形式所得到,那么也就是说,已知的所有分布都可以由Wigner分布来表示;
第二个含意是,WVD本身可能为负值,且有交叉项存在,那么和的卷积,可在某种程度上减少负值和交叉项的影响。
这实际上是对WVD作平滑,平滑的结果正是。
(4)、用广义模糊函数表示[44】 在(4.3.3)式中,定义
(4.3.5)
为信号的广义模糊函数,那么
(4.3.6)
这是一个标准的二维傅立叶变换表达式。
(5)、用广义时间相关表示。
定义
(4.3.7)
为时间自相关域的核函数,那么广义时间自相关定义为:
(4.3.8)
式中由(4.2.1)式定义,这样,可表示为的傅立叶变换,即:
(4.3.9)
(6)、用广义谱自相关表示。
(4.3.10)
为谱自相关域的核函数,那么广义谱自相关定义为:
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